Analisi matematica 2 - Teoremi e dimostrazioni

DEF DIFFERENZIALE

Di :

1-FORMA

. Act"

Sia aperto

. *

*

A-IR" Fnxdxn

Fel/dx I

Fi

w(xl

VxeA

che

Diciamo A cioè

DIFFERENZIALE

è 1-FORMA W +...

su +

l se oxi

:

una = =

, i 2

=

A-R

Fi ness n]

con : .... .

, continue

C' se

La differenziale !

coefficienti funzioni

detta Fr

forma C

En

continua

e o

i cono

o

cu ...,

,

DEF DIFFERENZIALE

Di FORMA ESATTA :

. WECh

chiuse GFi ises e

G

è

w con ,

~ =

DEF DIFFERENZIALE

Di FORMA ESATTA :

. differenziale df

esatta

forma

è sw

co una =

Integrazione DIFFERENZIALE

di Forma

Una :

/Fr

(c d

vit

= , Integrali Doppi

DEF Di DOMINIO RISPETTO

NORMALE A X :

. Dath" "d(

((x b

nella

esprimibile <R

former

Si dice B(x)]

che D y)

è x(x)

Dominio

è rispetto

Normale < = y =>

+

un se

X : = , ,

bel continue

R

ab Exeta

b]

[a b]

.

BIx)

B <1x1

<

a

con <

con

+

:

e

n , ,

, GrB

-

d ~ ord

-

DEF Di DOMINIO Rispetto

Normale a y :

. Dath" y)eR"

((x <y+d

nella

esprimibile former ** f(y))

Si dice D vy)

che è

dominio rispetto

è =

Normale y se

un : = , ,

continue

delR R Fyeta d]

.

d]

ad [c UlylaSlyl

S

W

con con

-

c :

e

n ,

,

, . "

d

ar) Gra

-

&

C .

Def Misura Dominio

Di del :

. nelle

dominio normale

DaR2 definizioni

BIx1]

/(x b b

Sia y)

D

rispetto <Ixzy .

p

d

d=1 a

con

* come

un x

a = ,

, , ,

, ,

il

Allora chiamiamo D

Misura no

di /Ppix-cl

: de

m(DI -

normale

usando notazioni

Analogamente le di dominio rispetto (is(yl

e y avremo : -r(y1) dy

m(DI -

DEF SUPERIORE

Di INFERIORE

INTEGRALE

SOMMA :

e

. soliti

normale limitate B(x)] b

b

((x

f Sir

R

F dominio

Sia D

rispetto

D D (xy .

y)a= B

a

con

<

= 2

>

a x x

.

e

con

-

: =

= , ,

, ,

,

Sto th]

te /So

Siano Sab

rechan

Ot-hab 0 Se

con

e e =

: , ...,

....

, ,

, 3

D descritto

Plo h-1)

/Dij

1 jego 13

rego Dij

Sia K- prima

, come

con

, .

=

= ...,

..., ,

, O il

alla

di

f rispetto

chiama

Si partizione

inferiore

integrale no

somma : Pl-m

SIf I inff

Sis S

-

. Dij

O il

alla

di S rispetto

chiama

Si partizione

integrale no

superiore

sorma : Pl-mis

ef supf

·

-

, Dij

DEF INTEGRALE

Di DOPPIO :

. normale limitato

R

IR

dominio

D

Sia f De

sia

in

un a : .

RiEMANN

Diciamo che f infB feRIDI

D

è Integrale di supd scive

secondo si

su e

se = .

(f

Tale reale detto f

di dal

D

è yl

integrale doppio

no su : ,

integrabili

Ile

Teorema funzioni continue :

sono R f

di

normale

dominio

D- R continua

Sia F D

con e

: .

la

vale

integrale di

secondo

Allora Riemana

J riduzione

è di

Formula

a .

= continue

Re

a,beR

y/R" Exe

ab

dexzb Bial] b

b - dx)-BI)

/1x allzy

D B

Se a a

d

> con con

e : ,

,

= ,

, ,

,

Allora (da

: Dylady = ade

<deR continue

ylR d Slyly Re

( (x Vye d

vyl** Styl

D vlyl

<-

Se 6

con

<y = = a

con

r :

= ,

, ,

, .

Allora (Syd

: Dylady dy

= c r(y)

DEF DOMINIO

Di PARTIZIONABILE :

.

DaR".

Sie normali Itali

di

Diciamo che

Normali heNoS

che 7 domini

7 Dr

D ed

partizionabile D

Pi

Du

è Domini

in :

se =

....

, intDj 0

intDi

2) n =

Vi h) e

je/1 if j

....,

,

DEF Dominio

BARICENTRO

Di del :

. R

dominio partizionabile normali

Sia di domini

D in

un . mini)

yoletR"

punto tale

il

di

chiama

Si D ardy

1x0 che

baricentro to +

: =

, / Yardy

min

40 =

DEF DOMINIO Dominio

Di Recolare Regolare

Normale :

e

. normale

Dall yleRa

dominio yleR

Sie b d

/1x S1y1).

D <(xyaplay D wyl

11x : *

= < +

=

o ay

un x

e =

= , , ,

, 2

*

22 C'e

classe classe

t d]- R

di

Se [c di Ulyl Vy

S

b]

[a S(y1

ex(x

B Bix) r

se

o

< <

:

= x

-

: , ,

.

,

allora diciamo che D dominio

è Regolare

Normale

un .

allora

normali

partizionabile regolari

domini che

dice

Se dominio

D si è

,

è regolare

in un

Teorema di variabili

Cambiamento Integrali

Cli Doppi

per

delle :

Dat regolare

dominio continua

D-R

f

Sia sia

e : proprietà

le

regolare

dominio seguenti

dove

T-D

Sia ha

T d Biunivoca

D è è

d

un e

e :

: peC"(T)

2 det V(u

Dp/m vIET

vi + 0

3 ,

,

Allora : (In, w

(flddy da

detDplu a

w 192 T

P)

d D

· con -

:

= =

, , 201 il

20 w)

(m ,

,

DP(u w) we

=

, Gl Te

22 w

(M ,

,

Teorema-Formule GAUSS-GREEN

di : R

DaR" feC"Al

regolare di

Sia aperto

dominio A-1

Sia A

F DIA

con

. .

: , ,

le

valgono

Allora Causs-CREEN

di

Formule : lo s DI)

1 L(F +

c

= , (0 y)

F(x f(x

y)

con = ,

, ,

1 D)) positivo

L(F + atD orario

2 senso

e

- =

= ,

D

2

D

(Fx

dove signific

yldy

, (a(x y))

y)

w(x y)

F(x

y)dy

y(dx b(x b(x

a(x y)

<

+ =

= ,

,

, , , ,

, y(t))

(x(t)

u(t) = , y'ltil

Ix'ItI te b

w'ItI a

con

= , , otyl

(ax(ty(tl

( yt o

y() (

y(tl

b(x( b(xt

x (t) y't

w +

.

- . ,

, , , ,

dEFIrl

(FIx ytlk

(x(t

y(tl rdt LE

<

- :

,

,

, ,

DEF Di POSITIVAMENTE

ORIENTATO

BORDO :

. DER"

Sia alla

il di tenendo

bordo

che

Diciamo D D

è positivamente siniSTRA

si

Orientato orario

in censo sua

muove

se .

negativamente

il contrario orientato

I è

se avviene alle formale di

Corollario Green

Gauss :

DIR regolare

dominio

Sia un .

le

quali affermazioni

Allora seguenti mIDI

2

sono : Sp dy

~

-Syl y

EC

Xdy-yl BI)

1 x)

y) 1

(((F F(x

+

a

· con y

= -

= = ,

,

,

dim 1 2 :

=

I fedxdy

mIDI = fx(x

tele

Cerco f che y) 1 :

=

,

prendiamo f(x y)

esempio x

per =

, (dy

/addy

abbiamo

allora mIDI

202

per : =

-

dim 1 3

. :

= che

tole by lx

f 1

Cerco 1

y =

, xGG2

prendiamo f(x yl

esempio (yyddy

y

per =

, /addy

allora abbiamo MIDI

aca

per : =

-

dim 1 3 :

. =

le vettoriali

proprietà

Usiamo che 51 2)

LIF (1F 116 21 F G

G campi

con

+

+ = ,

, ,

, rdE-(FIrl

(SFIAll rkdtG r

r)

(IF GIrIl

infatti G

+ +

= , , ,

, Junwal-Sw Sw

differenziali

Analogamente allora

forme

se la

cun +

cono

a :

iguaglianze

le nelle precedenti

Sommendo membro due

membro dim :

a .

/dy Ty

2mID1 -

=

↓ Edy-yoy

mIDI = Integrali Tripli

al

DEF Oxy

rispetto

Insieme piano :

Di Normale

. <3 y))

della

ECR ((x

al z)

E

forma y(

dice (x

=D

è (x

Oxy y) B(x

rispetto

Un z

= >

piano <

Normale

si y

se

insieme = =

, ,

,

,

, ,

continue

normali R2

Del" D- IR

partizionabile yleD

<(x y)

yl

dominio domini f(x

B(x

dove B >

in <

in con

e : .

,

, ,

,

Integrazione

Teorema Fili

Per :

- nelle di

z)e def

normale

E' al y1]

dominio ((x

rispetto D

Sia cioé E

Oxy B

yl

y/cD <lx

(x B(x C

piano >

* con come

un y .

= , ,

,

, ,

, , ,

,

.

naturale

dominio Sia continua

R

J E

: .

Allora : y)

B(x

) ( yzdz

, e

da

zlddy da

fly =

, 21

I

-

-

--

D

L

X

Teorema Integrazione Strati

Per :

- normale al

E' dominio rispetto

Sia Oxy

piano

un .

aR2

yleR" min(keR 03

kIcE) max(keR

$3

Sie Vket

((x Ent

Ev En

(x sieno Emax

Emin

e

y =

= = , .

,

,

,

Sia continua

R

F E- >

: .

Allora da fylddl

: ) S e in

addy

fy

, 21

I E

Eme

------ k

z

K =

Ik strato

chiama

si Zmin- Y

--

XL

TEOREMA-FORMULA STOKES

DI PIANO

NEL : CD

regolare differenziale

dominio

Siano Dat y)) classe

la

forma (alx di

blx

yldx

alx yldy blx

y) yl

FIx

sia

sia w una

un e +

= = ,

, ,

, ,

,

Allora : = Dyl-Gal a

d

orD

LIF l

:

,

dim : Dyl-al

= Dubldady

wax =

aldbydy dady dal

byldy

yldx +

+ =

,

DEF Di DIVERGENZA :

. A- R R

z))

. FeC"Al

di

aperto

/Fax

Sie F z) z) A

zl

Flx Falx

Fa