Appunti su spazi vettoriali

2.1 Definiz.

Uno spazio vettoriale V su ℝ è un insieme dotato di 2 operazioni:

• Somma: dati v, w ∈ V, ∃! v + w ∈ V t.c.

  1. (v + w) + u = v + (w + u) ∀ v, w, u ∈ V
  2. v + 0 = v ∀ v ∈ V
  3. ∀ v ∈ V, ∃ -v ∈ V t.c. v + (-v) = 0

• Prodotto per uno scalare: c ∈ ℝ, v ∈ V ⟹ c v ∈ V t.c.

  1. (cd) v = c (dv) = (cd) v ∀ v ∈ V ∀ c, d ∈ ℝ
  2. 1v = v ∀ v ∈ V
  3. (c + d) v = cv + dv e c (v + w) = cv + cw ∀ v, w ∈ V ∀ c ∈ ℝ

(Gli elementi di uno spazio vettoriale sono detti vettori)

Es.

1. V = ℝⁿ = {vett. riga / colonna}
2. V = Mat_ℝ(m,n) // vettori si chiamano matrici //
3. Spazio dei polinomi: ℝ[t] = {polinomi a coeff. reali nella variabile t}
• {f(t)} = a_0t + ... + a_pt^p