Teoria di Teoria dei segnali

TEOREMA DI LINEARITA’:

0 0

1 1

2 2

−2 −2

= ∫ () = ∫ [ ∙ () + ∙ ()] =

0 0

−

0 0

0 0

− 2 2

0 0

2 2

−2 −2

= ∫ () + ∫ () = ∙ + ∙

0 0

− −

0 0

0 0

2 2

➔ () = (−)

SIMMETRIA SEGNALI PARI:

() =

Se il segnale è pari, allora il coefficiente della serie è una funzione pari di k:

−

∗ ∗

() = = =

Se è anche reale, allora si ha , quindi il coefficiente è reale:

− −

DIM: simmetria segnali pari

() è pari.

0 0 0

− −

1 1 1

2 2 2

−2(−) −2 −2

= ∫ () = − ∫ (−) = − ∫ () =

0 0 0

−

−

0 0 0

0 0 0

2 2 2

0

1 2 −2

= ∫ () =

0

−

0

0 2

➔ () = −(−)

SIMMETRIA SEGNALI DISPARI

() = −

Se il segnale è dispari, allora il coefficiente della serie è una funzione dispari di k:

− −

∗ ∗

() = − = =

Se è anche reale, allora si ha , quindi il coefficiente è immaginario puro:

− −

DIM:: simmetria segnali dispari

0 0 0

− −

1 1 1

2 2 2

+2 −2 −2

= ∫ () = − ∫ (−) = ∫ () =

0 0 0

−

−

0 0 0

0 0 0

2 2 2

0

1 2 −2

= − ∫ () = −

0

−

0

0 2

CARATTERISTICHE DEGLI SPETTRI

Un RITARDO NEL TEMPO non modifica lo spettro di ampiezza, ma solo quello di fase, perché:

- Spettro di ampiezza --> esprime quali sinusoidi (e con quali ampiezze) servono per sintetizzare il segnale di

una certa forma

- Spettro di fase --> indica la fase iniziale di ogni sinusoide, che dipende dalla posizione del segnale da

sintetizzare

DIFFERENZE TRA ONDA QUADRA E TRIANGOLARE

→ 0 → ∞ 1/

Onda quadra: ampiezza per come 2

→ 0 → ∞ 1/

Onda triangolare: ampiezza per come

L’onda quadra presenta discontinuità, cioè brusche variazioni temporali del valore del segnale;

che non sono presenti nell’onda triangolare. Possiamo dire che le variazioni “brusche” comportano la presenza di

armoniche di ordine più elevato.

In altri termini un segnale avente velocità di cambiamento molto alto per essere ricostruito necessita di molte

componenti ad “alta frequenza”, cioè di molte armoniche di ordine superiore.

Viceversa un segnale a variazione “più lenta” ha un contenuto di armoniche a frequenze più basse. SLIDE 2

SEGNALI APERIODICI TEMPO CONTINUO

È possibile rappresentare anche un segnale aperiodico come una opportuna sovrapposizione di segnali elementari

(sinudoidali). −∞ + ∞)

Una funzione non periodica (definita tra può essere rappresentata come somma di infinite funzioni

−∞ + ∞.

armoniche semplici di ampiezza infinitesima e di frequenza variabile con continuità tra

Questa rappresentazione è nota come TRASFORMATA CONTINUA DI FOURIER (TCF).

DALLA SERIE ALL’INTEGRALE DI FOURIER

() () = lim ()

il segnale può essere considerato il caso limite di un segnale periodico:

→∞

0

→ ∞, → 0

Quando quindi si riduce la distanza tra due generiche frequenze armoniche e inoltre tende a ridursi

0 0

l’ampiezza dei coefficienti. ()

Per ovviare ciò possiamo scrivere come:

∞ /2

0

2 −2

() )

= ∑ ( ) , ( = ∫ ()

0 0

0 0 0

− /2

0

=−∞

(), ()

→ ∞ → ()

Per quando : -->

0 → 0

-->

0

→

--> ad un valore non discreto ma continuo,

0

→

-->∑ ∫

), ()

( → ∞ → ()

Per quando : -->

0 0 →

-->

0

+∞ +∞

−2 −2

()

() = lim = ()

∫ ∫

0

−∞ −∞

→∞

0

→0

0

() ,

è una funzione complessa di quindi lo spettri di ampiezza è adesso continuo.

EQUAZIONI DI SINTESI E ANLISI PER SEGNALI APERIODICI

➔ Equazione di SINTESI: permette di rappresentare il segnale come sovrapposizione di segnali elementari.

+∞ ANTITRASFORMATA DI FOURIER

2

() = ∫ () → (o trasformata inversa di Fourier)

−∞

➔ Equazione di ANALISI: permette di determinare il peso che le varie componenti frequenziali (a tutte le

−∞ +∞) ()

possibili frequenze variabili con continuità da a hanno nella composizione di

+∞ TRASFORMATA CONTINUA DI

−2

() = ∫ () → ()

FOURIER del segnale

−∞

CRITERI DI ESISTENZA () ().

Condizioni sufficienti per la rappresentazione del segnale attraverso la propria trasformata di Fourier

1. Prima condizione sufficiente: +∞ 2

|()|

() = < +∞

Se il segnale ha energia finita: ∫

−∞

→ ()

allora la trasformata esiste (cioè l’integrale nella relazione di analisi è convergente)

→ ()

allora la rappresentazione del segnale come integrale di Fourier (antitrasformata) coincide quasi

ovunque con il segnale originario

2. Secondo criterio sufficiente, meno restrittivo, è il CRITERIO DI DIRICHLET.

SIMMETRIA DEGLI SPETTRI

() () = () + ()

può essere rappresentata in forma polare o in forma rettangolare:

() = () =

parte reale , parte immaginaria

()

Supponiamo che sia una funzione reale, allora risulta:

+∞ +∞

() = () cos(2) , () = − ()sen(2)

∫ ∫

−∞ −∞

- La parte REALE di una trasformata di un segnale reale è una funzione PARI

() = (−), cos() = cos(−)

- La parte IMMAGINARIA di una trasformata di un segnale reale è una funzione DISPARI

() = −(−), sen() = −sen(−) ∗

() = (−)

La trasformata di un segnale reale gode della proprietà della SIMMETRIA HERMITIANA (o coniugata):

- La trasformata di un segnale reale e pari è una funzione reale e pari della frequenza

- La trasformata di un segnale reale e dispari è una funzione immaginaria pura e dispari della frequenza

> Spettro di ampiezza è un segnale pari

> Spettro di fase è un segnale dispari

TEOREMI SULLA TRASFORMATA DI FOURIER

→TEOREMA DI LINEARITA’

• () () () ()

() = ∙ + ∙ → () = ∙ + ∙

Se allora

() ()], () ()]

= [ = [

Dove 1 1 2 2

DIM: linearità

Applicando la definizione di TCF:

+∞ +∞

−2 −2

() ()]

() = ∫ () = ∫ [ ∙ + ∙

1 2

−∞ −∞

Sfruttando la linearità dell’integrale:

+∞ +∞

−2 −2

() () () ()

() = ∫ + ∫ = ∙ + ∙

1 2 1 2

−∞ −∞

→TEOREMA DI DUALITA’

• () ↔ () → () ↔ (−)

Se allora

DIM: dualità

+∞ 2

() = ∫ ()

−∞

+∞ 2

() = ∫ () →

Scambiando le variabili con

−∞

+∞ −2

(−) = ∫ () → (−) ()

Da cui si deriva che è la trasformata di

−∞

→TEOREMA DEL RITARDO

• −

)

: ( − ↔ ()

La trasformata del segnale ritardato nel tempo di un valore

0

DIM: ritardo

Applicando la definizione di trasformata si ha:

+∞ −2

)

( − ↔ ∫ ( − )

0 0

−∞ = −

Cambio di variabile :

0

+∞ +∞

−2(+ ) −2 −2 −2

)

( − ↔ ∫ () = ∫ () = ()

0 0 0

0 −∞ −∞

Un ritardo temporale modifica lo spettro di FASE della trasformata del segnale, ma non cambia il suo spettro di

AMPIEZZA.

→TEOREMA DEL CAMBIAMENTO DI SCALA () = () →

Si considerino due segnali legati dalla seguente relazione: