Tecnica delle costruzioni

REQUISITI:

Le PRESTAZIONI, soprattutto per quanto riguarda l’analisi della

sicurezza, sono condizionate dalle caratteristiche dei materiali con i

quali la struttura è realizzata. La struttura è definita dalla sua

geometria e dai materiali che la compongono. Ovviamente i

materiali scelti influenzano la geometria della struttura e viceversa

Per giungere al corretto dimensionamento occorre:

• definire le azioni nei confronti delle quali si definiscono le

prestazioni

• mettere a punto un modello (schema) di valutazione

• effettuare delle operazioni di verifica

IL CALCOLO DELLA STRUTTURA

Le grandezze introdotte nel processo di valutazione sono grandezze

incerte perché non definibili in maniera assoluta. Le maggiori

INCERTEZZE sono:

• nei materiali per la dispersione dei risultati relativi alle resistenze

e alle prestazioni in generale

• nelle azioni: per la loro variabilità, in termini di posizione,

estensione e valore

• nel modello di calcolo: che, anche se raffinato è in grado di

cogliere solo in modo approssimato l’effettivo comportamento della

struttura reale.

Minori sono le incertezze sulla geometria della struttura (di solito

trascurate a parte nei problemi di stabilità)

In alcuni casi (ad esempio, terremoti), oltre alle incertezze ed alle

dispersioni proprie del fenomeno, in fase di calcolo si introducono

ulteriori errori legati alle imprecisioni nel modello matematico con il

quale descriviamo l’evento.

L’unica soluzione è quella di aumentare i margini di sicurezza,

ovvero la distanza tra la situazione attesa e quella critica.

Le opere e le componenti strutturali devono essere

• Progettate

• Eseguite

• Collaudate

• Soggette a manutenzione

in modo tale da consentirne la prevista utilizzazione, in forma

economicamente sostenibile e con il livello di sicurezza previsto

dalle presenti norme

IL METODO DELLE TENSIONI AMMISSIBILI

La valutazione della sicurezza è affidata ad un controllo del solo

stato tensionale. Si confronta la tensione massima puntuale in ogni

sezione con un valore ammissibile, ottenuto di solito dal valore di

rottura del materiale ridotto attraverso un coefficiente di sicurezza

A fronte di una indiscutibile semplicità di applicazione, il metodo

delle tensioni ammissibili è soggetto ad alcune critiche:

1. È impiegato un unico coefficiente di sicurezza, apparentemente

molto elevato. Psicologicamente, questo comporta che le diverse

figure responsabili della realizzazione dell’opera siano propense a

pensare di poter disporre di ampi margini di sicurezza, tutti a

proprio esclusivo vantaggio

2. L’ipotesi di comportamento lineare elastico del materiale

comporta che lo stato di tensione al quale si fa riferimento nelle

verifiche possa essere non corretto poiché le tensioni locali risultano

fortemente dipendenti dalla presenza di deformazioni anelastiche,

dalla presenza di fessure e dai fenomeni di tipo reologico.

3. La verifica puntuale delle tensioni sulla sezione non da una

misura del coefficiente di sicurezza reale della sezione o della

struttura. Ovvero, il metodo non garantisce il proporzionamento più

conveniente nei riguardi della sicurezza della sezione o della

struttura.

La duttilità è importante perché:

• fa sì che una struttura arrivi a rottura con deformazioni (plastiche)

importanti, fornendo una sorta di preavviso nei confronti del

collasso

• riduce i problemi legati all’instabilità

• nel caso di azioni cicliche (ad esempio durante un terremoto)

fornisce una fonte di dissipazione di energia

Nel calcolo a rottura:

• si possono mettere in conto eventuali fenomeni non lineari ed

anelastici

• si riesce a dare una valutazione corretta della sicurezza ultima di

situazioni strutturali complesse

• si tiene in conto del calcolo in campo plastico e quindi si considera

che una struttura arriva al collasso con un meccanismo di

«ridistribuzione» degli sforzi

• riproduce le evidenze sperimentali

Di conseguenza le normative più moderne si basano:

1. su un approccio probabilistico di base, nel quale (principalmente)

le azioni e le caratteristiche dei materiali vengono assunte come

variabili aleatorie

2. sulla identificazione di obiettivi prestazionali diversi che la

struttura deve soddisfare (non solo la resistenza quindi, ma anche

la stabilità, la duttilità, la durabilità, etc.)

3. sulla quantificazione di un livello di rischio ritenuto accettabile,

variabile in funzione della diversa prestazione richiesta

LA SICUREZZA STRUTTURALE

Approccio Probabilistico

La sicurezza si misura attraverso la probabilità che la struttura

raggiunga il collasso oppure con la probabilità che esca dalle

condizioni richieste di servizio. Per il calcolo della probabilità,

normalmente molto complesso, si identificano usualmente tre

diversi livelli per l’applicazione dell'approccio probabilistico

all’analisi della sicurezza, ossia Livello I, II e III, con grado di

complessità crescente.

Identifichiamo la sicurezza con il confronto tra le azioni applicate S

(«Sollecitazioni») e la capacità di prestazione R («Resistenze»),

verificando che sia � ≤ �

La struttura sarà tanto più sicura quanto più la probabilità che la

sollecitazione sia superiore o uguale alla resistenza sarà piccola

����� = � � ≤ � = �� Probabilità di collasso

Ovviamente il grado di sicurezza è offerto dalla probabilità

dell’evento complementare

� � ≤ � = 1 − � � ≤ � = 1 – �� Probabilità di successo

Perché una struttura possa essere ritenuta sicura, occorre che �� sia

inferiore ad un limite ���� prefissato

Il valore di ���� dipende non soltanto da motivazioni tecniche, ma

anche da valutazioni politiche e socio-economiche.

• In termini tecnici, si dovrebbe adottare un valore più basso

possibile, per tenere alto il livello di sicurezza delle costruzioni

• In termini politici, il possibile collasso di un edificio ha un impatto

mediatico sull’intera società talmente alto che tende ad amplificare

significativamente le conseguenze dirette, seppur gravi,

dell’evento; sarebbe opportuno scegliere un valore tendente a zero

(o uguale a zero, come si sente spesso erroneamente dire)

• In termini economici, deve essere ricercato un compromesso tra

obiettivo e costo per raggiungerlo: man mano che si abbassa il

valore di ���� si richiede una prestazione maggiore alla struttura e

quindi sarà necessario un costo maggiore per costruirla; poiché il

settore delle costruzioni è economicamente importante, non è

possibile definire il livello di rischio accettato senza considerare

opportunamente le condizioni economiche e di sviluppo del Paese in

questione

Le uniche variabili aleatorie siano la resistenza R e la sollecitazione

S. Inoltre, tali variabili siano note dal punto di vista probabilistico e

indipendenti

• La rottura avvenga nella sezione di incastro, nella quale il

momento è massimo(a)

• R → MR (momento resistente nella sezione di incastro, aleatorio

per la variabilità della resistenza del materiale); S →MS = ql2/2

(momento sollecitante, aleatorio a causa di q)

Dato un valore s di S, occorre valutare la probabilità che la

resistenza R sia minore

rappresentata dall’area evidenziata in grigio. Il risultato rappresenta

la probabilitàà̀ di collasso della mensola se si suppone di conoscere

in modo deterministico la variabile S, ovvero se si suppone che la

variabile S possa assumere unicamente il valore s. Ma se la

variabile S è assunta aleatoria, occorre considerare tutti i suoi

possibili valori

Sono pochi i casi in cui l’integrazione è possibile, perché sia i

termini R sia i termini S dipendono in generale da molti fattori e

quindi le grandezze in gioco sono vettoriali. Esistono in generale

metodi numerici per risolvere il problema del calcolo di � � ≤ �: tra

questi metodi si possono citare quelli di simulazione nei quali si

replica un gran numero di volte l'evento di cui si vuol calcolare la

probabilità di accadimento. Tra i metodi di simulazione il più

semplice e il più diffuso è il cosiddetto metodo Montecarlo.

In termini generali introduciamo una funzione limite G dipendente

dal vettore di variabili aleatorie (o eventualmente processi

stocastici) che riguardano la struttura, �1, �2, …, ��. Tali grandezze

possono caratterizzare la risposta R e/o la sollecitazione S. La

condizione � = 0 nello spazio a � dimensioni definisce una

superficie definita superficie di collasso

Nel metodo Montecarlo si introduce una funzione �, la funzione

indicatrice, che assume valore nullo per i valori del vettore � per cui

� è positiva e il valore unitario per quei valori di � per cui la

funzione assume valori negativi. Di fatto, � vale 1 in � e 0 altrove.

Utilizzando la funzione integratrice l'integrale può essere esteso a

tutto lo spazio ℝ� di definizione di �, senza dover individuare prima

la parte dello spazio in cui � è negativa.

È facile intuire che l’integrale può a questo punto essere

approssimato dal rapporto tra il numero delle volte �� in cui

ripetendo l'esperimento esso ha dato esito negativo (ossia si è

ottenuto � ≤ 0) e il numero totale � delle prove eseguite

METODI DI II LIVELLO

Limitando l'attenzione al caso di due variabili aleatorie � e �, se si

suppone che entrambe abbiano distribuzione normale, la funzione �

= � − � ha ancora distribuzione normale. Nell'ipotesi che esse

siano anche non correlate la media e la deviazione standard di �

sono date dall'espressione

METODI DI I LIVELLO

Anche i metodi di II livello sono troppo impegnativi per una

progettazione corrente. Si cerca quindi di semplificare il problema

introducendo il cosiddetto I livello. Si può sfruttare un’osservazione:

la probabilità di collasso è tanto più bassa quanto più distanti sono

le funzioni di densità di probabilità delle variabili S e R

Per far sì che queste curve siano sufficientemente distanti è

sufficiente imporre che un valore della resistenza corrispondente ad

un basso frattile �� sia superiore ad un valore della sollecitazione

�� corrispondente ad un elevato frattile.

La verifica strutturale si ritiene soddisfatta se è verificata la

relazione:

La sicu