Telecomunicazioni (parte 3)

Trasmissione di segnali e recupero della frequenza

Per il valore 1 trasmetto +V per il primo semi-intervallo e -V per il secondo, viceversa per lo 0. Le transizioni si hanno a metà intervallo e ogni volta che si presentano bit uguali. f₀ è sempre recuperabile, ma nell'origine non è presente una delta di Dirac, quindi per il recupero di f₀ non è sufficiente un filtro a f₀, ma servono soluzioni più sofisticate.

Ortogonalizzazione di Gram-Schmidt

Genero segnali ortonormali partendo da segnali generici: s₁ e s₂ sono ortogonali se ∫s₁(t)s₂(t)dt = 0. Sono anche ortonormali se E_i = ∫s_i²(t)dt = 1. Si hanno M forme d'onda S_m(t) con 1 ≤ m ≤ M e si costruisce un insieme di N ≤ M forme d'onda ortogonali, che costituiranno la base, per rappresentare le M precedenti.

1. Il primo elemento della base sarà: Ψ₁(t) = s₁(t)/√E₁ (energia unitaria).
2. Il secondo elemento si calcola trovando la proiezione di s₂(t) su Ψ₁: c₂₁ = ∫s₂(t)Ψ₁(t)dt → è la parte di s₂(t) già rappresentata da Ψ₁(t). Si ottiene il segnale d₂(t) = s₂(t) - c₂₁Ψ₁(t), che è ortogonale a Ψ₁, perciò la seconda forma d'onda ortogonale risulta: Ψ₂(t) = d₂(t)/√E₂ con E₂ = ∫d₂²(t)dt.

Per il valore 1 trasmetto +V per il primo semi-intervallo e -V per il secondo, viceversa per lo 0. Le transizioni si hanno a metà intervallo e ogni volta che si presentano bit uguali. f₀ è sempre recuperabile, ma nell'origine non è presente una delta di Dirac, quindi per il recupero di f₀ non è sufficiente un filtro a f₀, ma servono soluzioni più sofisticate.

Ortogonalizzazione e rappresentazione geometrica

Genero segnali ortonormali partendo da segnali generici: s₁ e s₂ sono ortogonali se ∫s₁(t)s₂(t)dt = 0. Sono anche ortonormali se E_i = ∫s_i²(t)dt = 1. Si hanno M forme d'onda S_m(t) con 1 ≤ m ≤ M e si costruisce un insieme di N = M forme d'onda ortogonali, che costituiranno la base, per rappresentare le M precedenti.

1. Il primo elemento della base sarà: Ψ₁(t) = s₁(t) / √E₁.
2. Il secondo elemento si calcola trovando la proiezione di s₂(t) su Ψ₁: c₂₁ = ∫s₂(t)Ψ₁(t)dt. Si ottiene il segnale d₂(t) = s₂(t) - c₂₁Ψ₁(t), che è ortogonale a Ψ₁, perciò la seconda forma d'onda ortonormale risulta: Ψ₂(t) = d₂(t) / √E₂.

Generalizzazione della procedura

La procedura va ripetuta per tutti i segnali S_m(t). Il numero di N (elementi della base) sarà uguale a M se gli M segnali S_m(t) sono linearmente indipendenti, cioè N = M se segnali ortogonali.

Rappresentazione geometrica

Una volta costruito il set di forme d’onda ortogonali (Ψ_k(t)), gli M segnali possono essere espressi come combinazione lineare delle funzioni della base, dove (proiezione di S_m(t) su Ψ_k(t)).

Le proprietà del segnale possono essere ricavate, indifferentemente, dalla conoscenza diretta del segnale o dei parametri della sua rappresentazione. In un sistema di trasmissione numerico, ciascun segnale S_m(t) (detto simbolo) può essere associato alla trasmissione di k = log₂M bit. Ciascun simbolo avrà quindi durata T = kT_b.

Esempi di spazi N-dimensionali

• N=1: M-PAM (Pulse Amplitude Modulation)

Lo spazio è unidimensionale (n=1), quindi si usa una funzione di base. Una possibile distribuzione dei punti (costellazione) può essere: d, quindi i segnali S_m(t) avranno energie diverse (ampiezze diverse). L'energia media della costellazione è: E_av = 1/M ∑_m=1^M E_m = E_g/M = ∑_m=1^M A_m².

• 2 PAM: M=2 → log₂2 bit = 1 bit → Si associa il bit 1 e 0 alle forze d'onda.
• 4 PAM: M=4 → log₂4 bit = 2 bit (00 → S₁(), 01 → S₂(), 10 → S₃(), 11 → S₄()) → Diminuire la banda.
• Per M=8 → 3 bit, quindi rende la banda di 1/3.
• M=16 →