Teoria Analisi 1

Teoremi: Definizioni

• Q è denso in R _{Vx∈R Vε>0 Ǝq∈Q}, q-x|0 ƒ non è costante _{ƒ(x+T) - ƒ(x) Vx;}
• Funzione rispetto un asse y: x=0
• Funzione simm. rispetto un punto:
• Funzione suriettiva: ƒ: I → J Vye∈J Ǝte∈I te
• Funzione iniettiva: ƒ: I → J Ǝte₁≡te₂ xe∈I^xf(x)
• Funzione strettamente monotona _{non è invertibile è biunivoca se e solo se è continua}

Teoremi e Definizioni

• Q è denso in ℝ ⇔ ∀x∈ℝ ∀ε>0 ∃q∈Q, q-x|<ε

• Insieme limitato A⊆ℝ se ∃a, b∈ℝ - A⊂(a, b), a≤x≤b ∀x∈A

• Limitato superiormente l∃b∈ℝ, x≤l ∀x∈A

• Limitato inferiormente l∃a∈ℝ, a≤x ∀x∈A

• Maggiore l∃b∈ℝ, x≤l ∀x∈A

• Minore l∃a∈ℝ, a≤x ∀x∈A

• Estremo superiore se l∃l≥b un maggiore ∀reale y∈ ∃y∈A, xε<ε

• Estremo inferiore se l∃l≤b un minore ∀reale y∈ ∃y∈A, xε>ε

• Massimo di A s=uno se lα supr clause A

• Minimo di A s=uno se lα infl clause A

• Funzione limitata f: I∩ℝ ∃m, M∈ℝ, m≤x≤M ∀x∈I

• Funzione crescente f: I∩ℝ ∀x₁<x₂⇒ ∃f(x₁)≤f(x₂)

• Funzione strettamente crescente f: I∩ℝ ∀x₁<x₂⇒ ∃f(x₁)<f(x₂)

• Funzione decrescente f: I∩ℝ ∀x₁<x₂⇒ ∃f(x₁)>f(x₂)

• Funzione strettamente decrescente f: I∩ℝ ∀x₁<x₂⇒ ∃f(x₁)<f(x₂)

• Funzione monotona se &forse; crescente decrescente

• Monotona a tratti

• Funzione pari f(-x)=f(x)

• Funzione dispari f(-x)=-f(x)

• Funzione periodica

• Funzione rispetto un asse y, x = a

• Funzione simm. rispetto un punto

• Funzione suriettiva f: I∩J ∀y∃∀y∃y

• Funzione iniettiva

• Funzione strettamente monotona > invertibile &lb; biumuca > e non se e continua

- FUNZIONE COMPOSTA: _{I R J R K R} X=φ(X) ⇨ g(φ(X)) ∘ φ(X)

Insieme re tang di φ ∩ C_E ≠ ∅

- FUNZIONE INVERSA: f tale che f^-1(f(x))=x ∀ X ∈ C_E f(X)=X

OCCHIO!!! Arc_o(2Π)=T f^-1 Se f è strett monotona allora caf/p

- SUCCESSIONI: crescenti se a_n < a_n+1 | decrescenti monotone se crescenti e tutte crescenti, strett decrescenti strett monotone, periodiche, limitate

- PROPRIETÀ DEFINITIVAMENTE VERA: ∃ N in volto vero se N in certo t(ε) con new

- SUCCESSIONE CONVERGENTE: lim_n→+∞ a_n = l ∈ R ⇔ ∀ ε ∃ N ∈ N, ∀ n > N_ε

N_ε ∋ a_n - l < ε

- SUCCESSIONE DIVERGENTE: lim →∞ a_n = ±∞ x ∈ M ∋ ∃ n ∀ M ∈ N, n_M N_m ⇒ a_n > M

- SUCCESSIONE IRREGOLARE O INDETERMINATA: ∃ lim → a

- {a_n} è limitate e monotona definitivamente → _l cresce | CONVERGE

- REGOLA DEI DUE CARABINIERI: lim sotto {a_n}, {b_n}, {c_n} tale che

lim_n→+∞ a_n = lim_n→+∞ - l (parti) oppure

definitamente lim_n+→+∞ a_n ≤ b_n ≤ c_n lim_n+→+∞ a_n = l

- CONFRONTO FRA INFINITI: f ≈ g con

- f(x), g(x) ∈ un numero e due numeri f(x) _∞ se Alte numerosa x → 0

lim_n→+∞ a_n = 0 { positivo tale che} - Limitazione radicare di con E contro

- LANDAU: lim_n→+∞ a_n / b_n = 0 diveno che a_n ∼ o(b_n) con n → +∞

lim_n→+∞ a_n/b_n = 1 diveno che a_n ∼ o(b_n) contraticto OCCHIO!!! a_n / b_n NO

- LIMITE DI UNA FUNZIONE: lim_x→x0 f(X) = l (limite) { y∋0 ≤ δ

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