Analisi matematica 1 Teoria

Numeri Complessi

L'insieme dei numeri reali, con le sue usuali operazioni, possiede proprietà che ci permettono di effettuare una vasta gamma di operazioni, però l'insieme R si rivela insufficiente in alcuni problemi particolari; ad esempio in R non possiamo calcolare le equazioni:

x² + 1 = 0

e^x + 1 = 0

infatti in R non ammettono alcuna soluzione. L'insieme dei complessi sarà C = {a + bi, a, b ∈ R}

Rappresentazione algebrica dei numeri complessi

Un numero complesso può essere rappresentato in vari modi, uno di questi è la forma algebrica, Z = x + iy, i due numeri reali x ed y sono detti rispettivamente parte reale e coefficiente della parte immaginaria del numero complesso considerato.

Il prodotto iy è detto parte immaginaria del numero complesso Z = x + iy, talvolta può essere indicato anche solo -y come parte immaginaria del numero complesso.

Più formalmente un numero complesso può essere definito come una coppia ordinata di numeri reali (x, y).

Coniugato di un complesso:

Se ho un complesso z = a + bi, il suo coniugato sarà z = a - bi e sarà definito come quel complesso che ha stessa parte reale di z ma parte immaginaria opposta.

Somma:

Dato due complessi z = a + bi e z' = a' + b'i', la loro somma sarà composta dalla somma delle parti reali, più la somma delle parti immaginarie, ovvero z + z' = a + a' + bi + b'i' = a + a' + (b + b')i.

Propr. della somma:

• Associativa e commutativa
• Esiste l'elemento neutro (0 + i0) che si può indicare con 0
• Ogni elemento z = a + bi ammette in C un simmetrico rispetto all'addizione -z = -a - bi, che si chiama opposto di z

Moltiplicazione:

La moltiplicazione tra due numeri complessi corrisponde a...

c = (a + bi), c' = (a' + b'i)

t

a z . z' = (a + bi)(a' + b'i) = aa' + ab'i + a'b'i + bb'i²

= aa' + ab'i + a'b'i - bb' = aa' - bb' + i (ab' + a'b)

PARTE REALE PARTE IMMAGINARIA

Proprietà:

• Associativa e commutativa
• Esiste l'elemento neutro (1 + 0i) che si può indicare col simbolo 1

Ogni elemento z = a + bi, con a e b non contemporaneamente nulli,

ammette in C un simmetrico rispetto alla moltiplicazione che si

chiama reciproco di z = a + bi detto anche 1 su z.

nel reciproco di z la parte reale da quella immaginaria moltiplico

numeratore e denominatore per il coniugato di z, ottengo.

¹/_z = a - bi

z z . z = (a + bi)(a - bi) a² + b² a ^b b

a² + b² a² + b²

PARTE REALE PARTE IMMAGINARIA

Tra addizione e moltiplicazione esiste una "regola di convenienza" ovvero proprietà distributiva

della moltiplicazione rispetto all'addizione :

(u + v) . z = u.z + v.z

Con queste operazioni e proprietà l'insieme C viene definito CAMPO

Di conseguenza la rappresentazione polare di un complesso è:

z = ρ(cosβ + i sinβ).

IMPORTANTE:

Si può osservare che l'argomento di z è definito a meno dei multipli interi di 2π. Quindi, variando l'angolo β di 2π, non varia l'argomento di z. Tenendo costante ρ e aumentando β di 2π individuiamo sempre lo stesso numero complesso. In quanto viene completato un giro sulla circonferenza di centro (0,0) e raggio ρ ritornando al punto di partenza. Si ottiene quindi:

z = ρ(cosβ + i sinβ) = ρ(cos(β+2π) + i sin(β+2π)).

Un numero complesso del quale è nota già la forma trigonometrica può essere, in effetti, visto nella forma z= [ρ,β]

PROPRIETÀ

• [ρ₁, β₁]⋅[ρ₂,β₂] = [ρ₁ρ₂,β₁+β₂]
• [ρ₁/ρ₂,β₁−β₂] =

Un numero complesso z=ρ(cosβ + i sinβ) si può scrivere anche in forma esponenziale:

z = ρ e^iθ dove e^iβ = cosβ + i sinβ

Legge di Morgan:

(A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c

(A ∩ B)^c = A^c ∪ B^c

Esempio:

A = {a, b, c, d, e, f} B = {a, c, e, g, i, j}

A ∪ B = {a, b, c, d, e, f, g, i, j} A ∩ B = {a, c, e}

A \ B = A - B = {b, d, f, g, i, j} B \ A = B - A = {g, i, j}

Da questo si deduce che A \ B ≠ B \ A

Osservazione:

_{i = 1}^m ∪ A_i = A₁ ∪ A₂ ∪ ...∪ A_m

_{i = 1}^m ∩ A_i = A₁ ∩ A₂ ∩ ...∩ A_m

(_i=1^m ∪ A_i)^c = _i=1^m ∩ A_i^c

(_i=1^m ∩ A_i)^c = _i=1^m ∪ A_i^c

L'insieme compatto. Sia K ⊆ ℝ.

• K si dice compatto se K è chiuso e limitato.
• Es.: [a, b] (a, b ∈ ℝ) è compatto
• Qualsiasi insieme chiuso in ℝ è anche limitato.
• L'unione di un numero finito di insiemi chiusi e limitati è un insieme limitato chiuso e compatto.

Densità di un insieme. Sia A ⊂ ℝ

1. Si dice A denso in ℝ se per qualsiasi intervallo aperto possiamo sempre trovare un punto x che si trova sia in A sia nell'intervallo aperto: ∃ x ∈ A ∩ ]a, b[

ESEMPIO: Se sulla calcolatrice volessi calcolare quanto vale √2, qualunque numero ottenuto risulterà sempre non esatto totalmente ma sarà un'approssimazione poiché ℚ è denso in ℝ, ovvero riuscirò sempre a trovare un razionale più piccolo compreso nell'intervallo che riuscirà ad approssimare ancora meglio il numero considerato.

Osservaz.: ℤ non è denso in ℝ

• es.: ]0, 1[ ∩ ℤ = Ø

ℚ è denso in ℝ come già affermato:

• es.: ]0, 1[ ∩ ℚ = ]0, 1[ ⊆ ℝ

Preso un intervallo aperto ]0, 1[ ovvero l'intervallo di numeri reali compresi tra 0 e 1, lo interseco con l'insieme ℚ, non ottengo l'insieme vuoto, ottengo esattamente lo stesso insieme poiché tutti i valori tra 0 e 1 sono sia in ℝ che in ℚ.

Ho stabilito all'inizio mediante Archimede che

posso affermare brevemente che lo stesso dire a

sostiene:

^qa+c₁a₂d/_m

_q1a1+a2d/^m

Ha raggiunto ciò che volevo, ovvero ho trovato un razionale, racchiuso maggiore di

a e contemporaneamente minore di b, quindi un razionale compreso nell'intervallo

^qa₂