Teoria Completa Analisi matematica A

M M

- ∃ ∈ ∀ ∈

min ( f([ a, b ]) ) , cioè x [ a, b ] : f(x ) ≤ f(x) x [ a, b ] → m = min

m m

DIMOSTRAZIONE

∃ ∃ ∈ ∀ ∈

dimostriamo che M = max ( f([ a, b ]) ) , cioè x [ a, b ] : f(x ) ≥ f(x) x [ a, b ]

M M

Consideriamo f ( [ a, b ] ) , definiamo M = sup ( f( [ a, b ] ) ) . Facciamo vedere che M < + ∞ e che

M = max ( f( [ a, b ] ) ) . Alla fine dimostriamo che se M = + ∞ otteniamo un assurdo

1) M < + ∞

∀ ∃ ̅ ∈ ̅

Allora ε > 0 f ( [ a, b ] ) tale per cui > M – ε

1 1

∀ ∈ = ∈ = −

n IN , scegliendo esiste x f( [ a, b ] ) tale per cui

0 n

{ }

Proprietà di :

∈ ℕ

0

• ∈ ∃ ∈

x f( [ a, b ] ) → a [ a, b ] : x = f(a )

n n n n

1

• ∀ ∈ − < ≤

n IN

0

tendono a → M , f(a ) , M , quindi per teo 2 carabinieri : f(a ) → M , n → + ∞

n n

{ }

Studiamo adesso le proprietà di :

∈ ℕ

0

• { }

∈ ∀ ∈

a [ a, b ] , n IN → è limitata

n 0 ∈ ℕ

0

per il teorema di Bolzano – Weierstrass = una successione limitata contiene una sotto-successione convergente (a → L)

n

∃ ⊆ =

{ } { a } che ammette limite , cioè

n

→+∞

Proprietà di c : a ≤ a ≤ b → a ≤ c ≤ b ← teorema confronto per successioni

n

⊆ ( =

)

{ f( ) } { f( a ) } , e quindi , perché ogni sotto-successione di una successione

n

→+∞ convergente converge allo stesso limite

- () = ()

f è continua : →

per il teorema dei limiti di funzioni/successioni

( = ()

)

→

→ +∞

→ f(c) = M per unicità del limite , cioè c = x M

2) M = + ∞

∀ ∈ ∃ ∈

n IN x f( [ a, b ]) : x > n

n n

∈

Sia a [ a, b ] : f(a ) = x

n n n

∃ ⊆ = ∈

{ a } è limitata → { } { a } con [ a, b ] ← per teorema del confronto

n n

→+∞

• f è continua → f( ) → f(c) , n → + ∞

• f( ) → + ∞ , n → + ∞

∈

→ f(c) = + ∞ , assurdo perché f(c) IR

∃ ∈

→ M deve essere < + ∞ , cioè x [ a, b ] tale per cui f(x ) = M

M M

Corollario di Weierstrass

Sia f : IR → IR continua

() = () = +∞ ∃ ∈

1) Se , allora f ammette minimo su IR , cioè x IR t. per cui

m

→ −∞ → +∞

f(x ) = min(f)

m () = () = −∞ ∃ ∈

2) Se , allora f ammette massimo su IR , cioè x IR t. per cui

M

→ −∞ → +∞

f(x ) = max(f)

M

Oss : Se f non soddisfa queste condizioni , non vuol dire che non abbia max / min

() = ∈ () = ∈

Corollario : f : IR → IR , continua , e tale che IR , IR

− +

→ −∞ → +∞

∈

1) sia : max { , } . Se esiste un punto x IR : f(x ) > , allora f ha massimo in IR

0 0

1 − + 1

∈

2) sia : min { , } . Se esiste un punto x IR : f(x ) < , allora f ha minimo in IR

0 0

2 − + 2

Teorema dei valori intermedi 9.5

Sia f : [ a, b ] → IR , continua . Siano m = min ( f( [ a, b ] ) ) , M = max ( f( [ a, b ] ) ) .

∀ ∈ ∃ ∈

Allora , y [ m, M ] x [ a, b ] : f(x) = y , cioè f( [ a, b ] ) = [ m, M ]

Dopo aver definito cosa significa la scrittura g = o(f) per x → x

0

- definire il polinomio di Taylor di ordine n centrato nel punto x 0

- enunciare e dimostrare la formula di Taylor con il resto di Peano. (19)

• APPROSSIMAZIONE (7)

Sia f : A → IR , x p.d.a. per A , vorremmo avere informazioni sul comportamento di f vicino a x

0 0

I polinomi sono funzioni "abbastanza semplici" da studiare : i polinomi di grado 0 sono costanti , i polinomi di grado 1

sono rette , quelli di grado 2 sono parabole ecc.

→ Vorremmo approssimare f vicino a x con un polinomio , cioè scrivere :

0

f = Pn + Resto " buono " , vicino a x 0

questo si può fare sempre , infatti per ogni polinomio Pn possiamo prendere f = Pn + ( f – Pn )

Il problema è scegliere Pn in modo tale che il resto ( f – Pn ) sia buono .

Definizione asintoticamente equivalente

Siano f , g : A → IR , x p.d.a. per A . Diciamo che " f è asintoticamente equivalente a g per x → x " se :

0 0

• g ≠ 0 in un intorno di x 0

()

• {0}

= ∈ ℝ −

()

→ 0 ~ , →

Scriveremo 0

Definizione o piccolo

Siano f , g : A → IR , x p.d.a. per A , diciamo che " g è un o piccolo di f per x → x " se :

0 0

• f ≠ 0 in un intorno di x 0

()

• =0

()

→ 0

• () = 0

→ 0

Notazione : o(f) , x → x = { insieme delle funzioni g che sono o piccoli di f per x → x }

0 0

Sviluppo di funzioni in un punto ∈

Definizione : Sia f : A → IR , x punto interno di A ( x A ) . Chiamiamo " sviluppo di f di ordine n in

0 0

un intorno di x " la scrittura :

0

() ) )

() = + (( − , x → x 0

0

dove Pn è un polinomio di grado n () – ()

n

() ) )

() = + (( − =0

OSS : dire che vuol dire che f(x) – Pn(x) = o ( ( x – x ) ) , cioè

0

0

(− )

→ 0

0

n

Quindi f(x) – Pn(x) → 0 , per x → x , più velocemente di quanto ( x – x ) → 0 , per x → x ,

0 0 0

e quindi " n " mi dà informazioni sulla velocità con cui Pn → f per x → x 0

Definizione polinomio di Taylor di ordine n centrato in un punto x

0

∈

Sia f : ( a, b ) → IR , x ( a, b ) , e sia f derivabile n volte in x . Definiamo il polinomio di Taylor di f di ordine n centrato

0 0

in x come :

0 ()

′ ′′

( ) ( ) ( )

2

0 0 0

() ) ( ) ( ) ( )

= ( + ∙ − + ∙ − + … + ∙ −

,, 0 0 0 0

0 1! 2! !

() ( )

=0

0

∑ ( )

= ∙ − , ∈ IR

0

!

Formula di Taylor con resto di Peano

∈

Sia f : ( a, b ) → IR , x ( a, b ) tale che :

0

1) f è derivabile n – 1 volte in ( a, b )

2) f è derivabile n volte in x 0

Allora :

() ) )

() = + (( − , →

, , 0 0

0

DIMOSTRAZIONE

Per induzione su n :

- n = 1

lo abbiamo già dimostrato , perché abbiamo visto che se f è derivabile in x , allora

0

′

) ( )( ) )

() = ( + − + ( − , →

0 0 0 0 0

- passo induttivo : +1

() ) ) () ) )

() = + (( − () = + (( −

Supponiamo che , dimostriamo che

, , 0 ,+1 , 0

0 0

IDEA : trovare due funzioni a cui applicare il teorema di de l' Hopital . Poniamo

o ()

() = () −

,+1 , 0

+1

o ( )

() = −

0

e soddisfano le ipotesi del teorema di de l'Hopital in ( a, x ) e ( x , b ) : infatti

0 0

• ) ( ) ) )

() = ( − = ( − ( = 0

0 ,+1 , 0 0 0

0

±

→

• +1

( )

() = − = 0

0

± ±

→ →

′ () ()

−

′ ′,

()

• +1 ,

0

=

′

() ( )

+ 1)( −

± ±

→ → 0

∀

hp induttiva : g derivabile n – 1 volte in ( a, b ) , n volte in x si ha

0

() ) )

() = + (( − , → . Applichiamola con g = f'

, , 0 0

0

- f derivabile n volte in ( a, b ) → f ' derivabile n – 1 volte in ( a, b )

- f derivabile n + 1 volte in x → f ' derivabile n volte in x

0 0

′

() () ) )

– = (( −

Allora , e da questo segue che

′ 0

,+1 , 0 ′ ′

() ()

− ()

′

,+1 ,

0

= 0 → =0

′

( ) ()

+ 1)( −

± ±

→ →

0

()

=0

per teorema de Hopital → ()

±

→

()

() −

,+1 ,0 +1

() ) )

= 0 () = + (( − , →

Perciò : , e quindi → ,+1 , 0 0

+1

( ) 0

–

±

→ 0

Dare la definizione: “ f derivabile nel punto x0 ” se . . . (5)

Dopo aver dato la definizione di funzione derivabile nel punto x0, enunciare e dimostrare il teorema

- sulla derivata della somma di due funzioni

- sulla derivata del prodotto di due funzioni

- sulla derivata della composizione di due funzioni.