Idraulica-teoria

1° Capitolo

MISURA: OPERAZIONE DI CONFRONTO TRA DUE GRANDEZZE FISICHE DELLA STESSA SPECIE, ASSUMENDONE UNA COME UNITÀ DI MISURA.

GRANDEZZE FONDAMENTALI:

GRANDEZZE TRA LORO INDIPENDENTI, LE CUI DIMENSIONI SCELTE ARBITRARIAMENTE, AD ESEMPIO: [D₁], [D₂]

GRANDEZZE DERIVATE:

GRANDEZZE CHE DIPENDONO DALLE GRANDEZZE FONDAMENTALI, LE CUI DIMENSIONI SONO COMBINAZIONI DELLE DIMENSIONI DELLE GRANDEZZE FONDAMENTALI.

PRINCIPIO DI OMOGENEITÀ DIMENSIONALE:

L'ESPONENTE DELLA DIMENSIONE DI OGNI GRANDEZZA FONDAMENTALE AL PRIMO MEMBRO DEVE ESSERE UGUALE ALLA SOMMA DEGLI ESPONENTI DELLE STESSE GRANDEZZE SCRITTE AL SECONDO MEMBRO.

ESEMPIO: s = 1/2 a t²

• [L] = [LT^-2T²]
• [L] = [L]

SISTEMA DI UNITÀ DI MISURA:

LE GRANDEZZE FONDAMENTALI DEVONO ESSERE TRA DI LORO INDIPENDENTI, CIOÈ NON DEVONO ESSERE RELAZIONATE IN UNA LEGGE. AD ESEMPIO NON SI POSSONO SCEGLIERE:

• SPAZIO
• VELOCIÀ v=s/t
• TEMPO
• FORZA
• ACCELERAZIONE F=mv/t
• MASSA

SISTEMA INTERNAZIONALE:

HA COME GRANDEZZE FONDAMENTALI:

• LUNGHEZZA (m)
• MASSA (Kg)
• TEMPO (s)

MASSA:MASSA DI UN dm³ DI ACQUA DISTILLATA A 4°C.

FORZA:

GRANDEZZA DERIVATA, È LA FORZA NECESSARIA A FARE ACQUISTARE ALLA MASSA DI 1 Kg, L'ACCELERAZIONE DI 1 m/s², N = Kg m/s²

SISTEMA TECNICO:

HA COME GRANDEZZE FONDAMENTALI:

• LUNGHEZZA (m)
• FORZA (Kg peso)
• TEMPO (s)

FORZA: PESO DI UN dm³ DI ACQUA DISTILLATA ALLA TEMPERATURA DI 4°C.

MASSA: GRANDEZZA DERIVATA, SI MISURA IN Kg s²/m.

SOLIDO: CORPO CON FORMA E VOLUME PROPRI

LIQUIDO: CORPO CON VOLUME PROPRIO, MA SENZA FORMA PROPRIA

AERIFORME: CORPO PRIVO DI VOLUME E FORMA PROPRIA

FLUIDI = LIQUIDI ED AERIFORMI. SUBISCE FORTI DEFORMAZIONI ANCHE SOTTO L’AZIONE DI FORZE MOLTO PICCOLE, È DUNQUE UN CORPO FACILMENTE DEFORMABILE.

SUPERFICIE LIBERA = SUPERFICIE CHE SEPARA IL LIQUIDO DAL GAS. AD ESEMPIO UN LIQUIDO POSTO IN UN RECIPIENTE IN CONDIZIONI NORMALI NON OCCUPERA’ L’INTERO VOLUME DISPONIBILE, MA SARA’ SEPARATO DA UNA SUPERFICIE LIBERA DAL FLUIDO CIRCOSTANTE (AD ESEMPIO L’ARIA). UN AERIFORME IN UN RECIPIENTE CHIUSO, OCCUPERA’ TUTTO IL VOLUME A DISPOSIZIONE.

DEFORMAZIONI LIQUIDO ED AERIFORME: MAGGIORE È LA DISTANZA DELLE MOLECOLE CHE COMPONGONO UN CORPO, TANTO MINORI SONO LE FORZE DI ATTRAZIONE, DUNQUE IL CORPO SARA’ FACILMENTE DEFORMABILE.

SISTEMA CONTINUO: EULERO, UNO DEI FONDATORI DELL’IDRODINAMICA, IPOTIZZO’ CHE UN FLUIDO POTEVA ESSERE CONSIDERATO COME UN SISTEMA CONTINUO. SE INVECE DI CONSIDERARE LE MOLECOLE COME PARTICELLE ELEMENTARI, SI CONSIDERA UNA SOLA PARTICELLA ABBASTANZA GRANDE, E SI CONSIDERA UN DL ABBASTANZA LUNGO AFFINCHE’ SI POSSANO CONSIDERARE LE CARATTERISTICHE MEDIE TEMPORALI DEL FENOMENO IN ESAME.

FORZE IN UN SISTEMA CONTINUO: LE FORZE ESTERNE AGENTI SU DI ESSO POSSONO ESSERE: - FORZE DI MASSA - FORZE DI SUPERFICIE

FORZE DI MASSA: FORZE CHE AGISCONO SU TUTTE LE PARTICELLE E SONO PROPORZIONALI ALLA LORO MASSA. (FORZE DI GRAVITÀ)

FORZE DI SUPERFICIE: FORZE CHE AGISCONO SULLA SUPERFICIE ESTERNA DEL CORPO. (FORZE ESERCITATE SU UN FLUIDO DALLE PARETI DEL RECIPIENTE).

FORZA PER UNITA’ DI SUPERFICIE: OLTRE ALLE FORZE ESTERNE, ESISTONO DELLE SOLLECITAZIONI INTERNE. CONSIDERANDO UN SOLIDO DIVISO IN DUE PARTI DA UNA SUPERFICIE A, SE R È LA RISULTANTE DELLE FORZE AGENTI DALL’ESTERNO, IL RAPPORTO R/A INDICA IL SUO STATO DI SOLLECITAZIONE INTERNO.

Comprimibilità (dimostrazione)

dp = _P/_E è un'equazione differenziale

con il metodo della separazione delle variabili

dp = _P/_E integrando: p = Elog p + cost

se per p = _p0 risulta g - _p0 cost: _p0 = Elog _p0

sostituendo, p = Elogp + _p0Elog_p0

p - _p0 = Elog( _p/_p0)

p - _p0 = E log( _p / _p0)

_{p - p0} / _E = log( _p / _p0)

E^{log( _p / _p0)} = ^{p - p₀} / _E

^p / _p0 E ^{p - p₀ / _E}

N.B. Sviluppo in serie di Taylor:

e^x = 1 + ^x / _1! + ^x2 / _2! + ^x3 / _3! + ...

trascurando i termini di secondo grado:

^p / _p0 = (1 + ^{p - p₀ / _E )}

se la variazione di pressione è minima, si può trascurare dp / E

p = _p0 ⟹ p = cost l'acqua è incomprimibile

Equazione di stato: Per un gas l'equazione di stato è pV = mRT

kilo mole è la massa di un numero di molecole di gas pari al numero di atomi di carbonio 12, necessari a formare una massa di 12 kg.

gas = _p/_V = RT

liquidi = dp / _E = _sp / _sV

MANOMETRO METALLICO: DETTO ANCHE MANOMETRO DI "BOURDON".

È COSTITUITO DA UN TUBICINO APPIATTITO AVVOLTO A SPIRALE, LA CUI ESTREMITÀ È COLLEGATA CON UN TUBICINO CON IL FLUIDO DI CUI VA MISURATA LA PRESSIONE.

IL TUBO A SPIRALE SI DEFORMA IN BASE ALLA PRESSIONE E SPOSTA LA LANCETTA SUL QUADRANTE.

MANOMETRI COLLEGATI IN PUNTI DIVERSI MA ALLA STESSA QUOTA, DANNO LO STESSO VALORE DI m.

MANOMETRI COLLEGATI ALLO STESSO PUNTO MA A QUOTE DIVERSE, DANNO m DIVERSI.

NEI GAS FORNISCONO SEMPRE LA STESSA INDICAZIONE.

PIEZOMETRO: TUBO COLLEGATO AL RECIPIENTE IN CUI IL LIQUIDO RISALE FINO AL LIVELLO DEL P.C.C.T.

INDICA SOLO IL p.c.

CAPILLARITÀ: FENOMENO CHE RIGUARDA TUBI MOLTO PICCOLI, ED IL LIVELLO DEL PIEZOMETRO PUÒ ESSERE PIÙ ALTO O PIÙ BASSO DEL P.C.I. (CIRCOLAZIONE DELLA LINFA NELLE PIANTE).

TENSIONE SUPERFICIALE: PONENDO SULLA SUPERFICIE DELL'ACQUA UN AGO SOTTILISSIMO, ESSO RESTA A GALLA NONOSTANTE IL SUO p.e. È MAGGIORE DI QUELLO DELL'ACQUA.

ISOLANDO UN DISCO SULLA SUPERFICIE LIBERA, QUESTO RISULTERÀ SOTTOPOSTO AD UN INSIEME DI FORZE CHE LO TENGONO IN TENSIONE.

IMMAGINO DI PRENDERE UNA MOLE DI PARTICELLE DI H₂O.

LA PARTICELLA NERA È CIRCONDATA DA ALTRE PARTICELLE CHE PER IL PRINCIPIO DI AZIONE E REAZIONE ESERCITANO DELLE FORZE UGUALI E CONTRARIE A QUELLA DELLA PARTICELLA.

SE CONSIDERO LA SUPERFICIE LIBERA AL DI SOTTO LA PARTICELLA REAGISCE CON LE ALTRE PARTICELLE, AL DI SOPRA SI CREA UNA TENSIONE SUPERFICIALE AFFINCHÉ LA PARTICELLA SIA ANCORA IN EQUILIBRIO.

VOLENDO SEZIONARE LA PARTICELLA PER CALCOLARNE LO STATO TENSIONALE (UNA PRESSIONE), SI FAREBBE

p: FORZA/AREA DI APPLICAZIONE DELLA FORZA

ESSENDO IL DIAMETRO TRASCURABILE

σ = F

l = LUNGHEZZA DEL TAGLIO

RISULTANTE DELLE FORZE DI TENSIONE SUPERFICIALI = 2πlσ

RISULTANTE DELLE PRESSIONI SUL PIANO ORIZZONTALE = lπT_c²

2πT_c/C = 2σ/C = p = 2σ/C^{PRESSIONE INTERNA}

SPINTA SU UNA SUPERFICIE PIANA

SIA A UNA SUPERFICIE IN UN LIQUIDO, CHE GIACE SU UN PIANO CHE FORMA UN ANGOLO α CON L'ORIZZONTALE.

SI PUÒ INDIVIDUARE LA RETTA DI INTERSEZIONE TRA IL PIANO SU CUI GIACE LA SUPERFICIE ED IL P.C.I,DETRA RETA DI SPONDA E ASSUMIAMOLA COME ASSE Y, E LA NORMALE AD Y COME ASSE X.

SU UNA SUPERFICIE dA₁ AGISCE LO SFORZO q_n, NORMALE AL PIANO X₀Y E DI MODULO:

p = γ h = γ x senα₁

LA SPINTA SARÀ:

S = ∫_A p m dA = ∫_A x senαγ dA

= γ senα m ∫_A x dA

SAPENDO CHE: x₀ = ∫_A x dA / A

S = γ senα A x₀ = γ h₀ A = p₀ A

p₀ : PRESSIONE NEL BARICENTRO.

COORDINATE DEL CENTRO DI SPINTA

LA SPINTA È UN VETTORE NORMALE ALLA SUPERFICIE,QUINDI SCRIVIAMO LE EQUAZIONI DI UGUAGLIANZA DEI MOMENTI INTORNO AD X ED Y.

RISPETTO AD Y:

S . ξ = ∫_A p x dA = ∫_A h x dA = ∫_A x γ senα x dA = ∫_A x² γ senα dA = γ senα ∫_A x² dA

S = γ senα A x₀ I_y = ∫_A x² dA M_y = A x₀

ξ: γ senα A x₀ = γ senα I_y → ξ = I_y / A x₀

→ ξ = I_y / M_y ASCISSA DEL CENTRO DI SPINTA

RISPETTO AD X:

S . η = ∫_A p y dA = ∫_A h y dA = ∫_A y x senαγ y dA = ∫_A x y γ senα dA = γ senα I_xy

= γ senα (x_y dA ) = γ senα I_xy

S = γ senα A x₀ M_y = A x₀

η: γ senα A x₀ = γ senα I_xy

→ η = I_xy / A x₀

→ η = I_xy / M_y ORDINATA DEL CENTRO DI SPINTA