Matematica generale I - Definizioni e teoremi

Intervalli

Intervallo chiuso

Siano a, b ∈ R con a < b, si definisce intervallo chiuso di estremi a e b l’insieme seguente: [a,b]={x ∈ R : a ≤ x ≤ b}

Intervallo aperto

Siano a, b ∈ R con a < b, si definisce intervallo aperto di estremi a e b l’insieme seguente: ]a,b[={x ∈ R : a < x < b}

Intervallo aperto a destra e chiuso a sinistra

Siano a, b ∈ R con a < b, si definisce intervallo aperto a destra e chiuso a sinistra di estremi a e b l’insieme seguente: [a,b[={x ∈ R : a ≤ x < b}

Intervallo aperto a sinistra e chiuso a destra

Siano a, b ∈ R con a < b, si definisce intervallo aperto a sinistra e chiuso a destra di estremi a e b l’insieme seguente: ]a,b]={x ∈ R : a < x ≤ b}

Funzioni

Definizione generale

Siano dati due insiemi A e B non vuoti, allora si definisce funzione da A a B (e si indica con la scrittura f: A → B) una corrispondenza che associa ad ogni elemento di A uno e un solo elemento di B.

A è detto dominio D. B è detto codominio o insieme delle immagini f(D) o Imf.

Funzione da R in R, reale di variabile reale

Se A e B sono sottoinsiemi di R (propri o impropri), si parla di funzione reale di variabile reale.

Grafico di f(x)

Sia D ⊆ R, si definisce grafico della funzione f: D → R² l’insieme grf={(x,y) ∈ R : y=f(x), x ∈ D}

Insieme limitato

Sia dato E ⊆ R non vuoto, si dice che:

• E è limitato superiormente se esiste k ∈ R tale che x ≤ k per ogni x ∈ E (k è detto maggiorante di E).
• E è limitato inferiormente se esiste h ∈ R tale che x ≥ h per ogni x ∈ E (h è detto minorante di E).
• E è limitato se è limitato sia inferiormente sia superiormente.

Funzione limitata

Sia f: D → R, si dice che f è limitata se esistono due valori k e h entrambi reali tali che h ≤ x ≤ k per ogni x ∈ D.

Massimo e minimo di un insieme

Sia E ⊆ R non vuoto:

• Si dice che m ∈ R è un minimo di E se m ≤ x per ogni x ∈ E e m ∈ E.
• Si dice che M ∈ R è un massimo per E se M ≥ x per ogni x ∈ E e M ∈ E.

Massimo e minimo di una funzione

Sia f: D → R, si definisce:

• Minimo di f il valore f(x₀) : f(x₀) ≤ f(x) per ogni x ∈ D.
• Massimo di f il valore f(x₀) : f(x₀) ≥ f(x) per ogni x ∈ D.

Insieme illimitato

E ⊆ R non vuoto si dice insieme:

• Illimitato superiormente se non ammette maggioranti in R.
• Illimitato inferiormente se non ammette minoranti in R.
• Illimitato se è illimitato sia inferiormente sia superiormente.

Estremo superiore e estremo inferiore di un insieme

Sia E ⊆ R non vuoto:

• Si definisce supE (“estremo superiore di E”) il minimo dei maggioranti di E se E è superiormente limitato; vale +∞ se E è superiormente illimitato.
• Si definisce infE (“estremo inferiore di E”) il massimo dei minoranti di E se E è inferiormente limitato; vale -∞ se E è inferiormente illimitato.

Estremo superiore e inferiore di una funzione

Sia f: D → R, si definisce:

• supf l’estremo superiore dell’insieme delle immagini di f.
• inff l’estremo inferiore dell’insieme delle immagini di f.

Funzione iniettiva

Sia f: D → R, si dice che f è iniettiva se ad ogni immagine del codominio è associata una sola controimmagine in D: ∀ x₁, x₂ ∈ D, x₁ ≠ x₂, f(x₁) ≠ f(x₂).

Funzione suriettiva

Sia f: D → R, si dice che f è suriettiva se l’insieme delle immagini coincide con R: f(D)=R.

Funzioni monotòne

Sia f: D → R, si definisce:

• Crescente, se ∀ x₁, x₂ : x₁ < x₂ → f(x₁) ≤ f(x₂).
• Decrescente, se ∀ x₁, x₂ : x₁ < x₂ → f(x₁) ≥ f(x₂).
• Strettamente crescente, se ∀ x₁, x₂ : x₁ < x₂ → f(x₁) < f(x₂).
• Strettamente decrescente, se ∀ x₁, x₂ : x₁ < x₂ → f(x₁) > f(x₂).

Funzione invertibile

Sia f: D ⊆ R → R, si dice che f è invertibile se per ogni y ∈ f(D) esiste ed è unico x ∈ D : y = f(x).

Funzione inversa

Se f è invertibile, allora è possibile definire la funzione g: f(D) → D che associa ad ogni y ∈ f(D) la sua unica controimmagine x : x = g(y). “g” è detta funzione inversa e si indica con il simbolo f^-1(x).

Se f è invertibile ed f^-1 la sua inversa, allora i grafici di f e di f^-1 sono simmetrici rispetto alla bisettrice del I e III quadrante.

Sia f: D ⊆ R → R, se f è strettamente monotòna in D, allora f è invertibile in D; non vale il viceversa.

Restrizione di f

Consideriamo un insieme D’ tale che D' ⊆ D; definiamo restrizione di f all’insieme D’ la funzione f definita limitatamente a tale sottoinsieme. La restrizione di f al sottoinsieme D’ è indicata con f_D’.

Funzione composta

Siano date due funzioni f e g, f: D ⊆ R → R e g: D_f ⊆ R → R; se succede che f(D) è un sottoinsieme di D_g allora è possibile definire la seguente funzione: g∘f : D → g(D_f) tale che y = g(f(x)), qualunque x appartenente a D_f.

L’operazione non è commutativa e le due composizioni non rappresentano la stessa funzione.

Funzioni concave e convesse

Sia f: D ⊆ R → R, si dice che:

• f è convessa in D se il grafico di f compreso tra i punti (x₀, f(x₀)) e (x₁, f(x₁)) giace al di sotto della corda che congiunge tali punti.
• f è concava in D se il grafico di f compreso tra i punti (x₀, f(x₀)) e (x₁, f(x₁)) giace al di sopra della corda che congiunge tali punti.

Punto di flesso

Sia f: D ⊆ R → R e sia x₀ ∈ D, si dice che x₀ è un punto di flesso per f se in esso si verifica un cambiamento di concavità.

Funzioni elementari

Funzione potenza

• Esponente positivo
  • n = 0; f(x) = 1.
  • n = 1; f(x) = x.
  • Potenza pari
    • Presenta un minimo in (0,0).
    • Passa sempre per (1,1) e (-1,1).
    • D = R.
    • f(D) = R⁺.
    • È sempre convessa.
    • Né iniettiva né suriettiva.
    • È una funzione pari, vale quindi: f(-x) = f(x); è quindi simmetrica rispetto all’asse delle ordinate.
    • La funzione inversa esiste solo nella restrizione D’ = R⁺ ed è f^-1(x) = x^1/n.
  • Potenza dispari
    • Passa per (0,0), (1,1) e (-1,-1).
    • È sempre strettamente crescente.
    • D = R.
    • f(D) = R.
    • È suriettiva e iniettiva.
    • Presenta un flesso in zero. È concava in R^- e convessa in R⁺.
    • È dispari: f(-x) = -f(x).
    • È invertibile su tutto R, con f^-1(x) = x^1/n.
• Esponente negativo
  • Potenza pari
    • È pari.
    • Ha codominio R \ {0}.
    • Ha dominio R \ {0}.
    • Per valori minori di 1 è sopra la potenza maggiore; per valori maggiori di 1 è sopra la potenza minore.
    • L’inversa, con restrizione del dominio, vale 1/(x^1/n).
  • Potenza dispari
    • Passa per (-1,-1) e (1,1).
    • È dispari.
    • Iniettiva.
    • Non è decrescente in D ma solo nelle sue restrizioni.
    • D = R^- e D’’ = R⁺; è anche concava in D’ e convessa in D’’.

Funzione esponenziale e logaritmica

• f(x) = a^x, a ∈ R \ {0}, a > 1.
  • D = R.
  • f(0) = 1.
  • Strettamente crescente.
  • f(D) = R⁺ \ {0}.
  • Per x < 0, f(x) < 1; per x > 0, f(x) > 1.
  • Strettamente convessa.
  • inff = 0, ma f non ammette minimo.
  • supf = +∞.
  • Iniettiva e quindi invertibile.
• f(x) = log_a(x), a ∈ R \ {0}, a > 1.
  • D = R⁺, f(D) = R.
  • Passa per (0,1).
  • Iniettiva.
  • Strettamente concava e strettamente crescente.
  • Non presenta massimi e minimi.
  • Limitata da +∞ e -∞.
  • È l’inversa di a^x.
• f(x) = a^x, a ∈ R \ {0}, 0 < a < 1.
  • Strettamente convessa.
  • Passa per (0,1).
  • D = R, f(D) = R⁺ \ {0}.
  • Iniettiva e invertibile.
  • inff = 0, supf = +∞.
  • Non ammette massimi e minimi.
  • Strettamente decrescente.
• f(x) = log_a(x), a ∈ R \ {0}, 0 < a < 1.
  • Strettamente decrescente e strettamente convessa.
  • D = ]0, +∞[.
  • f(D) = R, suriettiva.

Trigonometria, cenni

Funzione periodica

f : D → R si definisce periodica di periodo T se vale la relazione f(x+T) = f(x) per ogni x appartenente a D. Il più piccolo valore di T per il quale vale la proprietà precedente è detto “periodo”.

• f(x) = sin(x).
  • Strettamente crescente in [0,π/2] e [(3/2)π,2π]; strettamente decrescente in [π/2, (3/2)π].
  • Strettamente concava in [0,π] e strettamente convessa in [π, 2π].
  • Presenta kπ punti di flesso.
  • Limitata tra -1 e 1.
  • Presenta punti di massimo per x = π/2 + 2kπ; e punti di minimo per x = (3/2)π + 2kπ.
• f(x) = cos(x).
  • Strettamente decrescente in ]0, π[ e strettamente crescente in ]π, 2π[.
  • Strettamente concava in [0,π/2] e [(3/2)π,2π] e convessa in [π/2, (3/2)π].
  • Presenta infiniti massimi per x = 2kπ e infiniti minimi per x = π+2kπ.
  • Limitata tra -1 e 1.
• f(x) = tan(x).
  • Periodica di periodo π.
  • D = R \ {π/2 + kπ}.
  • Strettamente crescente nel periodo ]-π/2, π/2[.
  • f(D) = R, suriettiva.
  • Illimitata superiormente e inferiormente.
  • Strettamente concava in ]-π/2, 0[ e strettamente convessa in ]0, π/2[.
  • 0 + kπ punti di flesso.
  • Iniettiva e quindi invertibile nel periodo. Non crescente nel dominio.
• f(x) = arctan(x).
  • Limitata alla restrizione di f(x) = tanx nel periodo.
  • D=R.
  • f(D) = ]-π/2, π/2[.
  • Strettamente crescente su D.
  • Convessa in ]-∞, 0[ e ]0, +∞[.
  • Non ammette massimo né minimo assoluti.

Grafici deducibili

1. g(x) = - f(x); il grafico di g(x) si ottiene facendo il simmetrico del grafico di f(x) rispetto all’asse delle ordinate.
2. g(x) = f(-x); il grafico di g(x) si ottiene tracciando il simmetrico di f(x) rispetto all’asse delle ordinate.