Geometria - gli spazi vettoriali

Spazio vettoriale

Un insieme V è uno spazio vettoriale su un campo K se sono definite due operazioni:

Operazioni definite

1. Una operazione di somma in V fra elementi di V, cioè: V u,v ∈ V associamo u+v ∈ V

2. Una operazione di prodotto fra elementi di V ed elementi di un campo K che: V v ∈ V, V λ ∈ K associa λv e V

Proprietà

Soddisfacenti le seguenti proprietà:

• L’operazione di somma è associativa e commutativa
• ∃0 ∈ V t.c. V v ∈ V, v+0 = 0+v = v
• ∃-vV v ∈ V, ∃ V t.c. v+(-v) = (-v)+v = 0
• V u,v ∈ V, V λ, μ ∈ : (λ + μ) v = λv + μv
• (λμ) v = λ (μv)
• λ (μ + v) = λμ + λv
• 1v = v

Si nota quindi che uno spazio vettoriale per essere definito tale necessita di un campo.

N.B. Gli elementi di uno spazio vettoriale si dicono vettori, gli elementi di un campo si dicono scalari.

Vedere sugli appunti l’applicazione di spazio vettoriale.

Osservazioni

Siano 0,1 ∈ K e O ∈ V:

• O è unico
• 0v = O V v ∈ V quindi se si moltiplica l’elemento nullo del campo per un qualsiasi elemento dello spazio vettoriale si ottiene l’elemento nullo dello spazio vettoriale.
• λO = O
• -1 v = -v (l’opposto di v) V v ∈ V

Dimostrazione

a. In questo caso procediamo per assurdo e supponiamo esistano due O. Siano O, O’ zeri di V: O = O + O’ = O’

b. O = (0+0) v = 0v + 0v = O Siccome sommando O a O ottengo comunque O si ha che 0v = O poiché elemento neutro per la somma.

c. λO = λ(O + O) = λO + λO λO = O per precedente dimostrazione.

d. v + (-1)v = 1v + (-1v) = (1-1)v = 0v = O

Definizione

Sia V uno spazio vettoriale su K (campo) e siano v₁, v₂, …, v_r ∈ V e λ₁, λ₂, …, λ_r ∈ K

v = λ₁v₁ + λ₂v₂ + … + λ_rv_r ∈ V si dice combinazione lineare dei vettori v₁, v₂, …, v_r ∈ V a coefficienti λ₁, λ₂, …, λ_r ∈ K.