Spazi vettoriali - Dimostrazioni teoremi spiegate

Spazi Vettoriali

Proposizione

Sia W ⊆ Rⁿ l'insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo in n incognite Ax = 0. Allora W è un sottospazio vettoriale di Rⁿ.

Dimostrazione

Siano w, w₁, w₂ ∈ Rⁿ soluzioni del sistema omogeneo, ovvero Aw = 0, Aw₁ = 0 e Aw₂ = 0.

Sia λ ∈ R.

Vogliamo verificare la chiusura rispetto a:

• la somma:

A(w₁ + w₂) = Aw₁ + Aw₂ = 0 + 0 = 0 ⇒ w₁ + w₂ ∈ W

• il prodotto per uno scalare:

A(λw) = λ(Aw) = λ·0 = 0 ⇒ λw ∈ W

⇒ W è sottospazio vettoriale di Rⁿ □