Teoria di Progettazione meccanica II

Analisi di diversi tipi di travi

TRAVE INFLESSA (CARICO TRASVERSALE)
Conta sia l'area che i momenti di inerzia

TRAVE SOGGETTA A MOMENTO TORCENTE
Conta sia l'area che il momento d'inerzia polare

ELEMENTI SNELLI COMPRESSI (BUCKLING)
Conta sia l'area che il momento d'inerzia più piccolo della sezione

Per ragionare si definisce un fattore di forma (shape factor), un parametro adimensionale che definisce l'efficienza di una specifica forma rispetto a una di riferimento, generalmente una delle sezioni peggiori come quella circolare o quadrata piena che sono le peggiori, in modo da avere sempre un fattore di forma > 1. Quanto più è alto tanto più la rigidezza o la resistenza sarà uguale a peso inferiore. Ci sono 4 fattori di forma:

ELASTIC BENDING (flessione elastica)

ELASTIC TWISTING (torsione elastica)

FAILURE IN BENDING (rottura in flessione)

FAILURE IN TWISTING (rottura in torsione)

ELASTIC BENDING – FLESSIONE ELASTICA
Per un elemento sottoposto a flessione:

Deformazione: Rigidezza flessionale: β = (E * I) / L dove E è una costante che dipende dalle condizioni di vincolo, I è il modulo elastico, I è il momento di inerzia geometrico della sezione, L è la lunghezza. Il fattore di forma è dato dal rapporto delle rigidezze tra la sezione che sto considerando e una di riferimento, ad esempio una circolare piena. Si ottiene: α = β / β_ref dove β_ref è la rigidezza della sezione circolare piena. Se a parità di area o viceversa, posso avere la stessa rigidezza con un'area 10 volte più piccola. Il momento d'inerzia di una sezione circolare piena è: I = π * r⁴ / 4 Per cui il fattore di efficienza o forma sarà: α = 4 / π * r⁴ Per ogni forma commercialmente disponibile sono fornite le grandezze per calcolare i fattori di forma: Esempi: - Sezione circolare: α = 144 / π - Sezione quadrata: α = 1.04 (ha solo un 4% di efficienza in più rispetto alla sezione circolare) - Sezione doppio T: α = h / (1 + 4 / π * h)1+ = → = = 20 : = 10.5( )4 ℎ+ 6 ℎ 6 1+ ℎA parità di area, la sezione a doppio T mi dà 10 volte la rigidezza della sezione circolare piena di riferimento, al contrario, se ho un vincolo su una certa rigidezza, posso rispettarlo con una massa 10 volte più bassa. ELASTIC TWISTING – TORSIONE ELASTICA: Per un elemento di tipo trave: Deformazione: Rigidezza torsionale: = == dove è il modulo di taglio, è il momento d'inerzia polare (quello che chiamiamo ), è la lunghezza. Il fattore di forma è quindi: = = (circolare piena) è: Il momento d'inerzia polare della sezione di riferimento = =2 22 Per cui il fattore di efficienza o forma sarà: = FAILURE (NB: nella rottura non comanda la rigidezza bensì la tensione) FAILURE IN BENDING – ROTTURA IN FLESSIONE: Per la : = = = dove è il momento d'inerzia flessionale e la distanza della fibra dall'asse neutro, mentre è il modulodiresistenza a flessione. Il fattore di forma in questo caso si ottiene dal rapporto tra i moduli di resistenza: Il modulo di resistenza a flessione per la sezione di riferimento (circolare piena) è: ^π⁄₄d⁴√ Per cui il fattore di efficienza o forma sarà: 4√ Per la torsione: ^π⁄₂d²√ dove J è il momento d'inerzia polare ed r la distanza della fibra dall'asse neutro, mentre W è il modulo di resistenza a torsione. Il fattore di forma in questo caso si ottiene dal rapporto tra i moduli di resistenza: Il modulo di resistenza a torsione per la sezione di riferimento (circolare piena) è: ^π⁄₂d²√ Per cui il fattore di efficienza o forma sarà: 2√ ESEMPIO: TRAVE LEGGERA E RIGIDA (esempio già visto in precedenza) Funzione Trave sottoposta a carichi trasversali Obiettivo Minimizzare la massa: Vincoli Freccia massima minore di :≥ ; = 4 Variabili libere Materiale Sezione resistente NB: questa volta la sezione non

è data (prima era una sezione quadrata piena) per cui il momento di inerzia non è noto ma è funzione del rapporto di forma , per cui la sezione resistente è un’altra variabile libera.

Risolvo l’equazione di vincolo isolando la variabile libera: /4≥ → ≥4

Elimino la variabile libera nell’equazione obiettivo usando il vincolo:/4 /≥ /( )/=( ) /Minimizzare la massa equivale a massimizzare il MI

Se i materiali possono essere realizzati o sono disponibili in forme diverse, la scelta è guidata da un MI che include il fattore di forma. /È come se moltiplicassi i materiali perché ogni materiale che è caratterizzato da un suo rapporto viene moltiplicato per = 44

È come se moltiplicassi il numero di punti per cui mi ritrovo per l’alluminio che prima era competitivo con tanti altri mentre ora risulta un materiale eccellente in quella determinata forma

Le informazioni relative alle sezioni si trovano sempre

sul manuale dell'ingegnere: in base alle sezioni sono elencati i materiali disponibili in quella forma. Mentre consultando un catalogo di produttori di un certo materiale sono fornite le sezioni disponibili.

VINCOLI MULTIPLI

I problemi esaminati finora sono stati limitati ad un unico obiettivo e alla combinazione di singola variabile libera/vincolo, mentre i problemi più realistici non sono mai così semplici. Torniamo al caso della trave in cui ora immaginiamo di avere 2 vincoli da considerare contemporaneamente (non come nel volano in cui li abbiamo considerati uno alla volta)

ESEMPIO: TRAVE LEGGERA E RIGIDA

Funzione: Trave sottoposta a carico trasversale

Obiettivo: Minimizzare la massa

Vincoli: - Sezione trasversale quadrata - Freccia massima minore di 12 - Non si deve snervare: > 12

Variabili libere: - Materiale - Spigolo

Il 1° vincolo (freccia max minore di 12) è stato già risolto in precedenza con tutti i passaggi e porta a dover massimizzare il MI:

Il 2° vincolo lo risolviamo come al solito isolando la variabile libera dall’equazione di vincolo: ^62> → >12

Elimino la variabile libera nell’equazione obiettivo usando il vincolo: ^{(6 )>} → massimizzare il MI =

Ora che ho 2 MI distinti posso applicare 3 metodi:

1. Applicazione successiva dei grafici
2. Funzioni di ponderazione
3. Equazione di accoppiamento

Il 1° metodo è quello di considerare i MI e quindi i grafici in maniera separata come se ci fosse un vincolo solo per volta.

Dal primo grafico scelgo i materiali con un alto valore di M1 e dal secondo quelli con un alto valore di M2, per poi scegliere i materiali che passano entrambi i vincoli. Il problema è che così non si dà un peso ai vincoli.

Ad esempio, supponiamo di avere 3 MI con i grafici seguenti:

In questo caso sceglieremmo il materiale C perché soddisfa tutti e 3 i vincoli; tuttavia, il materiale A è proba-bilmente il migliore in quanto manca di poco

Il vincolo 1 ma è super performante sei vincoli 2 e 3. Quindi, per tracciare le rette è necessario saper dare un giudizio ai vari vincoli. Un modo per farlo è dato dai fattori di peso. Questo 2° metodo però funziona se il vincolo può essere rispettato fino a un certo punto (ad esempio, se dico che il componente non si deve rompere, non posso associargli un peso, non si deve rompere e basta, quindi va bene per vincoli non troppo stringenti). Dopo aver ricavato i vari MI come in precedenza, li normalizzo rispetto al MI più grande per quel vincolo (perché deve avere le stesse unità di misura) * = ( )( ) dove è il MI di un materiale qualsiasi mentre è il MI più grande del set di materiali che sto considerando. Se ad esempio ho individuato 6 materiali, calcolo il MI (ad esempio ) di tutti e 6, il più grande *() è . Trovo poi che è il rapporto tra tutti gli altri MI rispetto a questo,

per cui saranno tutti valori inferiori a 1. In questo modo vedo quanto sto lontano dal migliore in assoluto per quel vincolo.

NB: siccome ho normalizzato è come se avessi fatto il rapporto anche delle masse (in genere della funzione obiettivo), cioè indica quanto peserebbe di più il componente fatto con l'i-esimo materiale rispetto a se fatto col materiale di riferimento. Σ = 1,

Do poi un peso a ciascun vincolo in modo che per cui alla fine ottengo un voto per ciascun materiale candidato dato da: * = Σ = Σ

Per l'esempio della trave visto in precedenza, consideriamo i 4 materiali riportati nella seguente tabella e i = 0.7 = 0.3 pesi ai due vincoli pari rispettivamente a e (NB: non è propriamente corretto applicare questo metodo su vincoli legati alla rottura, è giusto a titolo di esempio)

Dai voti viene fuori che devo fare la trave in Berillio, ma non è un materiale idoneo. Il secondo in graduatoria sarebbe il Titanio ma

non è corretto perché quel voto vale considerando il Berillio nell'insieme dei materiali; devo quindi rifare i conti togliendo il Berillio e viene fuori che devo usare l'Alluminio. Questo è un altro difetto di questo 2° metodo, cioè il fatto che i voti cambiano se dalla lista tolgo un materiale usato come riferimento. EQUAZIONI DI ACCOPPIAMENTO ESEMPIO: biella (è un elemento teso-compresso) Funzione Biella per motore alternativo: Obiettivo Minimizzare la massa: Vincoli Non si deve rompere per fatica: ∆ > fissato Non deve andare in buckling: < = =12 12 Variabili libere Area della sezione trasversale: = = (assumendo = ) Risolvo il 1° vincolo: ∆ ∆ ∆ > → > → > → massimizzare = Risolvo il 2° vincolo: / / /12 12 < → < → > → > → massimizzare =/12 12 Le due equazioni indipendenti ricavate per la massa della biella descrivono tuttavia lo stesso componente, per cui la soluzioneIl testo formattato con i tag HTML è il seguente:

sarà fornita dalla massa maggiore delle due, ovvero dal vincolo più stringente. Eguaglio quindi le masse ottenute con i due vincoli:

// /12∆ = → = → =/ 12

dove è la costante di accoppiamento che mette in relazione i vincoli 1 e 2 e dipende da condizioni operative e geometria. Passando ai logaritmi:

log = log + log log

che è l'equazione di una retta con pendenza unitaria e intercetta pari a nel piano doppio-log.

I migliori materiali hanno valori elevati di M1 e M2 (ang)