Teoria Analisi 1 (Dalla teoria degli insiemi ad accenni base sulle funzioni) [1/5]

Legenda

1. Insiemi e numeri complessi
   • Minorante e maggiorante
   • Insieme limitato
   • Insieme illimitato
   • Massimo e minimo
   • 1 = Unicità del minimo
   • Intervallo
   • Operazioni tra insiemi
   • Estremo superiore e inferiore
   • 2 = inf (a, b) = A sup (a, b) = b
   • Densità di Q in R e di R\Q in R
   • EL Neutro e simmetrico in C
   • Rappresentazione cartesiana di un numero complesso
   • Modulo di un numero complesso
   • Complesso coniugato
   • Rappresentazione polare
   • Argomento e argomento principale
   • Prodotto in forma polare
   • Potenza (Formula di De Moivre)
   • Forma esponenziale (Formula di Eulero)
   • Radice n-esima di un numero complesso
   • Oss. sulla forma esponenziale
   • Oss. sul modulo
   • Disuguaglianza triangolare
2. Funzioni
   • Immagine di una funzione
   • Suriettività
   • Iniettività
   • Biiettività o invertibilità
   • Funzione inversa
   • Restrizione dell'insieme di partenza
   • Funzione composta
   • Invertibilità di una funzione
   • 3 = f invertibile ⟷ f bigettiva
   • Operazioni tra funzioni
   • Tipi di funzione
   • Funzione potenza
   • Monotonia di una variabile
   • Polinomio
   • Funzione lineare e affine
   • Zeri di una funzione
   • Reciproco di una funzione
   • Rapporto tra due funzioni
   • Funzione razionale
   • Funzione pari
   • Funzione dispari
   • Funzione periodica
   • Monotonia
   • 4 = f strett. monotona → f iniettiva
   • 5 = f, g monotone → f + g monotona
   • f, g monotone con stesso tipo → fg monotona
   • 6 = f monotona → 1/f monotona con tipo opposto
   • 7 = f strett. monotona → f⁻¹ strett. monotona

• Monotonia f. composte
• Successioni
• Successione estratta o sottosuccessione
• Monotonia nelle successioni
• Maggiore di una funzione
• Minore di una funzione
• Funzione limitata
• Relazione d’ordine tra funzioni
• Modulo di una funzione
• Massimo di una funzione
• Minimo locale
• Massimo e minimo o locale
• Inf e sup di una funzione
• Intorno
• P.to di accumulazione
• P.to isolato
• P.to di acc. in I = (a, +∞) con a ∈ R

3. Limiti

• Definizione algebrica
• Continuità
• Oss. sulla continuità
• I continua in un insieme
• Limiti nelle successioni
• {x_n} monotona ⇒ l = lim x_n = sup (x_n) ∈ R̅
• Convergenza e divergenza nelle successioni
• Convergenza e divergenza nelle funzioni
• Infiniti e infinitesimi
• Intorno puntato
• lim ^x→0 sin (x) / x usando il th. Ponte
• Limite da dx e sx
• P.to di acc. x da dx e sx
• Oss. sui limiti da dx e sx
• 10 ⇒ 3 lim ^x→x₀ f(x) = l ↔ 3 lim ^x→x₀- f(x) = l ∧ 3 lim ^x→x₀+ f(x) = l
• 11 = lim ^x→x₀- f(x) = sup f(x⁻)
• Corollario
• 12 = Th. della permanenza del segno (con limite)
• 13 = Th. della permanenza del segno (con f. continua)
• 14 = Conseguenza del th. di permanenza del segno
• Operazione tra limiti
• 15 = Teorema degli zeri
• Oss. th. degli zeri
• 16 = Conseguenze th. degli zeri
• Campane di Gauss
• 17 = th. dei valori intermedi
• 18 = Th. di Weierstrass
• Th. valori intermedi + Th. di Weierstrass
• Funzioni elementari
• Funzioni trigonometriche (e inverse)
• Funzioni iperboliche (e inverse)
• 19 = Th. di unicità del limite
• Rispetto tra limiti
• lim ^x→x+ f(x) = L⁺
• 20 = Th. del doppio confronto
• 21 = Th. del confronto
• 22 = 3 lim ^x→x₀+ f(x)=0 ↔ 3 lim ^x→x₀− |f(x)| = 0

Intervallo

Sia I ⊂ R, I - intervallo se

∀ x, y ∈ I con x ≤ y : ∀ c ∈ R    [x ≤ c ≤ y ⇒ c ∈ I]

Operazione tra insiemi

• Unione   ⋃   A ⋃ B ::={x | x ∈ A ∨ x ∈ B}
• Intersezione   ⋂  A ⋂ B ::={x | x ∈ A ⋀ x ∈ B}
• Esclusione   A \ B ::={x | x ∈ A ⋀ x ∉ B}

Estremo superiore e inferiore

A ⊂ R , A limitato ⇒ inf A , sup A

R ∃ λ = inf A ⇔ ∀u ∈ A . u ≥ λ

   ∀ ε > 0 , [u ∈ A ⇒ u < λ + ε]

     [∃ u ∈ A ]   [u > λ - ε]

R ∃ Λ = sup A ⇔ ∀u ∈ A . u ≤ Λ

   ∀ ε > 0 , [u ∈ A ⇒ u > Λ - ε]

   [∃ u ∈ A ]   [u < Λ + ε]

sup (a,b) = a    sup (a,b) = b

(a,b) = {x ∈ R   |   a ≤ x ≤ b}

∀x ∈ (a,b)   x ≤ b    (b  i . recentemente)

∀ε > 0 ∃ ̅x ∈ (a,b)   ̅x > b - ε

sfatato - disugen di n/b_r    ed    n/b_r/d...

_{- se} a ≤ b - ε < c ≤ b  ⇒ ∃ c ∈ R   [b - ε < c < b]

_{- se} b - ε < a   ⇒  b - ε < u < x   ⇒  x > b - ε

Prodotto in forma polare (o trigonometrica)

cos(γ + β) = cos α cos β = mα mβ

sen(α + β) = sen α cos β + mα β cos α

z₁z₂ = ρ₁ρ₂ [ cos φ₁ cos φ₂ + i cos φ₂ ] +

+ i m φ₁ cos φ₂ - sm φ₁ φ₂ =

= ρ₁ρ₂ [ cos (φ₁ + φ₂) + i sen (φ₂) ]

= (ρ₁ / ρ₂) [ cos (φ₂ - φ₂) + sen (φ₂ - φ₂) ]

Potenza (formula di De Moivre)

∀ z ∈ ℂ z^m = ρ^m (cos m φ₂ + i sen (mφ))

Forma esponenziale (formula di Eulero)

e^iφ = cos φ + i sen φ

e^iπ = cos π + i sen π = -1 ⟹ e^iπ + 1 = 0

∀ φ ∈ ℝ; |e^iφ| = 1

Radice n-esima di un numero complesso

ⁿ√w = ⁿ√|w| (cos ( ^{arg(w) + 2kπ} / _n) + i sen ( ^{arg(w) + 2π} / m))

con k = 0, 1, 2 m - 1