Teoria degli operatori

Teoria degli

operatori

Grottola Francesca

Ingegneria informatica e dell’automazione

Metodi matematici 24/25

La Teoria degli operatori studia le proprietà degli

operatori lineari (e non lineari) tra spazi vettoriali

topologici, in particolare spazi di Banach e di Hilbert.

Questa teoria è fondamentale per la moderna analisi

matematica, la fisica matematica (meccanica

quantistica, equazioni differenziali alle derivate

parziali, teoria spettrale) e l'analisi numerica.

Definizione formale di operatore:

Un operatore è una mappa (funzione) tra due spazi

vettoriali T:X→Y

dove:

X e Y sono spazi vettoriali (solitamente normati,

come ℓ², Lᵖ, Cᵏ).

Se T è lineare, vale T(αx+βy)=αT(x)+βT(y).

OPERATORI LIMITATI E NORMA

Teorema: Un operatore lineare T:X→Y tra spazi normati (X, ||⋅||x) e (Y, ||⋅||y) è limitato se e

solo se è continuo. ∀x∈X.

Dimostrazione: ==> Per ipotesi T è limitato, cioè esiste C>0 tale che: ||Tx||y ≤ C||x||x

Mostriamo che T è uniformemente continuo: →

1-Fissiamo x0∈X e sia {xn​} una successione tale che xn​ x0​ in X. →0

2-Per linearità e limitatezza : ||Txn​−Tx0||y = ||T(xn​−x0​)||y ≤ C||xn​−x0​||x

3-Quindi Txn→Tx0 in Y, e T è continuo in x0. Poiché x0​ è arbitrario, T è continuo ovunque.

<== Per ipotesi T è continuo ( in particolare è continuo in 0).

Mostriamo che T è limitato:

-Continuità in 0 implica limitatezza licale:

ϵ=1, δ>0tale

°Poiche T è continuo in 0, per esiste che: ||x||x ≤δ⟹||Tx||x≤1.

°Sia x∈X, x≠0. Definiamo x′=δx/||x||x. Allora ||x’||x=δ e quindi:

δ​/||x||x

Per linearità : ​( )||Tx||y ≤1⟹||Tx||y​≤(1/δ)||x||x.

Posto C=1/δ, si ha ||Tx||y ≤C ||x||x per ogni x∈X.

Se X={0}, l’implicazione è banale.

ESEMPI:

1-Spazi di Banach: Se X è completo, gli operatori lineari continui

formano uno spazio di Banach con norma ||T||=sup⁡

||x||=1 ||Tx||;

2-La matrice A: R^n→R^m(con qualsiasi norma);

3-L'operatore integrale T f(x)= integrale fra 0 e 1 di K(x,y)f(y)dy su

L^2([0,1]), se K∈L^2([0,1]^2).

Teorema dell’applicazione aperta

Il Teorema dell'Applicazione Aperta è un risultato

fondamentale dell'analisi funzionale che fornisce

condizioni sotto le quali un operatore lineare

continuo tra spazi di Banach è un'applicazione aperta,

cioè mappa insiemi aperti in insiemi aperti.

Siano X e Y spazi di Banach (spazi normati completi) e

T:X→Y un operatore lineare continuo e suriettivo (T

copre tutto Y, cioè T(X)=Y). Allora T è un'applicazione

aperta, cioè per ogni intorno aperto U⊆X, allora T(U)

contiene un intorno aperto dell'immagine di quel

punto in Y. Il teorema mostra che in spazi di Banach,

operatori lineari suriettivi non possono "restringere"

troppo la struttura degli aperti.

Dimostrazione

1. Usare la suriettività e il Teorema di Baire

Poiché T è suriettivo, possiamo scrivere:

Y= Unione con n che va da 1 a ∞​ di T(nBx), dove Bx è la palla unitaria chiusa in X.

Per il Teorema di Baire, in uno spazio di Banach Y, l'unione numerabile di insiemi chiusi ha interno

non vuoto se almeno uno di essi ha interno non vuoto. Quindi, esiste n tale che la chiusura di T(nBx​)​

in Y ha interno non vuoto.

2. Mostrare che T(Bx) contiene una palla in Y

Per linearità, la chiusura di T(Bx)​ contiene una palla By(y0,r). Con un argomento di simmetria

(poiché T è lineare), si può mostrare che By(0,r) è contenuto nella chiusura di T(Bx).

3. "Palle contraibili" e apertura

Si dimostra che T(Bx) contiene un intorno di 0 in Y. L'idea è che, per ogni y∈By(0,r), esiste x∈Bx​

tale che Tx è arbitrariamente vicino a y. Iterando questo procedimento, si costruisce una successione

convergente xn​ tale che T(∑xn​)=y. Conclusione

Poiché T mappa la palla unitaria Bx in un insieme che

contiene un intorno di 0 in Y, per linearità T è aperto.

Corollari importanti

1.Teorema dell'Inversa Continua: Se T è biettivo, allora T^−1è continuo.

2.Teorema del Grafico Chiuso: Se T ha grafico chiuso, allora è continuo.

Teorema del grafico chiuso

Siano X e Y spazi di Banach (spazi normati completi) e T:X→Y un operatore

lineare. Allora T è limitato (cioè continuo) se e

solo se il suo grafico

G(T)={(x,Tx)∣x∈X}⊆X×Y è chiuso nello

spazio prodotto X×Y.

Questo teorema è utile per dimostrare la

continuità di operatori lineari senza dover

verificare direttamente la limitatezza.