Teoria di Fondamenti di automatica

ZERO REALE NEGATIVO

() = 1 + > 0 < 1/|| /2 /4

0dB costante per Da 0 a e vale in = 1/||

> 1/||

+20dB/dec per

→CRESCENTE →DECRESCENTE

ZERO REALE POSITIVO

() = 1 + < 0 < 1/|| −/2 −/4

0dB costante per Da 0 a e vale in = 1/||

> 1/||

+20dB/dec per

FATTORE 2° ORDINE

➔ DIAGRAMMI DI BODE con fattore 2° ordine al denominatore

1

() = 2

2

1+ + 2

1 1

() = =

()2 2

1+2 + 1− +2

2 2

MODULO |()|

1 <<

|()| = { 2

≫

2

1

)

( = − ∙ →

in la funzione dipende da

2

|| |( )|

= 1 => = 1/2

-

1

|| |( )|

= => = 1

-

2

|| |( )|

→ 0 => → 1/2

-

FASE 0 <<

() = { − ≫

:

La fase dipende dal segno di

> 0 <=>

- poli stabili

< 0 <=>

- poli a parte reale > 0

= 0 <=>

- poli a parte reale = 0

() > 0.

Si ha lo stesso andamento del modulo, ma la fase è RIBALTATA rispetto al caso con

➔ DIAGRAMMI DI BODE con fattore 2° ordine al numeratore

2

2

() = 1 + + 2

2

= − ± √1 −

Zeri:

MODULO: |()|

FASE

TEOREMA RISPOSTA IN FREQUENZA

−1 [()

()

= ∙ ()] g

() = ±

- Se non ha poli in

() ()

= + |()| ∙ cos⁡( + ⁡ + ())

() () < 0

- Se ha poli a parte reale

()

lim = 0⁡

→∞

DIAGRAMMI DI NYQUIST

() 0 ∞

Si riporta nel piano in funzione della pulsazione. Per che va da a il grafico descrive una curva al variare

.

di .

Sapendo il modulo e la fase (con i diagrammi di Bode) posso costruire i diagrammi di Nyquist al variare di

➔ [()]

() =

|()| = | |

0⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡ > 0

() = { [()]

−⁡⁡⁡⁡⁡ < 0

1

➔ () =

Fattore integrale

Diagrammi di Bode: ()

|()|

1

() = = −

= 0

-->[()] 1

= −

-->[()]

Diagramma di Nyquist:

[()] [()]

Quindi il modulo parte da un numero

più grande e tende a zero.

➔ () =

Fattore del 1° ORDINE +

• > →

CON POLO STABILE

Diagrammi di Bode:

|()| ()

0⁡ − →⁡⁡⁡⁡sta

La fase è compresa tra nel 4° quadrante

2

Diagramma di Nyquist

[()] la fase diminuisce

[()]

• < →

CON POLO INSTABILE

Diagrammi di Bode:

|()| ()

0⁡⁡ →⁡⁡⁡⁡sta

La fase è compresa tra nel 1° quadrante

2

Diagramma di Nyquist

[()] Il modulo è lo stesso ma la fase è

opposta (cresce).

[()]

➔ () =

Fattore del 2° ORDINE

+ +

• >

CON

Diagrammi di Bode:

|()| ()

Diagramma di Nyquist: [()] [()]

Al diminuire di la curva si

ingrandisce

=

In si ha:

1

)

( = =⁡−

)2

( 2

1+2 + 2

> 0⁡⁡⁡⁡,⁡⁡⁡⁡ <

1

)

= 0:⁡( = ={

Se 2 < 0⁡⁡⁡⁡,⁡⁡⁡⁡ >

1− 2

• <

CON > 0,

Si ha lo stesso andamento del modulo, ma la fase è RIBALTATA rispetto al caso con quindi anche il diagramma

di Nyquist è ribaltato.

PARAMETRI CARATTERISTICI DELLA RISPOSTA IN FREQUENZA

()⁡⁡⁡ ≥ 0 ()

() = ⁡⁡⁡ → ⁡⁡⁡⁡ = ∙ |()| ∙ cos⁡( + ())

|(0)|

|(0)|

√2

• |()|

= max

PICCO DI RISONANZA: ≥0

• )|

⁡⁡ℎ⁡ =|(

PULSAZIONE DI RISONANZA:

• |(0)|

MODULO IN CONTINUA: |(0)|

• )|

⁡⁡ℎ⁡|( =

BANDA IN 3dB: √2

|(0)|

|( )| = →⁡trasformandolo |( )| = |(0)| − 3

in dB si ottiene:

√2

Si riduce di 3dB rispetto al valore in continua.

➔ () = ⁡⁡⁡⁡ >

Fattore del 1° ORDINE +

1

() = ⁡⁡⁡⁡ >0

1+

(0) = 1 1

|()| = 2 2

√1+

Per trovare :

1 1 1

2 2

= → ⁡⁡⁡ = 1⁡⁡ → ⁡ =

2 2 √2 ||

√1+

|(0)| = 1

|(0)| 1

=

√2 √2

= 1

-

= 0

- 1

= ⁡⁡⁡⁡ →

- coincide con il punto di rottura

||

➔ () =

Fattore del 2° ORDINE

+ +

1

() = ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡, > 0⁡ → > 0

dato che i parametri sono caratteristici del modulo, il caso con è uguale.

2

2

1+ + 2

(0) = 1 → 1 ∶

Per

|(0)| = 1 = 1

-

|(0)| 1

= = 0

-

√2 √2

→ 0 ∶

Per 1

> 1⁡ → ⁡⁡⁡ = {1⁡;⁡ }

- 2

|(0)| = 1 2√1−

1

→per = ⁡⁡ ∶ ⁡⁡⁡ =1

|(0)| 1

=

√2

√2 √2 2

> 0 → ⁡⁡⁡⁡⁡⁡ = √1 − 2

-

1

→per = ⁡⁡ ∶ ⁡⁡⁡ = 0

2

√

: :

Andamento di rispetto a Andamento di rispetto a e a

1 1 1

|( )|

= ⁡⁡⁡ → ⁡⁡⁡⁡ =

Per trovare si considera l’equazione:

√2 √2

2 2

2 2

√(1− ) ⁡⁡+⁡⁡4

2 2

√1

2 2 4

= − 2 + − 4 + 4

√2

Risolvendo questa equazione (e prendendo solo le radici positive) si ottiene:

SISTEMI INTERCONNESSI

SISTEMI CONNESSI IN SERIE

() () ≥ 0) ≥

Hp: NON ha modi nascosti (poli e zeri coincidenti con ed è PROPRIA (grado denom grado num)

()

()

() =

è data dal PRODOTTO tra le ()

() ()

… ()

1 2

() ()

() = … =

1 () ()

… ()

1 2

STABILITA’: (),

= 1, … ,

il sistema connesso in SERIE è STABILE se TUTTI i singoli sistemi sono STABILI

➔la interconnessione in serie mantiene la proprietà di stabilità.

SISTEMI CONNESSI IN PARALLELO

() () ≥ 0) ≥

Hp: NON ha modi nascosti (poli e zeri coincidenti con ed è PROPRIA (grado denom grado num)

()

()

() =

è data dalla SOMMA tra le ()

() () ()

() = + + ⋯ +

1 2

() ()+ () ()

() ()

1 2 1 2 2 1

() ()

= 2: () = + = + =

Con 1 2 ()∙ ()

() ()

1 2 1 2

STABILITA’: (),

= 1, … ,

il sistema connesso in PARALLELO è STABILE se TUTTI i singoli sistemi sono STABILI

➔la interconnessione in parallelo mantiene la proprietà di stabilità.

Nella connessione in serie e in parallelo non si riescono a compensare le instabilità del sistema (come può essere un

disturbo); quindi spesso si utilizzano sistemi in retroazione.

INTERCONNESSIONE IN RETROAZIONE NEGATIVA

() ()

() = =

1+() ()+()

() () ≥ 0) ≥

Hp: NON ha modi nascosti (poli e zeri coincidenti con ed è PROPRIA (grado denom grado num)

= ⋯ = = 0,

Se il sistema diventa:

1 ramo diretto

ramo in retroazione

()

() ()… ()

()

1 2

() ()

() = … = =

1 () ()… ()

()

1 2

() ()

()

= ∙ () ⁡⁡⁡⁡⁡ → () =

1+() 1+()

()

STABILITA’: () + ()

Il sistema interconnesso in RETROAZIONE è STABILE (internamente) se e solo se il polinomio

()) < 0.

(ovvero il denominatore di ha tutte le radici con

Non è garantito il fatto che se ho sistemi stabili ottengo un sistema interconnesso in retroazione stabile

(come invece succe