Teoria analisi matematica

Numeri Reali

• Num. Naturali _N

  {0, 1, 2, ..., N}
  • Leggi di composizione interna di _N ⇒ addizione moltiplicazione

• Num. Interi Relativi _Z

  {0, ±1, ±2, ±3, ...., ±N}
  • ∀ a, b ∈ _Z / a + b = 0 ⇒ b = -a

• Num. Razionali _Q

  {^N/_m | n, m ∈ _Z, m ≠ 0}
  • Insieme dei numeri esprimibili sotto forma di frazione
  • Sono compresi i num. decimali finiti e/o illimitati ma periodici
  • Sono possibili tutte le operazioni elementari ± potenza

• Num. Irrazionali

  (Num. decimale illimitato non periodico) estrazione di radice
  • Dim q non razionalità di √2
  • Se fosse razionale, N/m = √2 da cui ^N2/_m² = 2
  • Se m = 1, N² = 2, assurdo, non j ∈ N con ^N2 de = 2
  • Se N e m primi tra loro, anche ^N2/_m² E

• Num. Razionali: Proprietà

  Operazioni definite in Q
  • a + b = b + a
  • a . b = b . a
  • (a + b) c = a + (b + c)
  • c (a . b) = a (b . c)
  • a + 0 = a
  • a : 1 = a
  • a + (-a) = 0
  • a : ¹/_a = 1 a . a^-1 = 1
  • c (a + 5) = c . a + c . b

Campo ordinato

Un insieme K gode del prodotto algebrico ⇔ K gode di una relazione di ordine.

Presi 2 numeri reali, è sempre possibile averne due relazioni compatibili con la struttura algebrica:

• ∀a, b, c a ≤ b ⇒ a+c ≤ b+c
• ∀a, b, c se a ≤ b ⇒ ac ≤ bc

La relazione di ordine verifica 3 seguenti pr:

• ∀a a ≤ a
• ∀a, b se a ≤ b, b ≤ a ⇒ a = b
• ∀a, b, c se a ≤ b, b ≤ c ⇒ a ≤ c

App geometrica:

In un campo ordinato J, una corrispondenza biunivoca tra numeri razionali e i punti della retta euclidea

N.B. Qste pr. valgono anche x numeri reali (irrazionali)

• Disuguaglianza triangolare

|a| :

• a se a ≥ 0
• -a se a < 0

∀a |x| ≤ a ⇒ -a ≤ x ≤ a

D.T

• ∀x, y ∈ ℝ |x + y| ≤ |x| + |y|

-|x| ≤ x ≤ |x|

-|y| ≤ y ≤ |y|

⇒ -(|x| + |y|) ≤ x + y ≤ |x| + |y|

Funzione Inversa = dominio e funzione bionivoca e si indica con

F^-1(x) ed è la corrispondenza che associa a ogni

elemento del codominio (y) e f è solo a (x=f^-1(y).

^give (y₀).

f (dominio B, codominio a).

Grafico

• grazie degli assi scambiando.
• essere strettamente monotona affinchè invertibile.
• f surgettiva.
• invertibili dati Domini e Codominio; è elevato (y=2x+2).
• 4x=2x+2/4=x=2/4
• 4=x

Funzione Trigonometrica

Seno

y=sen x.

x-corrispondenza bioy

• F TRASC. LOGARITMICA

1. log base non si annulla

1. il log ha senso finato se e argomento è >0 , se a>0, a≠1

2. D: {x∈R|x>3}

• F. ESP.

1. e x intero po. y>0
2. y=
3. x0
4. f(x) = cos x
5. f(x) = tg x x≠...

Una funzione si dice continua in un punto se esiste il limite per quel punto con x → c (ovunque punto), e questo limite è = al valore funzionale in quel punto

CONTINUA in x = c se:

• esiste il valore funzionale per il punto c.
• esiste il limite della funzione per x = c.
• il valore della funzione e il limite uguale in valore, nel punto c.

ES : f(x) = 4 - x² è CONTINUA in x = 2.

ES lim [ (x² - x - 1) / (x-1) ] = 3 lim x →1

Somma/differenza e continue in un punto o diversamente sono continue nel punto dove interne continua

ES lim (x - 3/√x) → 8.

LIM PRODOTTO 2 FUNZIONI

• lim K f(x) = K lim f(x) = Kc
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DERIVATA DI UNA FUNZIONE

PQ secante → coefficiente angolare della m_pq

Dato che x₀_incremento h Δx = h e quindi che fune secat F(x₀ + h)

\[ \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{F(x_{0}+h) - F(x_{0})}{h} \]

DELL’INCREMENTO DELLA VARIABILE VARIANTE OSIUSPORT

SI INCREMENTA DELLA FUNZIONE

IL RAPPORTO INCREMENTUALE che è: →

dell’aurea delle rette secante la grafica ovato da tangente trigonometrica der

Ramira con donn allá ass dell’ius

DERIVATA IN A PUNTO x₀) è il limite della flossa del rapporto incrementale per l’incroci a zero degli incrementa dato der variabile inva pendente.

Il ilico lim dice esiste ed essere finito

\[ lim_{h \to 0} \frac{F(x_{0}+h) - F(x_{0})}{h} = F’(x_0) \]

d i punto è DERIVABILE in 1 punto (a,b) Se è domini di i đô comerciollo bellch punti.

DELL’INTERVALLO (a - et- b) · DERIVATA DEFINITA FX ϵ (a, b)

dell’è della FUNZIONE DERIVATA

- Se da curva (posso il operiae coil rel repo nonrmol ovederomo

ordinato quota Δi immodia, mnamenti ei precedere per quele usilto

valzato pectoaco λ_k in il medio evidente di diwarulson (grei e passo g) di assdenia tendora

facendo cumunicazione del punto immobile da evepisco 0 di di estarnaza tienfeco testo 'F e il retto. Per toguirgo dalla posiorene amminte = RETTA TANGENTE

da grafico (e pür punto x in uscita x_k (Sc aiut percicio è data da e predu ilge nomo gas deril vuota gramm.

Petta TANGENTE

\[ y = F(x{0}) + F’(x_0) \cdot (x - x_{0}) \]

Coelen trannen è per retta tanquente su doio identii coepivosunco redivil rella

per 2 punti - un fisso & uno immobile che di boulot sonmuere di & to pronea

senal xo mica cuna ihe cuim je flurio (x x xquist possunco po medre)