Integrali: riassunto generale con teoremi e metodi di integrazione

Integrali

• Proprietà di linearità
  • ∫[f(x) + g(x)] dx = ∫f(x) dx + ∫g(x) dx
  • ∫k·f(x) dx = k ∫f(x) dx
• Integrali immediati
  • ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/_n+1 + c
  • ∫1/x dx = ln|x| + c
  • ∫e^x dx = e^x + c
  • ∫a^x dx = a^x/ln a + c
  • ∫senx dx = -cosx + c
  • ∫cosx dx = senx + c
  • ∫1/cos²x dx = tgx + c
  • ∫1/sen²x dx = -cotgx + c
  • ∫1/√(1-x²) dx = arcsenx + c
  • ∫1/(1+x²) dx = arctgx + c
• Teorema della media

  Se F è una funzione continua su [a;b], allora ∃ ξ∈[a;b]:

  • ∫ f(x) dx = (b-a) · (f(ξ))
• Funzione integrale

  Se F è una funzione continua su [a;b], si dice funzione integrale di F in x (x variabile):

  • F(x) = ∫_a^x f(t) dt
• Calcolo dell'integrale definito

  Se φ(x) è una primitiva qualunque di f(x), allora:

  • ∫_a^b f(x) dx = [φ(x)]_a^b = φ(b) - φ(a)
• Integrali la cui primitiva è una funzione composta
  • ∫[f(x)]ⁿ f'(x) dx = [f(x)]ⁿ⁺¹/_n+1 + c
  • ∫f'(x)/f(x) dx = ln|f(x)| + c
  • ∫f'(x) e^f(x) dx = e^f(x) + c
  • ∫f'(x) a^f(x) dx = a^f(x)/ln a + c
  • ∫f'(x) sen (f(x)) dx = -cos f(x) + c
  • ∫f'(x) cos (f(x)) dx = sen f(x) + c
  • ∫f'(x)/cos²(f(x)) dx = tg(f(x)) + c
  • ∫f'(x)/sen²(f(x)) dx = -cotg(f(x)) + c
  • ∫f'(x)/√(1-[f(x)]²) dx = arcsen f(x) + c
  • ∫f'(x)/(1+[f(x)]²) dx = arctg f(x) + c
  • ∫-f'(x)/√[f(x)][1 - [f(x)]]² dx = arccos f(x) + c con a ≠ 0
  • ∫f'(x)/2√(f(x)) dx = 1/2 arccos (f(x)) + c con a ≠ 0
• Teorema fondamentale del calcolo

  Se F è continua su [a;b], allora la sua funzione integrale F(x) è derivabile in (a;b) e:

  • F'(x) = f(x), ∀ x ∈ (a;b)
  • F è una primitiva particolare di f

Integrali

• Proprietà di linearità

  • ∫[f(x) + g(x)] dx = ∫f(x) dx + ∫g(x) dx
  • ∫k·f(x) dx = k∫f(x) dx

• Integrali immediati

  • ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/_n+1 + c n ≠ -1
  • ∫1/x dx = ln|x| + c
  • ∫e^x dx = e^x + c
  • ∫a^x dx = a^x/ln a + c
  • ∫sen x dx = -cos x + c
  • ∫cos x dx = sen x + c
  • ∫1/cos² x dx = tg x + c
  • ∫1/sen² x dx = -cotg x + c
  • ∫1/√(1-x²) dx = arcsen x + c
  • ∫1/(1+x²) dx = arctg x + c

• Integrali la cui primitiva è una funzione composta

  • ∫[f(x)]ⁿf'(x) dx = [f(x)]ⁿ⁺¹/_n+1 + c
  • f'(x)/f(x) dx = ln|f(x)| + c
  • f'(x)e^f(x) dx = e^f(x) + c
  • f'(x)/√(f(x)) dx = 2√(f(x)) + c
  • ∫f'(x)sen x(f(x)) dx = -cos f(x) + c
  • ∫f'(x)cos f(x) dx = sen f(x) + c
  • ∫f'(x)/cos f(x) dx = tg f(x) + c
  • f'(x)/sen f(x) dx = -cotg f(x) + c
  • -f'(x)/√(u²-[f(x)]²) dx = arcsen f(x) + c
  • -f'(x)/(1-f(x)²) dx = arctg f(x) + c
  • [f(x)]/√[a²-[f(x)]²] dx = arcsen f(x)/a + c con a≠0
  • f(x)/(f(x))² dx = 1/a arctg f(x)/a + c con a≠0

• Teorema della media

  Se f è una funzione continua su [a; b], allora ∃ z∈(a;b) tale che:∫f(x) dx = (b-a)·f(z)

• Funzione integrale

  Se f è una funzione continua su [a; x], si dice funzione integrale di f e indicata con:F(x) = ∫_a^xf(t) dt

• Calcolo dell'integrale definito

  Se φ(t) è una primitiva appartenente al f(x) nell'intervallo:∫_a^b f(x) dx = [φ(x)]_a^b = φ(b) - φ(a)

• Teorema fondamentale del calcolo degli integrali

  Se F è continua su [a; b], allora la sua funzione integrale F(x) è derivabile in (a; b) eF'(x) = (F(x)), x ∈(a; b)F è una primitiva particolare di f