Teoria Analisi A

Dimostrazione casi3si averepossono chiamofla verificatae te gia èedayo Xo a abf D chiamo verificataxoabt.ca èedbyo bgil teorema zeriApplicando x deglia gfla fYoa ao poiché yg fb b filooa Yog yo poiché chehailE b teoE zerima siapplicando deglieg a7 la b fIEXo Xo 0c g84 D fixXo Toroma YgTeorema WeierstrassdiSia CIE bf e a I txtI f bE fEb ti xE Xi Xaa a2Six 1f f maxaXae fig aibderivabilitàtra continuitàLegame eSe DIRbf a I IR8 IaXo Ee Xo Esupponiamo concontinua inè XoTeorema FermatdiSia f DIR derivabileb b infEXoa Xoa eèSe relativo f Dmin fXo maxun ko operoYa dinto geomenIn relativo ladi min tangentepunto max oun delleall'asseparallelaè ascisseIi iiiE 5aDimostrazione direlativodi min fpuntoSupponendo Xo un4 h Six81 8 8 sixthlim einL CianXo a a hq hGh hoodotso ISia 5ho sofixeimflx.tl oh sodot 5 hsia o ofixlimflx.tkD ehesso o delf il fteorema oIo Xoe confrontoXoo perTeorema RollediSia E derivabilebc 1af DIe a ine

t.cob 7 b f9g toEse oXo aa aYa Significato geometricoE 7bEpunto iaungia 8lb parallela delleall'asse ascissey DXgaDimostrazioneS C teorema Weierstrassil dib De a perIx floIa t min f fE f maxXi Xaea bb aahannoD si 2 possibilità Hx8112 f8 beE f eXiXi x afix 8 ffixEIf EX8Dx Ja bEXi 0x xAlmeno dei bIa2 Epuntiuno x v2IxFermat t.cn flail obteorema di E toperTeorema di LagrangeSia f b derivabile bCe Iaa sue 84 flaI Ia DI gigateEo b aSignificato geometricoa Sla8lbSiaSla flax ay g ai t.c.laI IaD E in queltangenteXoI parallela alla cherettasiapunto congiungeIIb I I b avràb coordinatef edIla eaXo 8140DbaDimostrazione 1111Sia fix xfca ax ag b aderivabileIaC IabE be suxg flaflainoltre 0agia f Ita b flafbb ogil 7teorema Rolledi ta b t.cie toXo oper g1119 o I b afla8lbg xoTeorema di CauchySia IR TaibiCla b derivabilifigfig DI E ea suHX bse Eglx a x oo ag I gial btoIX b eE a glabx9 gSignificato geometricoa 1Slaligia I ladoveDIIa fE ètangente aXogg allaparallela tangente a

gfiblagib 1i DbaDimostrazione 1lb 8 aSia gia 1g 81x gia4 x giagibtderivabileC bb IaE4 a sueala fflainoltre 0aflaf4lb fbI ob aRolleil teorema diapplicando 4aI Ja t.ciDI oXolXo E fla8lbsXoeo XoXo 9giagas8lb Ita flad'Ito 8lbf aXo DXo a9glagb glio giagTeorema della formula de l'HàpitaldifigSiamo derivabili aibsu 1Ux aibto 1tu gliex egÈ eI lim limIXtirulto Xse edagu gux p indeterminate delcasoQuesta in diformula è applicabile egoforme tipolim leiIIIao per fama i axoxoDimostrazioneEstendiamo modof fixdainin Xo toavere oe g gSia IX SIXo 8181 sexoSix DXea egg xgg gJSia 5 11 9111fix 0 Xdae I I xglioglxga gAlim tgasDerivate di ordini superiorif DIRb abiledei Ja.befe inaE baoSi chiama derivata seconda di f inLl Xooth 11aimI Xo Xoeg doSi chiama derivata diesima fn im XoDl'mg Xoxo aFunzioni convesse8 DIRba ta bEx y8 LIXEX X 814JLXx yH XE IO iFunzioni concaveIta b IRo Ia loEx y 11 848 81 1147x yIOHT E IDefinizione dipunto flesso8 b DIRa siIa dib diceE puntoXo

fflesso perconcavitàcambiafse quel lain inpunto viceversaconvessa oSimboli LandaudiDiciamo che fix è dipiccoloo Dun x xperg841I tal scriviamoSe in casooGg gufix glx Do xperFormula di Taylor Peanoresto secondoconSe derivabile INvoltef è in con MEmPifSix x Xoxo Dx YoperEff XoPIPI findove x e Xox K inizialeil polinomioè didiTaylor fdi grado di punton XoQuando è integrabilesi chedice funzioneunaSia limitata chiusolimitatoIb DIR intervallof eunsuaDiciamo Reimannche 118 518bsecondointegrabilef è su seadenotiamotaline casola fix 518dx 118vale 518che EIsSapendo sempreTeorema della media integralet.e.tt dx1xII fb Xota Dt b e a b abla all'areachecioè deldx ffix a rettangoloXo a corrispondeb altezzabase fixeaconinffiDimostrazione R bSbS C D e aE a Ibf C M f fe teorema di Waierstrasilemax na m perfibafixla M delE bdx il teoremae confrontob am a perlala dx1dx la M bMdx Me11 dxla mdx aeem ala 811dx EMme b aI IYEIRPer il Bolzanoteorema le

Continuedi funzioniper MII Xb fE fXo Xoca là dx811 iiiI inTeorema del calcolo integralefondamentaleIt b la diintegraledefiniamo fa funzioneeLI At l'areaF f intervallot del f sulla dix sottografico a xderivabile FIXF fè xeb iii i1 abXaDimostrazioneFIX h FIX IChatLatfit1 laa ae sit sit atde at1litlae aat f hI t certoE xea EI xeunper2 r mediadella integraleil teoremaperIX hEXe Dotthf 8fcontinuaè D xXp aFIAL FA lim FtthCim I xaan hoohDot IndeIIHldt IslitldtFhF xx 8 fixXseae gL q Per certounEFX sExe dellafaiFath per teoremailIlm f x mediaa integraleaµFormula notacalcolo primitivaintegrale unaSia fIf diDIRb t primitivab sia unaeaa gla fix dx b a xe gia ggFormula dell partiintegrazione perI C Cb 78loE tic bIR9 Ea ag ala 1 dil dx 81fixax x x xg g gSerie convergenteSia realidiuna numerian successioneme IE la delleè parzialisuccessioneSm sommeax ÈlaAlim R èse sa s serie somma se conan convergentemaÈ EiarFn CimIIan nataaSerie

geometricaÌnmo himSmlimse 1 DI1 i xmamista x1lim limSnase Dix a tooinotanotalase 1 seriex D è irregolareSerie armonica generalizzataÈ PER laDse eo nsoddisfadiverge perchép cnon dxsi confrontase conso too poi peltooep per perTeorema del confrontoSiano VMEINamebaoII IfSe bm è0 0anconvergenteÈ IISe bna 00 aam aCriterio del rapportoSia INAM E0amSe 7 lim eÌnnata Ifle 1 serie èse tooe convergenteangiae la èse serie divergentela il1 criterio cambiare criteriose è inefficaceCriterio della radiceSia INKM EOan Non7 LSe IRlim E U 00nato Èleise e tooanmaese MEIi tean alse il criteriol cambiare criterioè inefficaceCriterio del asintoticoconfronto ININ AMkm bmOF Ee ean 0an 1lim7 IRUse E 00bmmistoHo 3 casi È EIi ore allora bne EDse a00ao amnafian Iaa bm