Temi Didattica della matematica

IL NUMERO E LA SUA SCOPERTA ALLA SDI E SP

Il numero è possibile definirlo come un concetto astratto, che tende a qualificare un insieme di

elementi, eventi misurabili, oggetti e viene usato in maniera naturale per contare. Per numeri

naturali si intendono invece i numeri interi e postivi che si formano dall’aggiunta di un numero, fino

ad arrivare all’idea di infinito. Ma il concetto di numero è da sempre parte integrante della vita di un

individuo.

Fin da piccolo, il bambino scopre il numero e lo utilizza in maniera quotidiana: conta le dite delle

mani, degli scalini, fa la ‘’conta’’ nel gioco del nascondino, impara la sua età, la data del suo

compleanno. Di fatto è possibile notare come il bambino, appena entrato alla scuola dell’infanzia, a

contatto con i suoi coetanei, comincia a mostrare tutte le conoscenze apprese fino a quel momento:

comincia a contare gli oggetti o mostra di conoscere le parole numeriche (uno, due, tre.). Si può dire

quindi che il bambino non arriva come una ‘’tabula rasa’’ alla scuola dell’infanzia, bensì, proprio

queste sue conoscenze devono essere sfruttate come punto di avvio per intraprendere il cammino

verso la costruzione del concetto di numero, fino ad arrivare a una piena padronanza di esso. Di

conseguenza, il ruolo dell’insegnate di Sdi deve essere di tutor- facilitatore perché deve semplificare

i concetti matematici attraverso l’uso attività ludiche ma anche recuperando le esperienze familiari e

sociali . Già l’attività del contare, svolta fino alla Sdi in maniera implicita dal bambino, deve essere

attualizzata in maniera concreta: si deve passare infatti dalle competenze innate, al raggiungimento

della piena consapevolezza che la capacità del contare permette di soddisfare necessità del

quotidiano. Per raggiungere questo obbiettivo, l’insegnante deve puntare inizialmente

sull’enumerazione, ovvero esprimere in maniera ordinata la sequenza delle parole – numero che si

usa per contare. Proprio l’attività del enumerare è il presupposto del contare oggetti, che a sua volta

stimola la memorizzazione della sequenza delle parole – numero.

Il bambino vive le cose con il proprio corpo per questo, inizialmente ha bisogno di toccare

fisicamente l’oggetto che deve contare, ha bisogno di manipolarlo, spostarlo e, quando sarà pronto

smetterà di farlo spontaneamente. Soltanto con il passare del tempo il movimento si trasformerà in

tocco del dito, quest’ultimo in movimento della testa e successivamente in movimento degli occhi.

Soltanto dopo il superamento di questi step si arriverà al conteggio, all’ordine e a una etichetta

verbale corretta che porterà il bambino a contare veramente.

All’inizio della SP invece, il bambino capace di contare gruppi di oggetti, è chiamato a

comprendere i molteplici significati del numero e per tale proposito è propedeutico fin da subito

mostrare i diversi approcci ad esso. L’idea del numero naturale deve tener conto di diversi punti di

vista: come la sua cardinalità, ordinalità e ricorsività ed è un concetto che per essere assorbito dal

bambino richiede tempo e attenzione. È importante dunque che l’insegnante differenzi gli approcci

ma senza ostentare l’importanza di uno rispetto all’altro, ma anzi i tre approcci devono essere

utilizzati in maniera parallela. L’approccio cardinale, ad esempio, rappresenta il ‘’tanti quanti’’ ed è

l’esempio classico del pastore che conta le pecorelle con le tacche del bastone.

Già dalla Sdi, il concetto di ‘’tanti quanti’’ è utilizzato in maniera implicita durante la routine

quotidiana e le attività ludiche. Alla scuola primaria, tuttavia, molti libri presentano lo zero subito

dopo al numero nove, soltanto quando si arriva ai numeri in coppia; questa metodologia risulta

errata perché il bambino potrà confondersi in quanto l’insegnante ha, fino ad allora, fatto iniziare la

semiretta orientata dal numero 1. Una buona metodologia da utilizzare invece è agganciare lo zero

alla cardinalità di un insieme e quindi alla sua quantità. Utilizzare infatti l’approccio cardinale può

risultare una strategia per facilitare l’insegnamento dello zero. Al bambino vengono affidati oggetti

da classificare e raggruppare all’interno di insiemi. Nel caso di zero oggetti, quindi di nessun

elemento, il bambino avrà il sistema vuoto che corrisponde, per l’appunto, all’idea del niente.

Infine nell’approccio ricorsivo, è utile far comprendere che lo zero non è il successivo di nessun

numero. Come abbiamo ben visto, lo zero risulta essere un concetto particolare, da poter spiegare in

diversi modi. Ma tuttavia, se spiegato fin da subito alla scuola dell’infanzia in quanto legato alla

realtà e quindi all’assenza di quantità, il bambino, attraverso delle strategie didattiche, può

comprendere il suo posto e il suo valore. In questo modo lo zero non risulterà più come un ostacolo,

ma anzi il bambino può stimolare un atteggiamento critico verso questo numero magico.

Già a partire dalla scuola dell’infanzia si possono presentare tantissime attività che serviranno da

base per la scuola primaria in ambito matematico.

Si può presentare ad esempio la simmetria assiale attraverso il disegno, la pre-misurazione,

l’allenamento della motricità fine, ovvero un insieme di piccoli movimenti muscolari di mani, piedi,

volto e bocca, utili ad un individuo per compiere delle azioni e i riferimenti topologici, ovvero

quelle nozioni che riguardano lo spazio che ci circonda: dentro-fuori; aperto- chiuso; sopra-sotto;

davanti-dietro; destra-sinistra; vicino-lontano tramite l’uso di mattoncini lego e costruzioni.

Inoltre, attraverso l’uso dell’abaco orizzontale si può anche imparare a contare attraverso l’abaco e

provare a introdurre l’addizioni con termini più semplici.

Tutto quello che il bambino apprende alla scuola dell’infanzia attraverso attività ludiche sarà poi

rinforzato alla scuola primaria.

LA PROTO-MATEMATICA ALLA SDI E SP

Con il termine proto-matematica ci riferiamo alla prima matematica di cui i bambini fanno

conoscenza, quella matematica ingenua e spontanea, definibile anche come l’avvicinamento alla

logico-matematica. Essa avvicina i bambini a concetti importanti come il rendersi conto di essere

parte di un tutto o di essere in continuo cambiamento nel tempo e nello spazio. Da un punto di vista

didattico, bisogna riconoscere che la proto-matematica rappresenta una minima parte della

competenza numerica, la scuola dell’infanzia e la scuola primaria costituiscono quegli anni che

contribuiscono in maniera decisiva a sviluppare e rafforzare le abilità proto-matematiche del

bambino. Tali abilità, che si sviluppano nella Scuola dell’Infanzia, sono: raggruppamento,

ordinamento, quantificazione e misurazione.

Dunque, questi contenuti proto-matematici riguardano:

La geometria: insiemi, relazioni (ordine, equivalenze), forme, misura lineare, superficiale o

ampiezze.

L’aritmetica: rappresentazione di un andamento di un fenomeno, per esempio, i giorni rossi nel

calendario.

La probabilità statistica: eventi, enunciati, relazioni, insiemi, dati e grafici. Rappresenta un evento

casuale che permette di favorire il superamento dell’egocentrismo.

Esempio: nell’ambito geometrico i bambini possono, attraverso il gioco, imparare dei concetti della

geometria, come il segmento. L’insegnante dopo aver spostato i banchi, utilizzando dello scotch

colorato, traccia delle linee a terra e invita i bambini a camminare sul segmento e successivamente

di dividerlo a metà, mostrando quindi un ulteriore aspetto della matematica.

Per quanto riguarda le figure geometriche, l’insegnante utilizza delle scatole di forme diverse, le

mostra e le fa maneggiare ai bambini. Successivamente distribuisce delle schede sui solidi e le fa

dipingere con colori differenti. Alla fine di questa attività, l’insegnante fa una verifica per capire se i

concetti sono stati interiorizzati.

Per quanto riguarda l’aritmetica si possono svolgere una serie di giochi che sono ricchi di contenuti

numerici, ad esempio nascondino, il gioco del fazzoletto e/o campana.

Infine, tra le attività che potrebbero ricordare la probabilità statistica possiamo citare il gioco del

sacco pieno e sacco vuoto per abituare i bambini a distinguere gli insiemi che contengono elementi

e quelli che non ne contengono; potrebbe essere un gioco utile anche per spiegare lo zero.

Un concetto molto importante è l’idea di costruire ambienti adeguati che diano ai bambini la

possibilità di interagire con gli oggetti e le loro proprietà dando loro la possibilità di rielaborare una

teoria. Dal punto di vista delle operazioni proto-matematiche la possibilità di manipolare oggetti è

indispensabile.

Vi sono molte attività che permettono di giocare con i numeri facendo così prendere confidenza il

bambino con questi. L’atteggiamento che deve assumere l’insegnante è saper sfruttare l’esperienza,

occorre incentivare ciò che il bambino sa e sa fare. La proto-matematica risulta presente fin dalla

scuola dell’infanzia in ogni ambito d’azione del bambino. Di conseguenza, partire da attività della

sua quotidianità per promuovere competenze proto-matematiche può essere un’importante risorsa.

Bisogno agire nella quotidianità, nelle azioni che il bambino compie ogni giorno. Si può anche

lavorare con gli insiemi, creando dei raggruppamenti, individuando ad esempio quanti maschi e

quante femmine vi sono, creando relazioni operando confronti: quanti hanno i capelli corti, quanti

gli occhiali e così via. Avvicinare il bambino all’apprendimento della matematica attraverso un

approccio ludico è il modo migliore per vedere l’apprendimento in maniera attiva e divertente.

LO ZERO: PROBLEMATICHE DIDATTICHE ALLA SCUOLA DELL’INFANZIA E ALLA

SCUOLA PRIMARIA.

Il caso dello zero è significativo sia nella scuola dell’infanzia sia nella scuola primaria. Lo zero

nasconde con se molte problematiche dal punto di vista didattico come ad esempio il momento in

cui presentarlo e come presentarlo, ad esempio molti testi affrontano i numeri partendo da uno e

subito dopo il nove, viene presentato lo zero.

Lo zero è il numero che separa i numeri positivi dai numeri negativi. È il primo numero dell'insieme

dei numeri naturali ed è l'unico numero reale a non essere né positivo e né negativo.

Lo zero è un numero molto complesso, difficile, non è una cifra legata all’idea di quantità, ma alla

mancanza di quantità. inoltre, nelle quattro operazioni fondamentali assume poi un ruolo diverso.

Già dalla scuola dell’infanzia, attraverso immagini, scoperte, lim, giochi in palestra il bambino può

iniziare ad approcciarsi allo zero, fino a scoprire contesti reali. Lo zero alla scuola dell’infanzia

viene legato all’assenza di oggetti, per questo per presentarlo la maestra potrebbe mettere tante

ceste riempite con dei giocattoli e lasciare invece alcune ceste vuote, chiedendo poi ai bambini

quanti giocattoli ci sono all’interno. Chiedendo al bambino quanti giocattoli ci sono all’interno della

cesta vuota il bambino spontaneamente risponderà che non ce ne sono, è vuota. La maestra allora

dovrà spiegare che la risposta sarà zero. In questo modo il bambino attraverso il gioco può capire

veramente la valenza dello zero.

Introducendo lo zero già alla scuola dell’infanzia, i bambini alla scuola primaria a livello

concettuale possiedono già una base che adesso potrà essere potenziata.

Alla scuola primaria lo zero viene ripreso, viene ora studiato come una quantità e viene anche

agganciato alle operazioni.

Lo zero nelle quattro operazioni assume ruoli differenti: nell’addizione è elemento neutro perché

sommato a destra e a sinistra lascia inalterata quella quantità;

Nella sottrazione invece lo zero assume un ruolo diverso, non è più elemento neutro perché cambia

significato se è posto a sinistra o a destra. Per quanto riguarda la moltiplicazione lo zero ha un ruolo

annullatore perché un qualsiasi numero moltiplicato per zero darà sempre zero.

Nella divisione quando il dividendo è 0 risulta 0 anche il quoziente (esempio 0:5 =0), quando è 0 il

divisore la divisione non si può effettuare, non avrebbe senso, è dunque impossibile (esempio 5:0 è

impossibile), se sono 0 entrambi l'operazione 0:0 è indeterminata, non riesco a stabilire quale

risultato dare.

Lo zero è difficilissimo da rappresentare geometricamente, poiché sul righello non lo uso come

immagine perché sarebbe troppo complesso, mentre per quanto riguarda il numero 1 io lo posso

agganciare ad una misura.

Nella scelta di ciò che l’insegnante porta in classe ci sono tanti saperi e si devono collegare a questi

delle scelte didattiche, delle ingegnerie didattiche, il rischio è sennò quello di confondere il

bambino. Una delle strategie migliori è quella di presentare lo zero come primo numero attraverso il

gioco.

IL TRIANGOLO ALLIEVO-INSEGNANTE-SAPERE

La teoria del triangolo di Chevallard è un approccio sistemico che serve per analizzare quei

fenomeni che entrano in gioco nel momento in cui si parla di insegnamento-apprendimento.

Ai tre vertici di questo triangolo corrispondono tre poli, ovvero quello dell’Insegnante che espone,

spiega, dimostra e costruisce situazioni didattiche, quello dell’Allievo che interpreta l’informazione

che riceve e la elabora, e quello del Sapere.

Allievo-Insegnante-Sapere, sono i tre soggetti che devono essere presenti in ogni situazione

didattica, quest’ultima è il cuore del triangolo e corrisponde alla situazione di apprendimento che

l’insegnante, consapevolmente, cerca di costruire.

Per Chevallard, l’aspetto iniziale per definire una buona pratica didattica, che lui chiama

trasposizione didattica, è il sapere. Per trasposizione didattica si intende il lavoro di adattamento, di

trasformazione del sapere in oggetto d’insegnamento, in funzione del luogo, del pubblico e delle

finalità didattiche che ci si pone. La trasposizione didattica consiste, dal punto di vista

dell’insegnante, nel costruire le sue proprie lezioni attingendo dalla fonte dei saperi, tenendo conto

delle orientazioni fornite dalle istruzioni e dai programmi (sapere da insegnare), per adattarli alla

propria classe: livello degli allievi, obiettivi perseguiti. La trasposizione consiste nell’estrarre un

elemento di sapere dal suo contesto per ricontestualizzarlo nel contesto sempre singolare della

propria classe.

Tutto il triangolo è incentrato sulla relazione insegnante-allievo e Chevallard sottolinea come

bisogna differenziare due tipologie di saperi.

Da un lato abbiamo un sapere con S maiuscola che rappresenta un sapere epistemologico, il sapere

disciplinare, formale, rigoroso, oggettivo, completo, rispetto a tutto quello che ha a che fare con il

pensiero matematico; dall’altro lato abbiamo un sapere con la s minuscola, ovvero un sapere più

piccolo in relazione al grado scolastico, al contesto e al bambino con il quale si lavora. Questo

perché ognuno di noi ha un proprio sapere personale ed è per questo compito dell’insegnante

tenerne conto e adattare la didattica anche alle singole esigenze e ai bisogni della classe.

I poli riguardano la relazione insegnante-allievo la quale fa riferimento all’aspetto psico-pedagogico

(di cui si occupa la didattica generale); la relazione insegnante-sapere che fa riferimento al Sapere

con la “s” maiuscola, cioè al sapere epistemologico, il quale è composto da saperi più piccoli. Il

docente sceglie, poi, quanti e quali di essi vanno portati in classe in base al contesto in cui si lavora

e al grado scolastico; la relazione sapere-allievo la quale fa riferimento a ciò che l’alunno sa già

prima di entrare in classe; dunque, in nessun grado scolastico si parte totalmente da zero.

L’insegnante non deve ignorare questo sapere ma, anzi, lo deve tenere in considerazione durante il

suo lavoro: deve potenziarlo e non annullarlo.

• Esistono due tipi di percorso didattico:

1) per scoperta; Il bambino vive le cose con il proprio corpo quindi non si deve, per esempio,

impedire ad esso di toccare l’oggetto che sta contando: quando sarà pronto smetterà di farlo

spontaneamente).

2) per potenziamento; È possibile proporre l’addizione alla scuola dell’infanzia ma in termini non

troppo formali e rigorosi. La terminologia corretta va presentata; magari, però, al posto di usare il

termine “segmento” sarà meglio utilizzare il termine “trattino”). In più, è meglio far parlare spesso i

bambini.

L’ABACO COME ARTEFATTO PER LA SCOPERTA DEL NUMERO ALLA SDI E ALLA SP.

L'abaco è uno dei migliori strumenti di calcolo utili per accompagnare i bambini alla scoperta del

numero, utilizzato come artefatto per effettuare operazioni matematiche.

L’artefatto è un qualsiasi oggetto modificato in modo opportuno al fine di essere trasformato in uno

strumento utile per l’apprendimento matematico o per la scuola dell’infanzia protomatematico. Con

il termine artefatti, quindi, si fa riferimento a quegli “oggetti” che servono ad aumentare l’efficacia

di un’azione al fine di ottenere un determinato risultato.

L’abaco è uno strumento formato da una tavola di legno chiamata base, su cui si incastrano delle

aste, chiamate "guide". Lungo le guide possono essere inserite delle palline, dette "calcoli", che

avranno colori di