Teoria analisi matematica

Numeri Reali

Num. Naturali N = {0, 1, 2, ..., N}

Leggi di composizione interna ad N → addizione moltep.

N. Interi Relativi Z = {0, ±1, ±2, ±3, ..., ±N}

I anuale sottrazione

∀ a ∈ Z ∃ b ∈ Z / a+b = 0 → b = -a

Num. Razionali Q = {N/m; | N, m ∈ Z, m≠0}

• Insieme dei numeri esprimibili sotto forma di frazione.
• Sono compresi i num. decimali finiti o illimitati ma periodici.
• Sono possibili tutte le operazioni elementari + potenza.

Num. Irrazionali (Num. decimale illimitato non periodico)

estrazione di radice

Dim Q non razionalità di √2. Se fosse razionale N/m = √2

da cui N²/m² = 2. Se m = 1 N² = 2 - assurdo non ∃ non N² de = 2

se N e m primi tra loro Caso anche N²/m² ∃ ∈

Num. Razionali: Proprietà

operazioni definite in Q

a+b = b+a

(a+b) c = a (b+c)

a+0 = a

a+(-a) = 0

a/b = a

c(a+b) = c.a+c.b

a x 1/a = 1; a².1;

NUMERI REALI

NUM. NATURALI

N = {0, 1, 2, ..., N}

• Leggi di composizione interna ad N → addizione multiplicazione

N. INTERI RELATIVI

Z = {0, ±1, ±2, ±3, ... ±N}

• I anche sottrazione
• ∀ a ∈ Z ∃ b ∈ Z / a+b = 0 → b = -a

NUM. RAZIONALI

Q = {^N⁄_m, j N, m ∈ Z, m ≠ 0}

• Insieme dei numeri esprimibili sotto forma di frazione
• Sono compresi i num. decimali finiti e/o illimitati ma periodici
• Sono possibili tutte le operazioni elementari + potenza

NUM IRRAZIONALI

(Num. decimale illimitato non periodico)

estrazione di radice

Dim.qu. non razionalità di √2, se fosse razionale ^N⁄_m = √2

da cui ^N2⁄_m² = 2. Se m=1 ^N2 = 2 - assurdo non ∃ non N² de=2

Se N e m i primi tra loro - Caso anche ^N2⁄_m² ∈ ℤ

NUM. RAZIONALI: PROPRIETÀ

operazioni definite in Q

• a+b = b+a
• a.b = b.a
• (a+b).c= a+(b.c)
• c(a.b)= a(b.c)
• a+0 = a
• a : 1 = a
• a + (-a) = 0
• a ⁄ ^a⁄₁ = 1 a¹ ≠1
• c(a+b) = c.a+ c.b

CAMPO ORDINATO

Un insieme che gode delle proprietà indicate

di seguito, e in più gode di una RELAZIONE di ordine.

Presi 2 numeri a e b qualsiasi, è sempre possibile stabilire quale relazione >

oppure < compatibile con la struttura algebrica

• ∀ a, b, c a ≤ b ⇒ a+c ≤ b+c
• ∀ a, b, c se a ≤ b ⇒ a-c ≤ b-c
• ∀ a, b, c se a ≤ b, b ≤ c ⇒ a ≤ c

La relazione di ordine verifica le seguenti proprietà:

• ∀ a a ≤ a
• ∀ a, b se a ≤ b, b ≤ a ⇒ a = b
• ∀ a, b, c se a ≤ b, b ≤ c ⇒ a ≤ c

Rap. geometrica: in un campo ordinato esiste una corrispondenza

biunivoca tra i numeri razionali e i punti della retta euclidea

N.B. Queste proprietà valgono anche per numeri reali (irrazionali)

• Disuguaglianza triangolare
• |a| = {a se a ≥ 0
• -a se a < 0
• ∀ a |x| ≤ a ⇒ -a ≤ x ≤ a

D.T. ∀ x, y ∈ ℝ |x + y| ≤ |x| + |y|

-|x| ≤ x ≤ +|x|

-|y| ≤ y ≤ +|y|

⇒ -( |x| + |y|) ≤ x + y ≤ |x| + |y|

ANALISI MATEMATICA

1^o SEMESTRE

INTERVALLI

• i._o chiuso: [a;b]=\{x \in \mathbb{R} | a \leq x \leq b\}
• i aperto: (a;b)=\{x \in \mathbb{R} | a < x < b\}

I LIMITATI:

• supteriormente e chiuso inferiormente: [a;+\infty)
• ill inferiormente e aperto sup: (-\infty;b)

Se \delta_1 = \delta_2 allora si dice INT CIRCOLARE di centro x_0 e raggio

• INT SINISTRO(x_0)
• INT DESTRO(x_0)
• I(x_0)

INT. DI TIPO INFINITO

• I(-\infty)
• INT PIÙ INFINITO

Def. 1: l'ins si dice SUPERIORMENTE LIMITATO quando esiste un k tale che ogni elem dell'insieme è minore o uguale a k - in questo caso k è il MAGGIORANTE.

Def. 2: l'ins si numrico e INFERIORMENTE LIMITATO quando esiste un h tale che ogni elem dell'insieme è maggiore o di più eguale al h - è il MINORANTE.

Osserv. Dato insieme A [0; 3] 0 -> minimo 3 -> massimociò non è vuoto e A ins. aperto ]0;3[ 0;3 A

L'estremo superiore è il più piccolo dei maggioranti e si indica

SUP(A) analoga_remente INF(A)e appartiene ad A allora -