Matematica generale I - Definizioni e teoremi

LIMITI

Intorno completo: “Sia x0 ∈ R, si definisce intorno completo del punto x0

l’insieme u(x0) = {x ∈ R : x0-r < x < x0+r}.

Intorno di +∞: “Dato K reale, si definisce u(+∞) un qualsiasi insieme {x : x>k}”

Intorno di -∞: “Dato k reale, si definisce u(-∞) un qualsiasi insieme {x : X<k}”

Punto di accumulazione per A sottoinsieme di R: “Sia x0 ∈ R*, si dice che x0 è

punto di accumulazione per l’insieme A sottoinsieme di R se per ogni intorno di

x0 esiste in u(x0) almeno un punto x appartenente ad A che sia diverso da x0”.

Punto interno: “Sia A sottoinsieme di R, con x0 appartenente ad A, diciamo

che x0 è un punto interno ad A se esiste almeno un interno completo di x0

tutto contenuto in A”.

Punto di frontiera: “sia A sottoinsieme di R, si dice che x0 appartenente ad R*

è un punto di frontiera per A se vale la seguente proprietà per ogni u(x0): u(x0)

c c

A ∅ e u(x0) A 0, dove A = {x appartenente ad R, x non appartenente ad

A}”

“Sia f: D->R, si dice che x0 appartenente a D è un punto:

di massimo relativo se esiste un u(x0): qualsiasi x appartenente a

• u(x0), f(x) <= f(x0).

Di massimo assoluto se f(x) <= f(x0) per qualsiasi x appartenente a D.

• Di minimo relativo se esiste un u(x0): qualsiasi x appartenente a u(x0),

• f(x) >= f(x0).

Di minimo assoluto se f(x) >= f(x0) per qualsiasi x appartenente a D.”

•

Limite: “Sia f: D->R e sia x0 appartenente R* punto di accumulazione per D. si

lim f x

( )=l

dice che il limite di f per x->x0 è uguale a l, e in simboli si scrive: x → x0

con l appartenente a R* se per qualsiasi u(l) esiste un u(x0) : qualsiasi x

appartenente a u(x0) D si abbia f(x) appartenente a u(l).”

+

Limite per eccesso: “si dice che f(x) tende a l se nella definizione di limite si

+

può sostituire u(l) con u (l).” -

Limite per difetto: “si dice che f(x) tende a l se nella definizione di limite si

-

può sostituire u(l) con u (l).” +

Limite destro: “Si dice che f(x) tende a l per x->x0 se nelle definizione di

+

limite possiamo sostituire u(x0) con u (x0).” -

Limite sinistro: ““Si dice che f(x) tende a l per x->x0 se nelle definizione di

-

limite possiamo sostituire u(x0) con u (x0).”

Teorema di esistenza e unicità del limite: “sia f: D -> R e sia x0 (anche non

lim f x

( )=l

appartenente a D) punto di accumulazione per D. Se esiste allora

x → x0

tale limite è unico.”

Possiamo dire che la funzione f(x) ammette limite l per x -> x0 se e solo se

x → x0+¿ f x x → x0−¿ f x

( ) ( )=l

esistono e sono uguali i seguenti limiti: = .

lim lim

¿ ¿

¿ ¿

Teorema del confronto: “Siano date tre funzioni f,g,h definite in u(x0), con x0

punto di accumulazione per i domini f,g,h. Se qualsiasi x appartenente u(x0)

lim f x lim h x

( )= ( )=l

vale la seguente relazione: f(x) <= g(x) <= h(x) e , allora

x → x0 x→ x0

lim g x

( )

esiste anche e tale limite vale l.” Corollari:

x → x0 f x ∞

( )=¿+

Se f(x) <= g(x) per qualsiasi x appartenente u(x0) e , allora

• lim ¿

x→ x0

g x

( ) =¿+∞ .

lim ¿

x → x0 g x

( ) =¿−∞

Se f(x) <= g(x) per qualsiasi x appartenente ad u(x0) e ,

• lim ¿

x→ x0

f x

( )=¿−∞

allora .

lim ¿

x→ x0

Teorema della permanenza del segno: “Sia f: D -> R e x0 punto di

f x l

( )=¿

accumulazione per D e , con l > 0, allora esiste un interno di u(x0) in

lim ¿

x → x0

cui f(x) > 0” f x l

( )=¿

Analogamente, se , con l < 0, allora esiste un u(x0) nel quale f(x) < 0.

lim ¿

x → x0

Teorema di esistenza del limite per funzioni monotone: “Siano a,b appartenenti

R* con a < b e sia f: ]a,b[ -> R. f x inff x f x supf

( )=¿ ( )=¿

( ) (x)

x → a+¿ x → b−¿

¿ ¿

Se f è monotona crescente, allora e

• lim lim

¿ ¿

¿ ¿

f x supf f x inff x

( )=¿ ( )=¿

(x) ( )

x → a+¿ x → b−¿

¿ ¿

Se f è monotona decrescente, allora e ”

• lim lim

¿ ¿

¿ ¿

Asintoto orizzontale: “la retta y = l si definisce asintoto orizzontale:

lim f x

( )=l

Per x -> + con l reale.

• ∞ se x →+∞

lim f x

( )=l

Per x -> - con l reale.”

• ∞ se x →−∞

Asintoto verticale: “La retta x=x0 si definisce asintoto verticale per f se

f x ∞

( )=¿ ”

lim ¿

x→l

Asintoto obliquo: “la funzione f(x) ammette come asintoto obliquo per x ->

[ ]

lim f x mx+ q

( )−( ) =0

∞ la retta y = mx+q se: ”. Quindi:

x→∞

lim f x

( )=∞

• x→∞ f x

( )

• lim = m, con m reale diverso da 0.

[ ]

x

x→∞ [ ]

lim f x

( )−mx =q

• , con q reale.

x→∞

Continuità: “Sia f: D -> R e sia x0 appartenente D punto di accumulazione per

x → x0+¿ f x

( )

D. Si dice che f(x) è continua nel punto x0 se =

lim ¿

¿

x → x0−¿ f x

( )=f (x0) ”.

lim ¿

¿

f(x) è continua in D se lo è in tutti i suoi punti.

• Per le funzioni continue in un punto x0 il calcolo del limite per x -> x0 di

• f(x) si riduce al calcolo di f(x0).

Classificazione dei punti di discontinuità:

x → x0+¿ f x x → x0−¿ f x

( ) ( )=h

=k

Discontinuità di I specie: e , con h

1. lim lim

¿ ¿

¿ ¿

diverso k; |h-k| è detto “salto”.

Discontinuità di II specie: quando il limite destro e il limite sinistro sono,

2. almeno uno, infinito o non esistente. x → x0+¿ f x

( )

Discontinuità di III specie o eliminabile: quando =

3. lim ¿

¿

x → x0−¿ f x

( )=l ; con l diverso da f(x0).

lim ¿

¿

Teorema: tutte le funzioni elementari sono continue nel loro dominio. Quindi,

lim f x

( )

per calcolare nel caso in cui f(x) sia una funzione elementare è

x → x0

sufficiente calcolare f(x0) (metodo di sostituzione).

Teorema sulla continuità delle funzioni inverse: “sia I sottoinsieme di R e

-1

sia f continua e invertibile in I. allora la funzione inversa f è a sua volta

continua in f(I).”

Sono quindi continue in D le funzioni:

Polinomiali.

• Razionali fratte.

• Trigonometriche.

• Esponenziali.

• Logaritmiche.

• Radici.

• y =arctgx.

•

Teoremi sulle funzioni continue

Teorema di Weierstrass: “sia f definita su un insieme chiuso e limitato e

1. sia continua in tale insieme. Allora f assume su tale insieme massimo e

minimo assoluto.”

Teorema di esistenza degli zeri: “sia data f: I -> R (intervallo anche

2. aperto e illimitato, ma unico) continua in I. siano x1, x2 appartenenti ad I

tali che f(x1)*f(x2) < 0. Allora esiste almeno un c appartenente a ]

x1,x2[ tale che f(c) = 0.”

Teorema dei valori intermedi (o di Darboux): “Sia f: I -> R continua su

3. I. allora f assume tutti i valori compresi tra f(x1), f(x2) per qualsiasi x1,x2

appartenenti ad I.

Estensione delle operazioni algebriche definite su R ad R*.

Somma:

a+ =+ ; a - = -

• ∞ ∞ ∞ ∞

+ =+

• ∞ ∞

+∞

- =-

• ∞−∞ ∞

+ e - sono forme di indecisione.

• ∞−∞ ∞ +∞

Prodotto:

a*

• ∞=∞ , vale laregola dei segni

, vale la regola dei segni

• ∞∗∞=∞

, forma di indecisione.

• ∞∗0

Quoziente:

a/ , vale la regola dei segni.

• ∞=0

∞ è forma di indecisione.

• ∞

0/0 è forma di indecisione.

•

Teorema “algebra dei limiti”: “Siano f,g: D - > R con x0 punto di

lim f x lim g x

( )=l ( )=h

accumulazione per D. Se e con x0, h, l reali, si ha che

x → x0 x → x0

valgono le seguenti operazioni (se definite in R*):

f x g( x)

( ) +

¿=l

• ¿

lim ¿

x→ x0

f x x)

( )∗g(

¿=l

• ¿

lim ¿

x → x0

f x

( ) /g (x)

¿=l ”

• ¿

lim ¿

x → x0

Inoltre, se f e g sono continue in x0 appartenente a D, allora sono continue

anche la loro somma, il loro prodotto e il loro quoziente (se g(x0) diverso da 0).

Teorema: “Siano f,g : D -> R, tali che: lim g x

( )=0

Se |f(x)| <= k per x appartenente u(x0) D e se allora

1. x → x0

lim f x

( )∗g(x )=0

x → x0 lim g x ∞

( )=+

Se f(x) > k per x appartenente u(x0) D e se , allora

2. x → x0

lim f x x

( )∗g ( )=+∞ .

x → x0 lim g x ∞

( )=+

Se |f(x)|<= k per x appartenente u(x0) D e allora

3. x → x0

lim f x g x ∞

( )+ ( )=+ ”

x → x0

Teorema “limite di funzione composta”: “Sia data h(x) = g(f(x)) e h sia

definita in un dominio D. Sia x0 punto di accumulazione per D. se:

lim f x

( )=l

• x → x0

g è continua dove è definita.

• lim g x

( )=m

Esiste

• t→l

h x lim g x

( )=¿ ( )=m

t→l

Allora ”

lim ¿

x → x0

Corollario: “Se h(x) = g(f(x)) con h definita in D e x0 appartenente a D punto

di accumulazione per il dominio di h. se f è continua in x0 e g è continua in

h x h x0 f x0

( )=¿ ( )=g( ( ) )

f(x0) allora h è continua in x0 e ”

lim ¿

x → x0

Dal teorema del limite di funzione composta si può dedurre la regola per il

g(x):

calcolo di funzioni h(x) che sono del tipo f(x)

ln(h(x))

h(x) = e

• g(x)*ln(f(x)) g(x)

h(x) = e , per le proprietà dei logaritmi,