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Spazi Vettoriali
Proposizione
Sia W ⊆ Rn l'insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo in n incognite Ax = 0. Allora W è un sottospazio vettoriale di Rn.
Dimostrazione
Siano w, w1, w2 ∈ Rn soluzioni del sistema omogeneo, ovvero Aw = 0, Aw1 = 0 e Aw2 = 0.
Sia λ ∈ R.
Vogliamo verificare la chiusura rispetto a:
- la somma:
A(w1 + w2) = Aw1 + Aw2 = 0 + 0 = 0 ⇒ w1 + w2 ∈ W
- il prodotto per uno scalare:
A(λw) = λ(Aw) = λ·0 = 0 ⇒ λw ∈ W
⇒ W è sottospazio vettoriale di Rn □
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