Temi Didattica della matematica

ADDIZIONE E SOTTRAZIONE ALLA SCUOLA PRIMARIA: APPROCCI ED ESEMPI

All'interno dell'insegnamento della matematica è possibile individuare quattro diversi approcci, sullo stesso piano di rilevanza, che si legano all'acquisizione del concetto di numero naturale. È importantissimo che l'insegnante sia in grado di utilizzarli in modo parallelo e gradualmente, senza trascurarne nessuno, in modo da riuscire a fornire al bambino una visione completa del quadro di base. I quattro approcci sono:

1. Approccio cardinale, all'interno del quale il numero rappresenta la cardinalità di un insieme, ovvero la quantità di oggetti inseriti all'interno di un insieme. Grazie a questo approccio scopre che il conteggio di questi elementi è invariante rispetto all'ordine. L'operazione dell'addizione, ovvero la somma tra due numeri, secondo l'approccio cardinale non è altro che l'unione tra i due insiemi, i quali

non devono però avere intersezione ma devono essere disgiunti. Ad esempio:

A = (a, b, c)

B = (d, e, f)

AUB = (a, b, c, d, e, f)

Posso eseguire anche la sottrazione con l'approccio cardinale, in questo caso per eseguirla devo considerare tutti gli elementi di A che non appartengono all'insieme B. Dunque, A/B = (a, b, c). Dobbiamo ricordarci che la sottrazione non è commutativa.

Posso anche eseguire l'operazione della moltiplicazione secondo l'approccio cardinale attraverso il prodotto cartesiano, ovvero ad ogni elemento di A collego ogni elemento di B e viceversa.

Posso eseguire anche la divisione, ad esempio se ho sei margherite all'interno di un insieme e devo dividerle a due bambine, ad ogni bambina collego una freccia con la margherita, in modo da dare tre margherite a ciascuna bambina. Il disegno sarà uguale a quello della moltiplicazione in quanto la divisione è l'operazione inversa. Il primo approccio alla divisione secondo

L'approccio cardinale è la divisione per ripartizione.

L'approccio ricorsivo ha come concetto fondamentale le successioni e le regole che consentono la costruzione delle successioni stesse. Ricorsività significa che 2 non è altro che il risultato di 1 più 1 e che dunque ogni numero viene dopo il precedente con l'aggiunta di 1. Il concetto matematico che sta dietro questo approccio è l'ordine ma con l'aggiunta della ricorsione, ovvero sulla possibilità di andare sempre avanti di una unità (+1) o anche aumentando le unità da sommare ma a condizione che queste siano sempre ripetute (+2, +2...).

Un esempio pratico per eseguire le operazioni di addizione e sottrazione utilizzando l'approccio ricorsivo potrebbe essere ad esempio la costruzione di una semiretta orientata. Si parte da 0 e aggiungendo sempre una unità al numero si va avanti sulla semiretta 1, 2, 3...

può tornare indietro sottraendo invece una unità. L'approccio ricorsivo nella moltiplicazione guarda esattamente alle medesime strategie dell'approccio ordinale con l'unica differenza è che nella moltiplicazione non si raccolgono i saltelli, ma si guarda a questa solo come addizione ripetuta. Viene messa naturalmente in evidenza la ricorsività del +1. L'approccio ricorsivo nella divisione guarda esattamente alle medesime strategie dell'approccio ordinale con l'unica differenza è che nella divisione non si raccolgono i saltelli, ma si guarda a questa solo come sottrazione ripetuta. Viene messa naturalmente in evidenza la ricorsività del -1. L'approccio ordinario è molto simile all'approccio ricorsivo ma cambiano le etichette assegnate ai numeri in quanto questi non saranno più denominati uno, due, tre ma primo, secondo, terzo... Con questo approccio posso eseguire.l'operazione di addizione sfruttando, ad esempio, i movimenti fisici del bambino. Basterà porre dei cartoncini per terra e dire al bambino di dispostarsi sul primo cartoncino oppure di andare avanti di due cartoncini, arrivando così al terzo. Posso eseguire la sottrazione utilizzando sempre questo metodo, ad esempio chiedendo al bambino di partire dal quarto cartoncino e arrivare al secondo... Con questo approccio posso eseguire l'operazione di moltiplicazione e divisione sfruttando, ad esempio, i movimenti fisici del bambino. Basterà porre dei cartoncini per terra, partire dal numero primo della lista e fare due saltelli in avanti in un passo, facendo così un'addizione ripetuta, ovvero la moltiplicazione. La divisione nell'approccio ordinale è vista come sottrazione ripetuta, come la moltiplicazione ma invece di fare saltelli in avanti li faccio indietro. 4. L'approccio geometrico è profondamente diverso dagli altri, il viene

Ora visto come dimensione di qualcosa, una dimensione che il bambino controlla. L'utilizzo dell'approccio geometrico permette di rendere evidente quello che può essere l'utilizzo del numero, agganciato ad un contesto reale. Attraverso l'utilizzo dei regoli posso eseguire l'operazione di addizione, ad esempio prendo il regolo da 2 e metto accanto il regolo da 1, per stabilire che il risultato è 3 pongo il regolo da 3 sotto/sopra il regolo da 2 e da 1 e vedo che combaciano. Attraverso il gioco dei regoli posso già fare comprendere al bambino la proprietà commutativa.

Posso eseguire anche la sottrazione allo stesso modo, prendo ad esempio un regolo da 5 e uno da 3, chiedo al bambino cosa manca per completare il regolo da 5, ovvero il regolo da 2. Attraverso l'utilizzo dei regoli posso eseguire l'operazione di moltiplicazione e di divisione. La moltiplicazione si può proporre in due modi, o legata all'addizione

ripetuta quindi ad esempio se devo fare 3x2 metto accanto due regoli da 3; oppure 3x2 in geometria potrebbeveicolare l'immagine di un rettangolo di lato 3 e 2, quindi, la moltiplicazione sarebbe l'arealegata a questo rettangolo (metto un regolo da 3 in verticale e un regolo da 2 in orizzontale,vado a riempire il vuoto con i regoli da 1, ne serviranno appunto 6). Posso eseguire anche ladivisione utilizzando i regoli, ad esempio, se devo fare 6 diviso 2 prendo un regolo da 6 evedo quanti regoli da 2 mi servono per riempire quello da 6.

IL CONTRATTO DIDATTICO: ASPETTI TEORICI ED ESEMPI.

Il contratto didattico è un costrutto teorico utilizzato per descrivere i rapporti, che spesso in modo inconsapevole, si creano in una classe tra l'insegnante e gli allievi. Il primo ha il compito istituzionale di insegnare matematica agli allievi, organizzando attività in classe finalizzate al raggiungimento di questo scopo; gli allievi devono adeguarsi a quello che

L'insegnante presenta in classe. Brousseau definisce allora il contratto didattico come quell'insieme dei comportamenti dell'insegnante che sono attesi dall'allievo e l'insieme dei comportamenti dell'allievo che sono attesi dall'insegnante.

In una situazione didattica preparata e realizzata da un insegnante, l'allievo ha generalmente come compito quello di risolvere un problema matematico che gli viene presentato. La risoluzione di questo problema avviene attraverso un'interpretazione delle informazioni fornite e degli obblighi imposti che sono costanti del modo di insegnare dell'insegnante. Queste abitudini dell'insegnante attese dall'allievo ed i comportamenti dell'allievo attesi dal docente costituiscono il contratto didattico. Spesso queste attese sono però del tutto implicite, sono dovute alla concezione della scuola, della matematica e sono progressivamente costruite nel corso dell'azione didattica.

in relazione ad azioni abituali che l'insegnante compie in classe. Ad esempio, se l'insegnante di solito interroga gli studenti sempre nello stesso giorno, ad esempio il lunedì, è possibile che nell'allievo si crei la convinzione che, da quel momento in poi, sarà sempre così. Qualora l'insegnante un giorno non dovesse interrogare il lunedì, l'alunno potrebbe giudicare questa mancanza come ingiusta o inopportuna in quanto non rientra nel sistema di accordi impliciti che crede di aver stipulato con l'insegnante.

La problematica del contratto didattico nella didattica della matematica risiede nel fatto che le prestazioni matematiche sono molto varie, a volte occorre ricordare, altre volte riflettere, altre volte ancora progettare, e quindi la scelta del comportamento più adatto in ogni circostanza è impegnativa, con il rischio che l'allievo si interroghi non su "cosa conviene fare" ma su

"cosal'insegnante si aspetta che io faccia". Un esempio pratico del contratto didattico e della sua rottura è il famoso problema dell'età del pastore. "Un pastore ha 12 pecore e 6 capre. Quanti anni ha il pastore?". Questo problema, presentato ad una classe di scuola primaria, fa emergere il ruolo fondamentale del contratto didattico. La classe, con sicurezza, risponderà che il pastore ha 18 anni. Questo perché i bambini non sono mai stati abituati in classe a risolvere problemi senza soluzione; dunque, i bambini avevano introdotto nel contratto didattico una regola in base alla quale, se viene proposto un compito questo deve per forza avere una soluzione. Inoltre, poiché vi è l'idea che i dati numerici presenti nel testo vanno presi tutti e possibilmente nell'ordine in cui compaiono, i bambini hanno spontaneamente usato gli unici due numeri dati dal problema per arrivare all'età del pastore,

hannoinfatti sommato il 6 e il 12.

E’ nella rottura del contratto, cioè in ciò che non può comparire come condotta esplicita (le attesespecifiche dell’insegnante), piuttosto che nell’adeguamento alla ripetizione di modalità, che sirealizza l’apprendimento. La rottura del contratto consiste nel fatto che ciò non rientra nellanormale prassi didattica, nelle “abitudini” dell’insegnante; la consapevolezza dell’impossibilità dirisolvere il problema, corrisponde infine alla conoscenza cui l’azione didattica mira. Quindiammettere che il problema non ha soluzione significa farsi carico, da parte dell’allievo, della rotturadel contratto didattico, cioè ammettere che le sue regole sono cambiate e far evolvere, adeguandolaalla nuova situazione, la propria conoscenza. È necessario dunque, anche proporre variazioni, casiparticolari, esempi nuovi e interessanti (magari semplici, o

comunque suscettibili di risoluzione elementari) che possano stimolare la creatività dell'allievo. Brousseau è un maestro il quale