Gasdinamica - Teoria

Consideriamo un approccio euleriano diretto.

G è una grandezza estensiva che varia col tempo G(t).

dG varia con le variazioni di volume R ^opp. al flusso netto entrante f il flusso entrante netto è: -∯_CS ρ_inv_indS

La derivata della massa rispetto al tempo dt = esterne - _Σin flusso che agisce perpendicularmente alla superficie.

Le altre cause sono gli integrali di forze e pressione d'estasi di volume.

d/dt ∫_R ρdV = ∫_R ρ(')(mΣf)dV_t = ∫_S ρu visf.

Se consideriamo il bilancio energetico G= : ∫_u/2 •dx = ∫P^TdE_dt.

energia potenziale è nulla perché agisce d'all'esterno

conversione è inglobata nel flusso entrante netto

d/dt ∫_R E dE/dz = ∫_R (μ.c/m)c dS + ∫_R π dS = ∫_S p ∇r ρ dS

[q = kυT] ^{flusso termico e conduttivo}

Studiando flusso sostanzialmente freddo trascuriamo l'irraggiamento

[∂t + ∇(ρu)] = 0 _{eq. generale della conv. della massa}

x un fluido incompressibile ∇ • u = 0

= > Applichiamo il ^{teorema di Gauss St}:

d/dt = ^d /⟶ μu/ˆ • ∇ d⟨ derivata potenziale

dt = dt^t

+ una funzione ^terbon

armadio: _1/L' c d^dx + _1/L(m/d

armadío: _1/L d/d cos + du_{dx = ux}|2_y

¹ + cos/Sin₄

d/dt ∫∫∫_R ρ d z = ∫_CS ρ u n dσ + Altra curva

d/dt ∫∫∫_R ρ div (u) d z = 0

[ d/dt ∫∫_R ρ e z d z ] = [ ∫∫_CS ρ u n dσ + ∫∫∫_R f ρ e z d z ]

Per ∇e :

• E = e + u²/2

d/dt ∫∫∫_R ρ E d z = ∫∫_CS ρ u e t d z + ∫_CS f ρ e h dσ

∫_CS 1 (1 - div( ) )

∫_CS ρ e 1 dσ = ∫_CS 1 div ( ) dσ

A(t) = ∫∫∫_R p E

∫∫∫_R ρ ∂ E/∂t d z = ∫∫_CS ρ e dσ + ∫∫_CS div( ) dσ

+ ∫∫∫_R div( t _{p ex} d z

t = ρ t x

dσ_m n_m ρ e = ρ_r t_bn

(ρ)

∮_CS ( ρ x i ; ∫∫_R div ( t x u) dσ = ∫∫_CS ( div( ρ e x) ) dσ

( ∫_CS z e n_t grad e ) dσ

∮(∫_R p E) + div( p E x ) = e grad e - div∇

∮E/dt [ c ∫_CS sp p + (div p ) ]

div ( ρ u )

∫ λ E ρ u

E [ 1 x p + div ( μ ) ]

div ( ρ x )

∫∫_R ρ E dt + ∫_CS ρ E dσ + E E = ∫∫_CS grad p u c - div u_z + z grad E

eq. generale della conservazione dell'energia in termini differenziali

li puntuali

FLUSSO STAZIONARIO QUASI UNIDIMENSIONALE

Le grandezze totali e critiche sono parametri che dato le proprietà termodinamiche rimangono costanti per tutto il flusso

γ² è la velocità adimensionalizzata

M² = u² / α²

C_pT₁ + u₁² / 2 = C_pT₀

Per flusso sonico a = a^* M = M_*

Per flusso subsonico a > α^* |M| < M_*

Per flusso supersonico a < α^* |M| > M_*

Condizione necessaria affinchè ci sia flusso supersonico è che nel condotto ci sia una gola

dρ = -ρ u du / a² Leg. del moto dP = α² / ρ dp = ρ u du

dP = -udρ = 1 / u d du - M²dρ / ρ

dp / ρ + du / u + dA / A >

(1 - M²) dα = -dA + du = dA 1 / α (1 - M²)

uA = cost

→ x flussi supersonici ↑ compensa la variazione di A e u

dρ = -ρu du Quando cresce u ρ diminuisce

=> ln 25.0 - 0.684 * 10 V 227.1.300 - 35206

5.10⁵ - 10

Esercizio n°8

A = 1^e A[1+0] 8+2

A

A* = 1^[2+0] => A = 1 [1 + 0.2M] ³

M² A*^1/2

F[M] = 1^[1+0.2M] - 1.5

M²

F'[M] = 1[1+0.2M] [3][1+0.2M]^0.9M

A¹

M^1/2

M F[M] F[M] n

1.8 - 0.064369 1.086809 1

1.158164 0.00375984 1.174999 2

1.854216 3.1743.10 1.168664 3

1.3542662 4

Pv = RT

dV = dT - dp

V T P

dp = -yH^e du - y H^e du

P R T

dV = dT - y H^e du μ = cost dp du

V T μ μ

=> dhu = dV dt γ M²du dμ/μ - (1-y M²) = dt

μ1 V T

ds = cv dt Rdp = cv dt + R γ M² dq

T P T γ + M² T

dIS = R [1 1] => dIS = yR [M + 1]

dT T g2 1-yr1 dT F (g-1)(1-y M²)

1)

Gmax = 0.6847 _Po / _RTo Amin

Gmax = 0.6847 _Po / _RTo A* _A* / ₂ Amin

Pm / _Po = 0.999

Pu = 0.999 · 20 = 19.98

Ma = 1.4; 9

2 > Mu Pu

Pm ₂ / _Po2

2) 

h₁(x)=^{0.05 x} {0.5c - 0.05x

h_e(x)= -0.1 (^x / _C )(c-x)

1. |_dh1 / _dx| = 0.05

⁴ C_D1= _{(√ ¯(M²-1))}

|_dh1 / _dx| ² = 2.01 · 10^-3

2_dh2 / _dx = -0.1 -0.2 ^x / _C

⁴ _{√ ¯(M²-1)}

C_D= C_D1 + C_D2 = 2.38 · 10^-3

V_r = 0

dΦ = 0

dΨ = 0

V_θ = - dΦ/dθ

= Φ(θ)

= Ψ(r)

V_θ = - dΦ/dθ = V_θ = dΦ = - n dN = 0

V_s = c/r

(2πr) 2π 2π

Φ = Q ln r

2π

Ψ = -Γ ln r

Φ = ± Γ Q

Ψ

2π

U = V₀ + q θ + q θ₂

2π 2π

Ψ_tot = V₀ + q arc tg arc tg

(x+a) - (x-a)

S'intuisce l'idea di _BARKERS X cercare di risolvere il problema di turbolenza con metodi simili a quello di Navier Stokes,

distanze nel tempo

distanze spaziale

∂u ∂u₁ ∂u₂ ∂u(k,t) ∫ A_k1(t) sen l(k,x) ∂t u ∂x u ∂x₂ ∂u A_k (t) e^Ikx

sen iI

∂u ∫_m ∑ A_k (t)ik cos(IxIY)•k² ∂x^k ∫K = L K = m A = A_k(t)

u ∂u∫ ∑ ∑ A∑ ( I Am (Im x) cos/mx ) = ∂I ∑ = ∑∑ (A) I Am(t) im I) sen [(l-m) x] + sen [(I - m) l x]

l A^{k _ m}∑ A∑ k A_k + ∑_k∑^∑A_AAm(K) AmX ∫^k,m∫^k,m

A'_k= -y^k∘2 AK A_k = (t) = A_k(O) e^{yk ∘ ft}

ler, a ≥

k = 1 => A (L) = AA A₂ + Ag A₃= - y∪A₁ A^L +∪A A₂ + A A A₃ = - y∪A₁

∫ ∫ A^L A₂ A^L A₃ A₂ + ∫∪A Ant A = - 4∫A₂, A = k = 1 => ∑

K_x A¹ + AA ∞^∫ + (I Am AmX) A₃ = -y A∪₃

Iª pass d’integrazione

A¹ = -y A∪₁, a∪A₁ A₂ = A₁

A₃ = 0

IIª pass d’integrazione A∪¹ = -yA₁, A = A⁰

A^– = -4y A∪₁, A₁² A³ – 3AA A₂

sena termini non lineari x