Teoremi d'esame Geometria ed algebra lineare - parte 2

IN UNO SPAZIO VETORIALE V SU K FINITAMENTE GENERATO OGNI VETTORE V SI ESPRIME IN MODO UNICO COME COMBINAZIONE LINEARE DI VETTORI DI UNA BASE B

Sia V uno spazio vettoriale su K e B {v₁, v₂, ..., v_n} una base allora ogni vettore V∈ V si esprime su modo unico come combinazione lineare dei vettori della base.

DIMOSTRAZIONE

Se:

V = a₁v₁ + a₂v₂ + ... + a_nv_n

e:

V = b₁v₁ + b₂v₂ + ... + b_nv_n

Allora si ha che:

a₁v₁ + a₂v₂ + ... + a_nv_n = b₁v₁ + b₂v₂ + ... + b_nv_n

Applicando gli assiomi su spazio vettoriale:

(a₁ - b₁)v₁ + (a_n - b_n)v_n = 0

Poiché v₁, v₂, ..., v_n sono L.I.

a₁ - b₁ = a₂ - b₂ = ... = a_n - b_n = 0

da cui

a_i = b_i

SOMMA E INTERSEZIONE DI DUE SOTTOSPAZI

VETTORIALI U E W DI UNO SPAZIO VETTORIALE V.SOMMA

SONO SOTTOSPAZI VETTORIALI DI V

1. U ∩ W ≤ V
2. U + W ≤ V

DIMOSTRAZIONE

1. 0̅ ∈ U perché U ≤ V 0̅ ∈ W perché W ≤ V 0̅ ∈ U ∩ W ⇒ U ∩ W ≠ Ø v̅₁, v̅₂ ∈ U ∩ W ⇒ v̅₁ + v̅₂ ∈ U ∩ W

   v̅₁ ∈ U, v̅₂ ∈ V ⇒ v̅₁ + v̅₂ ∈ U λ₁ ∈ ω, w ∈ V ⇒ v̅₁ + v̅₂ ∈ W

   Siano λ ∈ ℝ, v̅ ∈ U ∩ W ⇒ λv̅ ∈ U ∩ W

   v̅ ∈ U ⇒ λv̅ ∈ U v̅ ∈ W ⇒ λv̅ ∈ W

2. 0̅ = 0̅_U + 0̅_W ∈ U + W ≠ Ø

   Siano v̅₁, v̅₂ ∈ U + W ⇒ v̅₁ + v̅₂ ∈ U + W

   v̅₁ ∈ V + W ⟹ ∃ w̅ ∈ V, ∃ w̅ ∈ W t.c. v̅₁ = u̅ + w̅ v̅₂ ∈ V + W ⟹ ∃ u̅ ∈ U, ∃ w̅ ∈ W t.c. v̅₂ = u̅ + w̅

   v̅₁ + v̅₂ = (u̅ + w̅) + (u̅ + w̅) = (u̅ + u̅) + (w̅ + w̅) ∈ U_u + W_w

CONTINUA

Relazione di similitudine è una relazione equivalenza su ₙ()

1. Per ogni A∈ₙ() risulta A∼A (proprietà riflessiva)
2. A, B∈ₙ(), se A∼B, allora B∼A (proprietà simmetrica)
3. A, B, C∈ₙ() se A∼B e B∼C allora A∼C (pr. transitiva)

Dimostrazione

2. A = ⁻¹
   • Se ₂ = ₙ e A∼B allora B = ⁻¹
   • Se = ⁻¹

   B = ⁻¹ ⟹ = (⁻¹) = ⟹ ⁻¹ = ()⁻¹ = A

   ⟹ A = ⁻¹ = ⁻¹

3. • B = ⁻¹
   • C = ⁻¹
   • Se S = PQ

   C = ⁻¹(⁻¹) = (⁻¹⁻¹)(PQ) = ⁻¹

Prodotto scalare

È il prodotto esterno di due vettori liberi non nulli dove il risultato è un numero reale.

\(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = |\overrightarrow{u}| \cdot |\overrightarrow{v}| \cdot \cos(\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{v})\)

Proprietà

• \(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u}\)
• \(\overrightarrow{u} \cdot (\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w}) = \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w}\)
• \((k \cdot \overrightarrow{u}) \cdot \overrightarrow{v} = k \cdot (\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v})\)
• \(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} = |\overrightarrow{u}|^2\)

Prodotto vettoriale

È il prodotto esterno di due vettori indicato con \(\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}\)

• \(|\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}| = |\overrightarrow{u}| \cdot |\overrightarrow{v}| \cdot \sin(\overrightarrow{u} \wedge \overrightarrow{v})\) - lunghezza
• Direzione ortogonale a \(\overrightarrow{u}\) e \(\overrightarrow{v}\)
• Verso dato dalle terne ordinate \(\{\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}\}\)

Proprietà

• \(\overrightarrow{v} \times (\overrightarrow{u} + \overrightarrow{w}) = \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w} + \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{u}\)
• \(\lambda (\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w}) = \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w} \lambda\)
• \((\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w}) \times \overrightarrow{u} \neq \overrightarrow{v} \times (\overrightarrow{w} \times \overrightarrow{u})\)
• \(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w} = -\overrightarrow{w} \times \overrightarrow{v}\)