Geometria e Algebra Lineare - Teoremi con dimostrazione ed esercizi d'esame risolti

Settore: Mat/03 Geometria ed algebra lineare

Autore e fonti

Autore degli appunti: Filippo Ribes. Gli appunti sono stati scritti prendendo informazioni da fonti varie, quali professori universitari di UniMORE e ricerche online.

Per dubbi, chiarimenti o altro, mi trovi su Instagram: ig: NoteWave_RF e ig: fil_ribes.

Strutture algebriche

Operazione binaria: ogni applicazione φ: A×B→C, con A, B, C, insiemi. Se A=B=C ⇒ φ: A×A→A = operazione binaria interna su A.

Struttura algebrica: tripla costituita da insiemi e operazioni su di essi.

Gruppo: Sia G un insieme e ˆ un'operazione binaria interna su G. La struttura algebrica (G, ˆ) è un gruppo se:

• L’operazione ˆ è associativa;
• (G, ˆ) ammette elemento neutro;
• Ogni elemento e ∈ G è invertibile.

(G, ˆ) è un gruppo abeliano se è un gruppo e l’operazione ˆ è commutativa.

Anello

Sia A un insieme e +, ⋅ due operazioni binarie interne su A. La struttura algebrica (A, +, ⋅) è un anello se:

• (A, +) è un gruppo abeliano;
• Il prodotto ⋅ è associativo;
• ∀x,y,t ∈ A, (x+y)⋅t = (x⋅t) + (x⋅t) e viceversa ⇒ il prodotto ⋅ è distributivo rispetto alla somma.

Campo

(A, +, ⋅) è un campo se:

• (A, +) è un gruppo abeliano;
• Se ε è l'elemento neutro di (A, +) e A* = A - {ε}, ⇒ (A*, ⋅) è un gruppo abeliano [(A*, ⋅) ammette l'inverso];
• Il prodotto ⋅ è distributivo rispetto alla somma.

Combinazione lineare

Siano a₁ = (a₁₁, ..., a_1m), a₂ = (a₂₁, ..., a_2m), ..., a_m = (a_m1, ..., a_mm) m-ple di elementi di K e siano λ¹, ..., λ^m elementi di K. Diremo combinazione lineare di a₁, ..., a_m con coefficienti λ¹, ..., λ^m la m-pla λ¹(a₁₁, a_1m) + ... + λ^m(a_m1, a_mm) = λ¹a₁ + ... + λ^ma_m ∈ K^m che sarà anche indicato con il simbolo: ∑_i=1^m λⁱ⋅a_i.

Matrici e determinanti

Matrice: Sia X un insieme e sia (m,n) una coppia di interi positivi. Si dice matrice di tipo m×n a coefficienti in X un'applicazione A: N_m x N_n → X. Se m = n, A è detta matrice quadrata di ordine m. Indichiamo l'insieme delle matrici di tipo m×n a coefficienti in X con il simbolo M_m×n(X).

Se A ∈ m×n matrice, M_m×n(X) → A = (a_ij), con a_ij generico elemento di A con rispettivamente indice di riga e indice di colonna di A_ij.

Matrice trasposta

Si dice matrice trasposta di A = (a_ij) ∈ M_m×n(X) la matrice A^T = (b_ij) ∈ M_n×m(X). Dunque, la matrice A^T è di ordine, considerando come colonne le righe di A e viceversa.

Matrice simmetrica

Una matrice quadrata A ∈ M_n(X) è detta simmetrica se A^T = A.

Proprietà sulle matrici

La struttura algebrica (M_m×m(K), +) è un gruppo abeliano. Inoltre, ∀ α, β ∈ K e ∀ A, B ∈ M_m×n(K), valgono le seguenti proprietà:

• (α + β) A = (α A) + (β A)
• α (A + B) = (α A) + (α B) (distributiva)
• 1 A = A

Definiamo prodotto scalare di due m-ple a = (a₁, ..., a_n), b = (b₁, ..., b_m) ∈ K^m l'elemento: (a, b) = Σ_k=1^m a_k b_k ∈ K (è uno scalare se un numero).

Matrice conformabile

Una coppia (A, B) di matrici a coefficienti in K è detta conformabile se il numero delle colonne di A è uguale al numero delle righe di B.