Teoremi e dimostrazioni Analisi 2 - Parte 2/2

IL TEOREMA SPETTRALE

Isometrie lineari e matrici ortogonali

Teorema

Fissata una base β ortonormale di V, un endomorfismo f: V→V è un'isometria lineare se e solo se la matrice A che rappresenta f rispetto β è ortogonale

Dimostrazione

Osserviamo che il prodotto scalare standard x·y di due vettori colonna in Rⁿ è il prodotto (di matrici) della matrice riga x^t per la matrice colonna y:

x·y = x^ty

Principio di sovrapposizione

Teorema

Se

\( \tilde{y}_1 \) è una soluzione particolare di \( L(y) = b_1(x) \)

\( \tilde{y}_2 \) è una soluzione particolare di \( L(y) = b_2(x) \)

allora per ogni \( c_1, c_2 \in \mathbb{R} \)

\( c_1 \tilde{y}_1 + c_2 \tilde{y}_2 \) è una soluzione particolare di \( L(y) = c_1 b_1(x) + c_2 b_2(x) \)

Dimostrazione

L'enunciato è conseguenza della linearità di _L

Indicato con \( \text{Sol}(L, \phi) \) l'insieme delle soluzioni dell'equazione omogenea

• \( y' + a(x)y = \phi \) cioè \( L(y) = \phi \)

si ha che

\( \text{Sol}(L, \phi) = \ker L \)

Dunque \( \text{Sol}(L, \phi) \) è uno spazio vettoriale.

In particolare, per ogni \( c_1, c_2 \in \mathbb{R} \) e per ogni \( y_1, y_2 \in \text{Sol}(L, \phi) \), la funzione

\( c_1 y_1(x) + c_2 y_2(x) \)

è soluzione della stessa equazione.

Indicato con \( \text{Sol}(L, b) \) l'insieme delle soluzioni dell'equazione completa

• \( y' + a(x)y = b(x) \) cioè \( L(y) = b(x) \)

Sia \( \tilde{y} \in \text{Sol}(L, b) \) una soluzione particolare. Si ha che

• \( \text{Sol}(L, b) = \text{Sol}(L, \phi) + \tilde{y} \)

DERIVATE E DIFFERENZIALE

ESTREMI LIBERI

Il metodo della matrice Hessiana

Teorema

Siano \( f: A \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} \) una funzione di classe \( C^2(A) \) e \( x_0 \) un punto dell'aperto \( A \) che sia stazionario per \( f \). Indichiamo con \( q \) la forma quadratica associata alla matrice hessiana \( H = Hf(x_0) \) di \( f \) in \( x_0 \):

\( q(x) = x^t Hx \)

Se la forma quadratica \( q \) è

• definita positiva, allora \( x_0 \) è un punto di minimo locale forte per \( f \).
• definita negativa, allora \( x_0 \) è un punto di massimo locale forte per \( f \).
• Indefinita, allora \( x_0 \) è un punto di sella per \( f \).

Definizione

Lo sviluppo di Taylor di \( f \), centrato in \( x_0 \), del secondo ordine, con resto secondo Peano è

\( f(x_0 + h) = f(x_0) + \nabla f(x_0)h + \frac{1}{2} h^t Hf(x_0)h + o(|h|^2) \)

Poiché \( x_0 \) è un punto stazionario, cioè \( \nabla f(x_0) = \phi \), indicando \( H = Hf(x_0) \) e \( q(h) = h^t Hh \), abbiamo

\( f(x_0 + h) - f(x_0) = \frac{1}{2} q(h) + \sigma (|h|^2) \)

Indicati con \( \lambda_{min} \) e \( \lambda_{max} \) rispettivamente il minimo e il massimo autovalore di \( H \), per ogni punto \( h \in \mathbb{R}^n \) risulta

\( \lambda_{min} |h|^2 \le q(h) \le \lambda_{max} |h|^2 \)

La funzione derivabile φ ha in t=φ un punto estremante, quindi dovrà essere

ψ'(φ) = ∇f(x^*, y^*) ⋅ v = φ

cioè, il gradiente ∇f(x^*, y^*) di f è ortogonale a v. Ricordiamo che anche il gradiente ∇g(x^*, y^*) di g è ortogonale a v. Per la geometria di R², vettori ∇f(x^*, y^*) e ∇g(x^*, y^*) sono paralleli in quanto entrambi ortogonali a v. Dunque esiste un λ∈R tale che

∇f(x^*, y^*) = λ^* ∇g(x^*, y^*)

POTENZIALE

SIMBOLI

• ∈ x ∈ S x è un elemento di S
• ∉ x ∉ S x non è un elemento di S
• ⊆ S ⊆ X S è sottoinsieme di X
• Ø l'insieme vuoto
• ∩ S ∩ T intersezione di S e T
• ∪ S ∪ T unione di S e T
• ⇔ se e solo se
• ∀ per ogni
• ∃ esiste

Determinante di una matrice

Il determinante della matrice quadrata reale A di ordine n è definito come il determinante dell'endomorfismo L_A di Rⁿ

det A = det L_A

Autovalore

Un autovalore dell'endomorfismo (lineare) f:V→V è un vettore non nullo v di V tale che

f(v)=λv | Av=λv

dove λ è un numero reale (positivo negativo o nullo), detto autovalore

Autospazio

Si chiama autospazio relativo all'autovalore λ e il sottospazio vettoriale di V

V_λ = ker(f - λId_V) = {v ∈ V | f_v = λv} matrici V_λ = Sol {(A - λI)v = Φ} = {v ∈ R^l| a_v = λv }

Molteplicità geometrica

La dimensione di V_λ si chiama molteplicità geometrica dell'autovalore λ e si denota mg(λ):

mg(λ) = dim V_A

Se dim V=n , dal teorema di nullità più rango, risulta

mg(λ) = n - rk(F- λId_v) matrici mg(λ) = dim V_λ = n - rk(A - λI)