Spazi vettoriali, span e rango di matrice

SPAZI VETTORIALI E SISTEMI LINEARI GENERALI

ex. per quali k ∈ ℝ il vettore    

(⁹⁄_{4 - k})

(⁹⁄₄)

(¹⁄₄)

                x = ∇calcolo det. e vedo i valori di k tale che det A ≠ 0.

FOCUS SEZIONE:per quali k ∈ ℝ i tre vettori

(³⁄₁)

(²⁄₁)

(¹⁄₁)

(⁴⁄₁)

(¹⁄₁)

(⁰⁄₁)

(⁶⁄₁)

(⁴⁄₁)

(¹⁄₁)

non giaciano nelle stesse piano?

- Determinare il numero di soluzioni di sistemi non quadrati.

SPAZI VETTORIALI

Definizione: collezione di oggetti (detti vettori) che possono essere sommati e scalati, obbedendo a certe proprietà:

• lo spazio vettoriale ℝⁿ (n=1,2,3,...)

ℝⁿ = {x = (^xi⁄₁) | xi ∈ ℝ vs }somma: x + z = (^x1⁄₁) + (^y1⁄₁) = (^x1+y1⁄₁), ^(x+y)⁄₁prodotto per scalare: α x = α (^xi⁄₁) = (^{α xi}⁄₁) α xiproprietà: commutativa, associativa, distributiva, vettore nullo 0, u-ve α 1, n = 0

Def:

un insieme V si dice spazio vettoriale se in V sono definite due operazioni: somma e prodotto per uno scalare, ed esse soddisfano le proprietà seguenti: per ogni x, y, z ∈ V; per ogni α, β ∈ ℝ:

• COMMUTATIVA x+y = y+x
• ASSOCIATIVA (x+y)+z = x+(y+z), (xβ)α = x(αβ)
• DISTRIBUTIVA (x+y) α = xα + yα, (x + β ) = α x + βx
• VETTORE ZERO 0 + x = x, x + (-x) = 0
• UNO 1⋅x = x, 0 ⋅ x = 0

Δ c'è una proprietà implicata:

• CHIUSURA x+y ∈ V , a⋅x ∈ V

ex. ℝ è uno spazio vettoriale ℝℕ, ℚ, ℤ sottospazi di ℝ ma non sottospazi vettoriali.

Combinazioni Lineari

Def. Siano V uno spazio vettoriale, v₁,..., vₙ ∈ V e a₁,...,aₙ ∈ Rl'elemento a₁v₁+...+aₙvₙ che appartiene a V grazie alla proprietà di chiusura, si chiama combinazione linearedei vettori v₁,...,vₙ con coefficienti o pesi a₁,...,aₙ.

ex. V=R³ v₁=(13) v₂=(32) ∈ R³

α₁v₁ + α₂v₂ = (α₁ 13 ) + (α₂ 32 ) = (α₁+2α₂ 2α₁+3α₂) = (06) (2α₂ = 6 -2α₁) (4α₁ + 6α₂ = 0 - 4α₂)

ex. V=Rⁿ = 3 = 3*1 + 2*2 = combinazione lineare della base canonica

oss. Il generico sistema lineare m * n può essere risolto come combinazione lineare

a₁₁x₁+...+a₁ₙxₙ=b₁ A ∈ Mₘₙ(R) x ∈ Rⁿ b ∈ Rᵐaₘ₁x₁+...+aₘₙxₙ=bₙ

A ∗ x = b (a₁₁...a₁ₙ) (x₁) (b₁) (aₘ₁...aₘₙ) xₘ = (bₘ)

Si dice un nome alle colonne della matrice dei coefficienti A: A¹,...,Aⁿ ∈ Rᵐ

⇒ x₁A¹+...+xₙAⁿ=b

Conclusione: dati A∈Mₘₙ(R) b∈Rᵐ, risolvere il sistema Ax=b significa determinare(se esistono) i coefficienti x₁,...,xₙ ∈ R che rendono la combinazione linearex₁A¹+...+xₙAⁿ=b

Sottospazi Vettoriali

Def. informale: un sottospazio di uno spazio vettoriale è esso stesso uno spazio vettoriale

Def formale: Sia V uno spazio vettoriale. Un sottospazio W⊆V è un sottospazio vettoriale se soddisfa la proprietà di chiusura, cioè ∀ w₁,w₂ ∈ W, ∀ a ∈ R, ∀ w,v ∈ W,Espandimento: se W è chiuso rispetto alle mie combinazioni lineari.

oss. La proprietà di chiusura implica che o ∈ W

Sia W⊆V un sottospazio vettoriale, cioè W chiuso. Volgiamo mostrare che o ∈ W:infatti: dato x ∈ W -1*x = -x ∈ W -> -(-x) = 0 ∈ W → 0 ∈ W

S⊆V e W⊆W → W non è un sottospazio vettoriale.

ex. v₁ = ₃/⁰ v₂ = ₇/¹ v₃ = ₂/⁰

det   _{3 7 2}/^{0 1 0} = 3 - 1 - 2 = 0

Nel caso quadrato (n vettori in Rⁿ)

v₃ = lv₁ + mv₂ ⇔ V = v₁ + v₂ ⇔ v₂ = lv₁ + v₃ => v₂ = lv₁ + v₃

v₃ ∈ Span {v₁, v₂} v₂ ∈ Span {v₁, v₃} v₁ ∈ Span {v₂, v₃}

Span {v₁, v₂, v₃} = Span {v₁, v₂} = Span {v₃, v₂} = Span {v₃, v₁}

Def linearmente dipendenti ⇔ non indipendenti

Def i vettori v₁,...,v_k sono linearmente indipendenti se il sistema lineare x₁v₁ ... x_kv_k = 0

ammette solo la soluzione nulla x₁ = x₂ = ... x_k = 0

cioè nessuno di essi può essere scritto come combinazione lineare degli altri.

OSS in particolare nel caso quadrato V = Rⁿ, k = n v₁,...,v_n,

Basi

Def Det un sotto spazio vettoriale V un insieme B = {b₁,...,b_n} n dove base di V se valgono

entrambe le seguenti proprietà:

b₁,...,b_n sono linearmente indipendenti b₁,...,b_n generano V, cioè V = Span {b₁,...,b_n}

Uno spazio vettoriale V ha tante basi diverse, ma tutte hanno lo stesso numero

di elementi e è la dimensione di V

Teorema "Risoluzione sistemi a scala"

Sia A' ∈ M_m,n(R) una matrice a scala con n pivoti. Allora rango(A') = n, le colonne di A' generano un sottospazio vettoriale di R^m di dimensione n e avente per base le colonne di A' contenenti i pivoti.

Dato b' ∈ R^m il sistema lineare A'x=b':

• se n=m allora il sistema è compatibile ∀ b' ∈ R^m e inoltre
  • se n=m siamo nel caso quadrato già visto, la soluzione è unica (∞⁰)
  • se n > m ci sono ∞^n-m soluzioni
• se n < m allora il sistema è compatibile se e solo se b' ha la forma b' =
  1. 0
  2. b_k
  3. 0
  se b' ha questa forma:
  • se n=m soluzione unica
  • se n > m ci sono ∞^n-m soluzioni

oss A'x=0 è sempre compatibile e inoltre:

• se n=m dim Ker A' = n-m
• se n > m dim Ker A' = 0, cioè Ker A' = {0}

ex

(A|b) =

1. 1 0 1 | b₁
2. 0 1 0 | b₂-b₁
3. 0 0 0 | b₃-b₂+b₁

• Base di A' = {
  1. 1
  2. 0
  }, {
  1. 0
  2. 1
  }

A'x=b' è compatibile ⟺ b' =

1. 0
2. b_k
3. 0

Ax=b ⟺ b₃ - b₂ + b₁ = 0

Fisse k tale che Ax = b sia compatibile. n-r = 2 ⟹ ∞² soluzioni (sistemi equivalenti)

Per b=0 il sistema è compatibile ⟹ inoltre b_x =

1. b_x
2. 0
3. 0

1. 0
2. 0

Ax = b e Aꞌx̄ = b' se b'=b=0 quindi hanno le stesse soluzioni per sistemi omogenei

oss b' per i quali Ax = b è compatibile: b_x̄ =

1. 0
2. b_k
3. 0

Ax = b ⟺ Span{A¹...A^t ± Span{Aⁿ...A^t}}