Teoremi d'esame Geometria ed algebra lineare - parte 1

Posizione di due piani

• Paralleli
  • Coincidenti → ∞ punti in comune
  • Distinti → no punti in comune
• Incidenti → si intersecano lungo una retta

Posizione di due rette

• Complinare → incidenti
• Paralleli distinti
• Paralleli coincidenti
• Sghembe → non esiste un piano che contenga le due rette

Posizione retta-piano nello spazio

• Incidenti → un solo punto in comune
• Paralleli esterni → nessun punto in comune
• Parallela contenuta → infiniti punti in comune

Matrice simile

Siano (A₁, B_n) (IK) n due che t è nullo e BŒ A x Bse esiste una matrice P ε L_n(K) invertiTC.B = P^-1 A P

Teorema unicità dell'inversa di una matrice invertibile

Sia A∈ℒ_n(ℝ) una matrice invertibile,

se ∃ B ∈ ℒ_n(ℝ) : A·B = B·A = I_n, allora ∃! B ∈ ℒ_n(ℝ)

Dimostrazione per assurdo:

∃ B ∈ ℒ_n(ℝ) : A·B = B·A = I_n

∃ C ∈ ℒ_n(ℝ) : A·C = C·A = I_n e C ≠ B

∴ I_n = B·A   C = I_n·C

eguaglio

C = I_n·C = (B·A)·C = B·(A·C) = B·I_n → C = B·I_n

∴ C è un uguale a I_n·C e a I_n·B vorrà dire che: C = B

Teorema di Cramer

Un sistema di Cramer di n equazioni in n incognite ammette un'unica soluzione 𝑈 (v₁, v₂, ..., v_n) ∈ ℝⁿ.

𝑈_i = |A|^-1 |A_i(b)|

sostituendo la i-esima colonna con la colonna dei termini noti otteniamo:

𝑈_i = |A_i(b)| / |A|

Dimostrazione:

Per R.C. il sistema è determinato.

A𝑈 = b

A^-1(A𝑈) = A^-1b → (AA^-1)𝑈 = A^-1b

⇒ 𝑈 = A^-1b

dove possiamo vedere A^-1 = |A|^-1 · ʲ()

𝑈_i = (|A|^-1A_ii |A|^-1A_zi ... |A|^-1A_ni) ^T ( b₁ b₂ ... b_n)

= |A|^-1(b₁A_ii ... b_nA_ni)

Sostituendo il termine noto nella i-esima colonna e sviluppando il determinante lungo quella colonna otteniamo

|A_i(b)| = (b₁A_ii ... b_nA_ni) uguale all’espressione trovata precedentemente

L'INSIEME L(v₁, v₂, …, vₖ) DEI VETTORI COMBINAZIONE LINEARE DI v₁, …, vₖ È UN SOTTOSPAZIO VETTORIALE DI V

Assegnati n vettori v₁, v₂, …, vₘ su uno S.V. su IK. Allora l'insieme L(v̅₁, v̅₂, …, v̅ₘ) è un sottospazio vettoriale di V.

DIMOSTRAZIONE

S := L(v̅₁, v̅₂, …, v̅ₘ)

∀v̅ ∈ S

v̅ = 0v̅₁ + 0v̅₂ + … v̅ₗ + … 0v̅ₘ

Avremo che:

S ⊇ ∅

Siano v̅ → e v̅← ∈ S e λ ∈ IK, esistono 2n scalari:

• λ₁, λ₂, …, λₘ, μ₁, μ₂, …, μₘ

v̅ → = λ₁v̅₁ + λ₂v̅₂ + λₘv̅ₘ

v̅← = μ₁v̅₁ + μ₂v̅₂ + … μₘv̅ₘ

Risultato per gli assiomi da spazio vettoriale che:

• v̅ → + v̅← = (λ₁+μ₁)v̅₁ + (λ₂+μ₂)v̅₂ + … (λₘ+μₘ)v̅ₘ
• λv̅ → = (λλ₁)v̅₁ + (λλ₂)v̅₂ + … + (λλₘ)v̅ₘ

v̅→+v̅← ∈ S e λv̅ → ∈ S