Analisi matematica 1 Teoria

Numeri Complessi

L'insieme dei numeri reali, con le sue usuali operazioni, possiede proprietà che ci permettono di effettuare una vasta gamma di operazioni, però l'insieme IR si rivela insufficiente in alcuni problemi particolari, ad esempio in IR non possiamo calcolare le equazioni:

x² + 1 = 0e^x + 1 = 0

infatti in IR non ammettono alcuna soluzione. L'insieme dei complessi sarà

Rappresentazione algebrica dei numeri complessi

Un numero complesso può essere rappresentato in vari modi, uno di questi è la forma algebrica z = x + iy, i due numeri reali x e y sono detti rispettivamente parte reale e coefficiente della parte immaginaria del numero complesso considerato. Il prodotto (iy) è detto parte immaginaria del numero complesso z = x + iy, talvolta può essere inteso anche solo y come parte immaginaria del numero complesso. Più formalmente un numero complesso può essere definito come una coppia ordinata di numeri reali (x, y).

Coniugato di un complesso:

Se ho un complesso z = a + bi, il suo coniugato sarà z̅ = a - bi e sarà definito come quel complesso che ha stessa parte reale di z ma parte immaginaria opposta.

Somma:

Dati due complessi z = a + bi e z₁ = a₁ + b₁i, la loro somma sarà composta dalla somma delle parti reali, più la somma delle parti immaginarie, ovvero z + z₁ = a + a₁ + b + b₁i = a + a₁ + (b + b₁)i.

Propr. della somma: Associativa e commutativa

• Esiste l'elemento neutro (0 + i0) che si può indicare con 0.
• Ogni elemento z = a + bi ammette in C un simmetrico rispetto all'addizione z = z − a − bi che si chiama opposto di z.

Numeri Complessi

L'insieme dei numeri reali, con le sue usuali operazioni, possiede proprietà che ci permettono di effettuare una vasta gamma di operazioni, però l'insieme R si rivela insufficiente in alcuni problemi particolari, ad esempio in R non possiamo calcolare le equazioni:

x² + 1 = 0

e^x + 1 = 0

infatti in R non ammettono alcuna soluzione. L'insieme dei complessi sarà {a+bi | a,b∈R}

Rappresentazione algebrica dei numeri complessi

Un numero complesso può essere rappresentato in vari modi, uno di questi è la forma algebrica Z = x + yi, i due numeri reali x e y sono detti, rispettivamente, parte reale e coefficiente della parte immaginaria del numero complesso considerato. Il prodotto (yi) è detto parte immaginaria del numero complesso Z = x + yi, talvolta può essere inteso anche solo come parte immaginaria del numero complesso.

Più formalmente un numero complesso può essere definito come una coppia ordinata di numeri reali (x, y).

Coniugato di un complesso:

Se ho un complesso z = a + bi, il suo coniugato sarà Z = a - bi e sarà definito come quel complesso che ha stessa parte reale di z ma parte immaginaria opposta.

Somma:

Dati due complessi z = a + bi e z₁ = a' + b'i, la loro somma sarà composta dalla somma delle parti reali, più la somma delle parti immaginarie, ovvero z + z₁ = a + a' + (b + b')i = a + (b + b')i

Proprietà della somma: - Associativa e commutativa

• Esiste l'elemento neutro (0 + i0) che si può indicare con 0.
• Ogni elemento z = a + bi ammette in C un simmetrico rispetto all'addizione -z = -a - bi che chiamiamo opposto di z.

Moltiplicazione

La moltiplicazione tra due numeri complessi corrisponde a:

z = (a + bi), z' = (a' + bi')

z • z' = (a + bi)(a' + bi') = aa' + ab'i + a'bi + bb'i²

= aa' + ab'i + a'bi - bb' = aa' - bb' + i (ab' + a'b)

PARTE REALE PARTE IMMAGINARIA

Proprietà:

• Associativa e commutativa
• Esiste l'elemento neutro, (1 + 0i) che si può indicare col simbolo 1
• Ogni elemento z = a + bi, con a e b non contemporaneamente nulli,
• ammette in ℂ un inverso rispetto alla moltiplicazione che si
• chiama reciproco di z = a + bi, detto da algebrista
• nel reciproco di z, la parte reale da quella immaginaria moltiplico

₁/_z = z • ^-bi/(a+bi)(a-bi) = ^a-bi/^a²+b² = ^a/^a²+b² parte reale

parte immaginaria b/^a²+b²

Tra addizione e moltiplicazione esiste una "regola di convenienza" ovvero proprietà distributiva

della moltiplicazione rispetto all'addizione:

(u + v) • z = uz + vz

Con queste operazioni e proprietà l'insieme ℂ viene definito CAMPO

Analogie e differenze tra ℝ e ℂ

Con le operazioni di addizione e moltip