Integrali: riassunto generale con teoremi e metodi di integrazione

Integrali

• Proprietà di linearità
  • ∫[f(x)±g(x)]dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx
  • ∫k·f(x)dx = k∫f(x)dx
• Integrali immediati
  • ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/_n+1 + c
  • ∫1/x dx = ln|x| + c
  • ∫e^xdx = e^x + c
  • ∫a^xdx = a^x/ln a + c
  • ∫senx dx = -cosx + c
  • ∫cosx dx = senx + c
  • ∫1/cos²x dx = tgx + c
  • ∫1/sen²x dx = -cotgx + c
  • ∫1/√1-x² dx = arcsenx + c
  • ∫1/1+x² dx = arctgx + c
• Teorema della media
  • Se F è una funzione continua su [a,b], allora ∃ z ∈]a,b[; b ≥ a:
  • ∫_a^b f(x) dx = (b-a)·f(z)
• Funzione integrale
  • Se F è una funzione continua su [a,b], si dice funzione integrale di F la funzione che fa:
  • F(x) = ∫_a^x f(t)dt
• Calcolo degli integrali definiti
  • Se φ(x) è una primitiva qualunque di f(x) nell'intervallo:
  • ∫_a^b f(x)dx = [φ(x)]_a^b = φ(b) - φ(a)
• Integrali la cui primitiva è una funzione composta
  • ∫[f(x)]ⁿf'(x)dx = [f(x)]ⁿ⁺¹/_n+1 + c
  • ∫f'(x)/f(x) dx = ln|f(x)| + c
  • ∫f'(x)e^f(x) dx = e^f(x) + c
  • ∫f'(x)a^f(x) dx = a^f(x)/ln a + c
  • ∫f'(x)senx·f(x)dx = -cos f(x) + c
  • ∫f'(x)cosx·f(x)dx = sen f(x) + c
• Teorema fondamentale del calcolo degli integrali
  • Se F è continua su [a,b], allora la sua funzione integrale F(x) è derivabile in [a,b] e
  • F'(x)= (f(x), ∀x ∈[a,b])
  • F è una primitiva particolare di f