Teoremi di Matematica generale

DARBOUX

IPOTESI: Sia f: [a, b] una funzione continua. F assume tutti i valori compresi tra il minimo e il

massimo

TESI: f assume tutti i valori compresi tra il valore minimo e il valore massimo

DIMOSTRAZIONE: poiché f è continua su un intervallo chiuso e limitato, essa ssoddisfa il teorema di

Weisstrass secondo il quale f ammette minimo e massimo globali su [a, b]. ciò significa che

esistono Xm, XM [a, b] tali che m=f(Xm)≤f(X)≤f(XM)=M

• Considerando un qualsiasi valore di K tale che m<K<M e si determina

g(X)= f(X)-K

• Si nota chela finzione g possiede un massimo e un minimo in corrispondenza di Xm e XM.

g(Xm)=m-K e g(XM)=M-K.

• Inoltre, m-K < 0 dunque f(Xm)<0 quindi si ha: A=

• Definendo: allora:

o non può essere negativo, infatti, g è continua, dunque, se si avesse g <0

avremmo il e per il teorema della permanenza del segno esisterebbe

→

un intorno di centrato di tale che:

contraddizione

o . non può essere positivo, esisterebbe un intorno: tale che

→

o Unica possibilità cioè

DEGLI ZERI

IPOTESI: Sia f una funzione continua su [a, b]

. Sia f(a)*f(b) <0

TESI: esiste un punto C [a, b] tale che f(C)=0

DIMOSTRAZIONE: f soddisfa il teorema di Darboux, dunque, assume tutti i valori compresi tra f(a) e

f(b), inoltre f(a)*f(b)>0, hanno dunque segni opposti.

Supponendo che f(a)<0 e f(b)>0 e scegliendo K=0 allora f(a)<K=0<f(b). Per il teorema di Darboux

→.

esiste tale che K=0=f( ) È uno zero della funzione f.

RELAZIONE TRA DERIVABILITÀ E CONTINUITÀ

IPOTESI: sia f: un punto dove la funzione f è derivabile

TESI: f è continua in X0

DIMOSTRAZIONE: f è continua se e solo se

Usando l’ipotesi che f sia derivabile in X0 per definizione significa che:

Applicando ad entrambi i termini il limite:

FERMAT

IPOTESI: _ sia

_ sia punto di massimo e minimo locali

TESI: Allora f’(X0) =0

DIMOSTRAZIONE: Riprende quella del teorema di Rolle. Verifichiamo che f’(X0) =0 usando la

definizione di derivata

Abbiamo

L’unica possibilità è che:

ROLLE

IPOTESI: sia f una funzione: _ continua su [a, b]

_ derivabile sul medesimo intervallo ma con gli estremi esclusi

_ tale che f(a)=f(b)

TESI: Esiste un punto C. tale che f’(C )=0

DIMOSTRAZIONE:

• Caso particolare: Assumiamo che f sia una funzione costante, cioè f(X)=K

in questo caso la tesi è subito verificata in quanto sappiamo che f’(X)=0

la tesi del teorema è verificata per ogni punto dell’intervallo [a, b]

• Caso generale: f è una generica funzione continua e derivabile tale che f(a)=f(b), dalla

continuità di f si può dedurre che f ammette massimo e minimo globali. Inoltre, almeno

uno tra massimo e minimo cadrà necessariamente all’interno dell’intervallo. Se entrambi

fossero in corrispondenza degli estremi f sarebbe costante per via dell’ipotesi f(a)=f(b)

• Supponiamo che XM (a, b), verifichiamo che f’(XM)=0 usando la definizione di derivata:

Da cui ricaviamo

Da cui ricaviamo

Abbiamo dunque

La funzione è quindi derivabile

L’unica possibilità è che

La tesi del teorema è soddisfatta nel punto C=XM

VALORE MEDIO INTEGRALE

→

IPOTESI: Sia f:[a, b] una funzione continua

TESI: Allora esiste un punto (almeno uno) C [a, b] tale che

DIMOSTRAZIONE:

• Osserviamo che f è continua per ipotesi, quindi è Reimann integrabile

• Per il teorema di Weiestrass f ammette massimo e minimo globali su [a, b]. Siano M e m

assunti da f su [a, b] avremo

Per la proprietà di monotonia dell’integrale si avrà:

Dividendo tutti i termini per (b-a) si ottiene: quindi il valore

è un numero compreso tra il massimo e il minimo

• Usando l’ipotesi di continuità di f per il teorema di Darboux avremo che

sarà un valore assunto da f su [a, b], cioè, esiste almeno un punto C [a, b] tale che

PERMANENZA DEL SEGNO

TESI: sia

IPOTESI: Se il esiste ed è positivo allora f(X)>0 in un intorno di X0

DIMOSTRAZIONE: Supponiamo che il poiché l>0 allora >0 tale che

quindi

Per la definizione di limite, per il valore di scelto esiste un intorno. Tale che:

Definizione: Una si dice BIETTIVA se e solo se è iniettiva e suriettiva

Definizione: Una f si dice continua in un punto X0 se

LAGRANGE

IPOTESI: sia f una funzione continua su [a, b] e derivabile su (a, b)

TESI: esiste un punto C tale che

DIMOSTRAZIONE:

• Introduciamo la seguente funzione ausiliaria

Che generalmente rappresenta la distanza con segno, cioè la differenza tra il grafico di f e

quello della retta passante per i punti (a, f(a)) e (b, f(b)).

• Notiamo che f soddisfa le ipotesi della teoria di Rolle infatti;

- f è continua n. in quanto differenza di due funzioni continue su

- f è derivabile. In quanto differenza di due funzioni derivabili su

•

• Applicando il teorema di Rolle alla funzione F deduciamo che esiste un punto

Tale che

Calcoliamo la derivata di F

Il teorema di Rolle ci dice che esiste n.

COROLLARIO 1

IPOTESI: sia una funzione continua su [a, b] e derivabile su (a, b)

TESI: Allora. Se e solo se f è una funzione costante su

DIMOSTRAZIONE: Si tratta di dimostrare due argomentazioni:

1. Se allora f è costante, cioè

2. Se è una funzione costante su allora

1. Consideriamo una funzione cintnua su [a, b] e derivabile su (a, b) tale che

Osserviamo che la funzione f soddisfa le ipotesi del teorema di Lagrange. Consideriamo due punti

qualsiasi con X1<X2, grazie al teorema di Lagrange riferito all’intervallo [X1, X2]

possiamo trovare tale che

Per la generalità di X1 e X2 concludiamo che f è costante su tutto (a, b) e, X è continua anche in X=a

e X=b