Teoremi sugli integrali

Ovviamente H'(x) = 0 ⇒ H(x) = c ∀x∈[a,b]

Dalla relazione precedente H(x) = G(x) - F(x) si ottiene che:G(x) - F(x) = c, ovvero G(x) = F(x) + c (tesi)

Perciò F, G sono primitive di f e differiscono per una costante

Teorema

f: (a,b) → ℝ c ∈ ]a,b[ e punto di discontinuità di prima specie.Allora f non è primitiva.

formula di integrazione per parti

Siano f,g:(a,b)->R derivabili in (a,b)

Supponiamo che f g' abbia primitive in (a,b)

Allora anche f'g ha primitive e vale la seguente formula di

integrazione per parti:

∫f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-∫f'(x)g(x)dx

Chiameremo f(x) il fattore finito, mentre g'(x) è detto fattore differenziale.

DIMOSTRAZIONE:

Questo metodo è basato sulla regola di derivazione del prodotto di due funzioni:

(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) (1.30)

integrando su [a, b], abbiamo:

[f(x)g(x)]_a^b = ∫_a^b f'(x)g(x)dx + ∫_a^b f(x)g'(x)dx

che viene utilizzata nella forma seguente

∫_a^b f(x)g'(x)dx = [f(x)g(x)]_a^b − ∫_a^b f'(x)g(x)dx

Integrando la (1.30) su [a, x], con x ∈ [a, b], si ottiene la seguente relazione per gli integrali indefiniti:

∫ f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) − ∫ f'(x)g(x)dx

PRIMA FORMULA DI INTEGRAZIONE PER SOSTITUZIONE

Il metodo di integrazione per sostituzione segue dalla regola di derivazione delle funzioni composte.

Siano f : I → ℝ una funzione continua e g : J → I una funzione derivabile.

Si ha che:

Dimostrazione

Se indichiamo con F(t) una primitiva della funzione f(t) sull'intervallo I, allora risulta:

Per la regola di derivazione per le funzioni composte si ha che:

d/dx F(t) = d/dx F(g(x)) = F'(g(x))g'(x) = f(g(x))g'(x)

Integrando membro a membro rispetto alla variabile x:

∫ d/dx F(g(x)) dx = ∫ f(g(x))g'(x) dx

che è proprio la tesi.

SECONDA FORMULA DI INTEGRAZIONE PER SOSTITUZIONE

Siano una funzione continua e una funzione derivabile.

Nel caso in cui la funzione sia invertibile, allora vale la seguente formula di integrazione:

Teorema della Media 2^a Forma

Ipotesi: Sia f:[a,b]→ℝ f continua in [a,b]

Allora ∃c∈[a,b]: ∫_a^b f(x) dx = (b−a)⋅f(c)

Considerazioni: ∫_a^b f(x) dx è l'area di un trapezoide (per la definizione di integrale definito)

(b−a) è la base di un rettangolo, mentre f(c) è l'altezza di un rettangolo. Il loro prodotto [(b−a)⋅f(c)] è uguale all'area di un rettangolo. Perciò:

∃c∈[a,b]: area del trapezoide = area del rettangolo

Dimostrazione: Essendo, per ipotesi, f una funzione continua nell'intervallo [a, b], allora, per il teorema di Weierstrass, la funzione è dotata di minimo (m) e di massimo (M) assoluti.

Ciòè vale a dire che:

m ≤ f(x) ≤ M   ∀x ∈ [a, b]

Per cui possiamo affermare che l'area del trapezoide è compreso tra l'area del rettangolo di base (b-a) e che ha come altezza il valore minimo (m) e l'area del rettangolo di base (b-a) e che ha come altezza il valore massimo (M), cioè:

m⋅(b-a) ≤ ∫_a^b f(x) dx ≤ M⋅(b-a)

Dividiamo per (b-a) ottenendo:

m ≤ ∫_a^b f(x) dx / (b-a) ≤ M

Cioè abbiamo trovato un numero compreso tra il valore minimo ed il valore massimo della funzione. Cioè γ = _a∫^b ƒ(x) dx / b-a

Sono quindi soddisfette tutte le ipotesi del teorema dei valori intermedi e quindi:

∃c ∈ ]a, b[: ƒ(c) = γ

γ = _a∫^b ƒ(x) dx / b-a

Moltiplicando per (b-a) si ottiene:

_a∫^b ƒ(x) dx = (b-a)•ƒ(c) (tesi)

TEOREMA DI TORRICELLI

Ipotesi: Sia f: [a, b] → ℝ

f continuo in [a, b]

Tesi: F(x) = ∫_a^x f(t) dt è una primitiva di f(x)

cioè la funzione integrale è una primitiva di f(x).

Dimostrazione: dobbiamo dimostrare che:

DF(x) = f(x).

Consideriamo il limite del rapporto incrementale. Fissiamo x₀ ∈ [a,b] e calcoliamo:

F(x₀) = ∫_a^x₀ f(t)dt

F(x₀ + h) = ∫_a^x₀+h f(t)dt = ∫_a^x₀ f(t)dt + ∫_x₀^x₀+h f(t)dt

Il rapporto incrementale è:

ΔF(x₀) = ^{F(x₀ + h) - F(x₀)} / _h = ^{∫_ax₀ f(t)dt + ∫_x₀x₀+h f(t)dt - ∫_ax₀ f(t)dt} / _h

= ^{∫_x₀x₀+h f(t)dt} / _h

Applicando il teorema della media si ha:

∃ c ∈ [ x₀, x₀ + h ]. ∫_x₀^x₀+h f(t) dt = ( x₀ + h - x₀ ) f(c)

Perciò:

∫_x₀^x₀+h f(t) dt / h = h ⋅ f(c) / h = f(c)

Quindi facendo il limite:

F'(x₀) = lim_h→0 ΔF(x₀)/h = lim_h→0 f(c)

Dato che c ∈ [ x₀, x₀ + h ], poiché h → 0, l'intervallo si riduce al solo punto x₀ (c → x₀)

Quindi: lim_h→0 f(c) = f(x₀) ed otteniamo:

F'(x₀) = f(x₀) ( tesi )

Formula Fondamentale del Calcolo Integrale

Ipotesi: Sia \( f: [a, b] \rightarrow \mathbb{R} \) funzione integrale.

Sia \( G(x) \) una primitiva di \( f(x) \) con \( G: [a, b] \rightarrow \mathbb{R} \).

Allora: \(\int_{a}^{b} f(x) \, dx = G(b) - G(a)\)

Dimostrazione: Consideriamo la funzione integrale \( F(x) \) con \( F: [a, b] \rightarrow \mathbb{R} \) e, per la definizione di funzione integrale, affermiamo che \( F(x) = \int_{a}^{x} f(t) \, dt \).

Dato che per ipotesi \( f \) è una funzione continua allora per il teorema di Torricelli la funzione integrale \( F(x) \) è una primitiva di \( f(x) \).

Perciò F(x) e G(x) sono due primitive del

la funzione f(x) e, per il teorema di stru

ttura dell’integrale indefinito, esse diffe

riscono per una costante, cioè:

∃e∈ℝ: G(x)=F(x)+e=∫_α^xf(t)dt+e

Ora consideriamo, dalla tesi, la differenza:

G(b)-G(a)=∫_a^bf(t)dt+e-∫_a^bf(t)dt-e

=0

Perciò otteniamo: F(b) - F(a) = ∫_a^b f(t) dt dove è possibile cambiare il nome alla variabile, ottenendo: F(b) - F(a) = ∫_a^b f(x) dx (tesi)