Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
vuoi
o PayPal
tutte le volte che vuoi
LE SUCCESSIONI
Definizione:
Def. Una successione numerica è una funzione
s: N (insieme)= R
n->an
tipo di recursione condizionata
Im s(t) e l'immagine {an}
Notazione:
Una successione numerica si indica {an}
oppure:
- {an} n∈N
- {an}
- {an}
Esempio:
- {3} n∈N successione costante
- {n+4} successione aritmetica (a, a+2, ...)
- {n^2+x}
- {1/n}, {1/(n-a)} esempio: {an=1/n -> 1; 1/2; 1/3 ...}
Utilizzazione
{an}
o a1
. a2
. a1
an = ((-1)n)/n
a1 = -1a2 = -1/2a3 = -1/3
Definizione di limite.
Def. Diciamo che posso quantificare e mi metto in un intorno di 0.
Primo 0per tutti gli an stanno qui dentro
Diremo che
lim an = a
n → +∞
se ∀ ε > 0 ∃ n ∈ N t.c. n ≥ N, | an - a | < ε
spieghiamo
⇒ - ε < an - a < ε quindia - ε < an < a + ε
e ε ∈ ℕ/2
Questo non è vero per il disegno mostrato:
[-∞]
0
[x/ε] ≠ [-∞]
(-1) + α l c < ε/12
([-x] + α l c < ε/12
+ x a c + ε/12 10, assurdo
Definizione o (equivalente a quella del limite nel testo degli occupanti tecnici).
Lim x → 0 a[n] = 0
∀ε>0 ∃N>0 : N > 0 t.c. ∀n>N, |a[n]-a| < ε*c
È evidente per che cosa
cosa aggiungo?
Claim: se volere o omega 0 (x≠):
Guida, basta prendere c*ℵ
se volere o (ε/12):
porto qualunque ≥0 ∃N=ℕ e t.c. per
∀n>N, |a[n]-a| < ε/Ω sapendo che volere o,
fisso ε >0 ∃ ε, ε/ε(c)c
Sempre grazie a , so che ∃N>0 t.c.:n>NN,
Sarò
dunque 0 è vera.
Dimostrazione
An - a ≤ εBn - b ≤ ε
Dunque ∃ N ≤ max {N1, N2}, ossia |(an + bn) - (a + b)| ≤ |(an - a)| + |bn - bn > N
Dimostrazione AnBn = ab
Come primo caso vogliamo dimostrare che usiamo che le ipotesi Hp N = max {N1, N2} |anbn -ab| = |anbn - abn + abn - ab| = |an(an-a) + a(bn-b)| ≤|an| |bn-b| + |bn||an-a|∃
Dimostrazione An / Bn = a / b
Regione come prime e caso di dimostrazione che | an / bn - a / b | ≤ | anbn - abn || | an(an-a) + b(n-an) |
Guardare de numeratore|anb - abn| = |anb - abn + abn - abn|≤|an(an-a) + bn(an-a)| ≤ 2c ε
Lemma: | an | → 0
se an → a
- ( an - a = 0 )
- → | an | → 0
dim.
- ∀ε > 0 ∃ N t.c. n > N ⇒
| an - 0 | < ε
| an | < ε
- ∀ε > 0 ∃ N t.c. n > N ⇒
| an | < ε | an | < ε
Teorema: an · en → 0
s
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
