Teoremi e dimostrazioni di Analisi 2 - parte 1/2

Ag 2

SPAZI VETTORIALI

teorema della dimensione

Teorema

Tutte le basi di uno spazio vettoriale V hanno la stessa cardinalità

Dimensione

La dimensione di uno spazio vettoriale finitamente generato dimV è il numero di elementi di una sua qualsiasi base.

Dimostrazione

Supponiamo per assurdo che n > k

V = span {v₁, v₂, ..., v_k} e possiamo scrivere w₁ = a₁v₁ + a₂v₂ + ... + a_kv_k. I vettori w₁, w₂, ..., w_n sono linearmente indipendenti, quindi almeno uno dei coefficienti a_i, diciamo a₁, deve essere nullo.

Ricavando v₁ = w₁ - ^w₂/_a1 - ^a_k/_a1v_k, abbiamo dunque V = span {w₁, w₂, ..., w_k} e possiamo scrivere w₂ = b₁v₁ + b₂v₂ + b_kv_k. I vettori w₁, w₂, ..., w_n sono linearmente indipendenti, quindi almeno uno dei coefficienti b₂, diciamo b₂, deve essere non nullo.

Ricavando v₂ = - ^b₁/_b2w₁ + ^w₂/_b2 - ^b_k/_b2v_k, abbiamo dunque V = span {w₁, w₃, w₃}.

Ripetendo il procedimento k volte, si giunge a V = span {w₁, w₁, ..., w_k} e quindi risulta w_k+1 = c₁w₁ + c₁w₁ + ... + c_kw_k, contro l'ipotesi di indipendenza.

Siano (w₁, v₂, ..., v_k) e (w₁, w₂, ..., w_n) due basi dello spazio vettoriale V.

Poiché i vettori v₁, v₁, ..., v_k generano V e i vettori w₁, w₁, ..., w_n sono linearmente indipendenti, per il precedente lemma risulta k > n.

Ma anche i vettori w₁, w₁, ..., w_n generano V e i vettori v₁, v₁, ..., v_k sono linearmente indipendenti, quindi n ≥ k. Dunque n = k.

Linearità e dipendenza

Teorema

Ogni applicazione lineare trasforma vettori linearmente dipendenti in vettori linearmente dipendenti

Dimostrazione

Sia f:V→W un'applicazione lineare e siano v, v₁,..., vₙ vettori di V linearmente dipendenti, cioè esistono a₁, a₂,..., aₙ non tutti nulli tali che

a₁v + a₂v₂ + ... + aₙvₙ = 0_V

per la linearità di f, possiamo scrivere il vettore nullo di W come segue

0_W = f(0_V) = f(a₁v + a₂v₂ + ... + aₙvₙ) = a₁f(v) + a₂f(v₂) + ... + a_nf(vₙ)

dunque f(v), f(v₁),..., f(vₙ) sono linearmente dipendenti

Isomorfismi e dimensioni

Teorema

Due spazi vettoriali V e W finitamente generati sono isomorfi se e solo se dimV = dimW.

Dimostrazione

Se V e W sono isomorfi, esiste un isomorfismo f: V → W.Poiché f è inietivo, si ha dimV ≤ dimW.Poiché f è suriettivo, si ha dimV ≥ dimW.quindi dimV = dimW.

Se dimV = dimW, siano V = (v₁, v₂, ..., vn) una base per V e W = (w₁, w₂, ..., wn) una base per W. Le applicazioni lineari che assegnano ad ogni vettore le coordinate

φ_V: V → ℝⁿ    φ_W: W → ℝⁿ

sono isomorfismi, quindi

φ_W^-1 ◦ φ_V: V → W

è un isomorfismo

Rango e invertibilità

Teorema

Una matrice è invertibile se e solo se quadrata e di rango massimo

Rango

Sia A un insieme finito di vettori dello spazio V. Si definisce rango rK di A la dimensione del sottospazio generato dai vettori di A.

rK A = dim span A

Invertibilità

La matrice A risulta invertibile (cioè esiste B tale che AB = I e BA = I). Similmente, l'applicazione lineare F è un isomorfismo se e solo se la matrice M_F è invertibile

L_A⁽ⁿ⁾ = (L_A)^-1 , M_(f^-1) = (H_F)^-1

Dimostrazione

A invertibile ↔ L_A isomorfismo;

↔ L_A : Rⁿ → Rⁿ rK L_A = n;

↔ A quadrata di ordine n, rK A = n

Teorema di Binet

Teorema

Siano f e g due endomorfismi dello spazio vettoriale V

det(fg) = (det f)(det g)

Corollario (teorema per matrici)

Siano A e B due matrici quadrate dello stesso ordine

det(AB) = (det A)(det B)

Dimostrazione per endomorfismi, nel caso dimV=2

per ogni forma n, si ha

Ω(fΞ(u),fΞ(v)) = det(fΞ)Ω(u,v)

ma anche Ξ(fΞ(u),fΞ(v)) = det(f)Ω(Ξ(u),Ξ(v))

        = det(f) det(Ξ)Ω(u,v)

Dall'unicità del determinante, segue l'enunciato

Dimostrazione per matrici

det(AB) = det L_AB

    det(L_A L_B)

    (det L_A)(det L_B)

    (det A)(det B)

Criterio di diagonalizzabilità

Definizione

Gli autovalori con molteplicità geometrica uguale alla molteplicità algebrica sono detti regolari.

Una matrice quadrata A è diagonalizzabile su IR se e solo se gli autovalori di A sono tutti reali e regolari.

Dimostrazione

Siano λ₁,...,λ_k gli autovalori (tutti reali); a₁,...,a_k le loro molteplicità algebriche, g₁,...,g_k le loro molteplicità geometriche.

Gli autovettori si trovano negli autospazi; quindi, se vogliamo una base di IRⁿ che sia formata da autovettori di A, dobbiamo prendere g₁ vettori indipendenti (il massimo numero possibile) in V_λ1, g₂ vettori indipendenti in V_λ2, ... g_k vettori indipendenti in V_λk.

Dato che questi g₁+...+g_k autovettori (sicuramente indipendenti) siano una base di IRⁿ occorre che siano n.

Poiché g_i≤a_i, abbiamo g₁+...+g_k ≤ a₁+...+a_k = n.

La condizione g₁+...+g_k=n equivale quindi a g_i=a_i, per ogni i=1,...,n.

Proiezione ortogonale e distanza minima

Teorema

Sia V uno spazio vettoriale euclideo e W un suo sottospazio.

1. Ogni vettore a ∈ V si scrive in modo unico come a = a₁ + a_⊥ dove a₁ è un vettore di W (la proiezione ortogonale di a su W) e a_⊥ è un vettore ortogonale a (ogni vettore di) W.
2. Data una base ortogonale β = (b₁,...,b_m) di W, risultano a₁ = (a,b₁) b₁ + ... + (a,b_m) b_m, ^{‖b₁‖2 ‖b_m‖2}

Se β = (u₁,...,u_m) è una base ortogonale di W, allora a₁ = (a,u₁) u₁ + ... + (a,u_m) u_m.

3. La proiezione ortogonale a₁ di a su W è il vettore di W a distanza minima da a, cioè ‖a - a₁‖ < ‖a - w‖ per ogni w ∈ W w ≠ a₁

Dimostrazione

Fissiamo una base ortogonale β = (b₁,...,b_m) di W. Il vettore proiezione ortogonale a₁ è un vettore di W, quindi si scrive in un unico modo come combinazione lineare dei vettori della base β: a₁ = α₁b₁ + α₂b₂ + ... + α_mb_m.