Temi d'esame svolti - Numerical methods for civil engineering

ES1

Exercise nr. 1.01 (Points). Consider the structure in the figure. The structure is plane strain.

Other nodes on the bottom and vertical edge are on a roller while the base is grounded (i.e., u₂ = 0).

Use theto construct a mesh with maximum edge size equal to 0.2 and 0.02, i.e., to solve the following questions:

(b) Solve the elasticity problem with the pair and use the 2D planar with units on

the displacement and the force components for the nodal restored constraint. Compute the

theoretical intersecting of the results on the basis of the geometry of the problem, the constraints,

plot applied loads and the plot. (5 points) .

A (0 ;1 ;2 ,5)

paura ... multitudine ... esprassa ... uscita (2 ;(2 ;2 ;2) rededo punti nella parte

3.3 una nuova curva di riflettere ormai con quondons.

... della rexe ... ....peuto motico 3 ...nella classe delle

fudellefax corron gliote ...oricetitura ...asuma defunire canatura ...buon

(c) Carry outthe of method reconde by a vertex

{max i,j} = max |bS (u,w)| = 0.0853 ∀ more again the cornalia

A- (max .... ( u )) - c ,

1,0 = minuese.. obbyside pelun "c4 (?) - ... x = 6 and upon these bestor 5,pare

( - P ) z ...

Sum ( R_x ) | Sum ( R_y )

Analistioment inte obliged:

div B + f_e = 0

ft orotalt of cushwt ...

Tema d'esame 06/02/2021

Esercizio n°2

Esercizio n°1 (13 Points). Consider the structure in the figure. The values of a and b are 10 and 5, respectively. The vertical load is M₂ = 1/2 b x qf and M₂ = 6 x 10³, p_ext = 1.5 x 10⁴, p_out = 2.1000. The volume force is f equal zero. The value of the Young modulus is E = 2000.

Save g.figlio.mat - > Compute mat CURRENT FOLDER una fila de protone de progetto -> dispogata -

Numeri dai lati mi cercano perienne per per le ostruzioni -> costituare perie...

(c) Set v = 0.3 and solve the elasticity problem with the A, B, F, P pair in the case of plane stress condition. Draw in the xy plane with units on both axes the mode shape configurations separated by the undeformed structure. Comment the mechanical meaning of such modes in terms of the geometry of the problem, the constraints, the applied loads and the value of v (3 points).

Dati su precisione = PIANE STRESS -> empirica - - altre parola & FI.E1.S.m - P=0.3 -> ne sotto nuova -> RIGA 4 FILE es - new E=10.000.0 " " " " " 3/3 ? -> ne colonne nuova scritte in - RIGA 5/6 fi re esercatrice chi - FILE E1.S.m -

RIGA 4-5

su uni kiu de -> incurvate protome turno -> sciure Riga 9 & nome tali numeri plurali sui lati - ne punto dentro - - Riga 10/ES -

DIRICHLET -> INCASTRI o COIDENTI (-1) da stanza NEUMANN -> PRESSIONI o SP. SCARTE (-2) do di rei.

Lati 1 2 3 4 BK -1 -2 -2/3 -1

Considerazioni

Nel caso del poligono... riemp 33 linee tra = 1

Dentro delle ripetizioni vediamo più il numero di rip... infinito riceviuto

(Vo max / r)_a oops

Per le soluzioni vengono fuori le variabili più importanti...

OSPEDARIO: LA COPPIA P - P₁ NON DOVISITA L’ESSO CONTAROIL, CONFORNO AL...

Basiamo primo: diventa 1 al un numero

oppure scopare come la = i = 1

P₁ niv ; |p | - mxVo (u,v) = 10,706 : p = 0

P₂ niv ; |p | - mxVo (u,v) = ~76,1866 : p = 1

Concetti degli elementi P₁, P₁' elementi P₁<0... sono qui (inizia): sono pure offside.

S'include un'altra volta sotto riferimento al box mei... none esas pagnovo cultre.

APPATQUA ET Pi-P3 :

Ancora riprodosap ET 2... comintione di x...sonomi... Ripdos dopo: ma 10 Restrinono la pressura x

Le forquale' - P₂ - diventa capacibilita: 2 è il caputabilirt 3 calucarlo + axis(Laga) oops parlaiva 'na statuto delle solimine >x con :: se... reso di velo, nemuno... nessa sopra spa: Alcuna procorne ; la moda s'annuncio o...:

• Gra... scop...
• 3... sono buono, il let... a se qui quando socendo...
• Gon... pubinarie pivdona... in também rese piùzzia al scopbutt

Lel forth o invitatos con few le :

The maximum tension stress is excited when solving the tensile part. However, the maximum value of compression stress is situated at the end of the trapezial edge in the zone Z=3 and 8-5. This portion is the most sheer during the loading.

Test on the value of P oscillate and don’t converge.

The radius of tension and compression reached aren’t admissible and are too high to the expect of real values. The coupled pressure field is affected by numerical interpolation (oscillations) because P1-P2 for pure does not satisfy LBB compatibility condition. Wiggles (oscillations/oscillation) are clearly visible.

• P2-P1 element:
  • Continuous kinematic velocity
  • Continuous kinematic pressure
  • NO LBB conditions
  • Quadratic convergence (quadratic/linear triangles)
• P1-P1 element:
  • Continuous kinematic velocity
  • Continuous kinematic pressure
  • NO LBB conditions
  • Quadratic convergence (linear/linear triangles)

P1-P3 is CBB condition about stability.

under the same conditions, we also have:

||u - u_h||_L²(x) ≤ C h² |||| ||u||₂

1. Si scriva il teorema di base di grado r + 2 commutato, da cui sotto x stabile di Gr ci si deduce la prima condizione di convergenza del metodo per convergere con x indicatori per partite rigolari. Lascia per più out della condizione di metodo con condizioni ampie s → 2. ∀u ∈ H¹(3), s ≥ 2. ∀ ||u - u_h||, s significante ≤ E _{(N) &lesup; 1> ||uh||32}

There is now a convenience in using high-order polynomials (n-replacement) to increase the optimization accuracy, when the regularity of f per cv best results in means.

Test trade-off between efficiency and computational effort for a given solution be utilizing

||u - u_h||₂ ≤ ||u - u_h||₁₂

Note of a Sobolev Function f

p ∫ ||f||₂(x) = (∫ (f²)dx)^1/2

Cauchy-Schwarz tat ∫ s4, fab? ∈ L²(x): ∫ |f^⋅g ^⋅ dx scal t4 | ≤ ||f||₂ · ||g||₂

Poincaré

dato (a, b), ∃, opp b-a, inizio f = c⁰ che dipende sole dall'ampiezza dell'assemblea Cp = a _b che è ∫ ||f||₂(x) ≤ Cp ||f||^b(x) ∀ f ∈ H¹(3)

Calorimetro F

rettitudine vettore di Λ > vero (perché Λ )

t.c.;              C ≤ √Σ ≥ A ≤ B ⇒ minima &quad; su           &Quad;&Now;

Formule daddotiglia e profitto del τΞ:

Int  Σ• ⇒ &to;∗⊕