Soluzione esame tipo di Algebra e Geometria lineare T

che è 0

quindi esiste almeno 1

soluzione non banale Sia A il una matrice a scala. Il

rango di A è il numero di

è la dimensione pivot di A.

dell'immagine

perché la colonna dei termini noti

è zero conto le righe trovo il nucleo

infatti hanno rango riduco a scala

LA SOLUZIONE NULLA È Il numero di righe (o colonne)

dim Ker(A) + r(A) = n

= n° variabili la matrice

QUELLA BANALE linearmente indipendenti = numero di

pivot = rango

calcolare NUCLEO poi con Th di

Per Rouchè-Capelli il

NB nullità + rango

e IMMAGINE

sistema è risolubile È la dimensione dell'immagine

dell'applicazione lineare stessa.

RANGO

Esiste almeno una soluzione non banale (= 0) rango di app lineare è rango di

APPLICAZIONE

di un sistema lineare omogeneo che ha meno RELAZIONE

RANGO MATRICE matrice associata all'app lineare

LINEARE

equazioni delle incognite?

lambda è autovalore di A se e solo

se det (A-lambda In) = 0 Det = 0 rango = 1

quando tale applicazione lineare

Mg = dim ( Ker ( A - lambda In ) ) è un ENDOMORFISMO linearmente dipendenti

numero minimo per per MOLTEPLICITÀ

descrivere gli autovalori GEOMETRICA quando ha

senso parlarne

relazione tra autovalori -

autovalori sono le AUTOVALORI E

autovettori TEOREMA DI

GEOMETRIA

radici del polinomio AUTOVETTORI

- polinomio caratteristico ROUCHÈ-CAPELLI

def

cioè applicazione con dominio sono ENDOMORFISMI

uguale al codominio base canonica esempio

autovalori sono le soluzioni del

polinomio caratteristico IMMAGINE DI UN NUCLEO def.

APPLICAZIONE LINEARE

Insieme ordinato di vettori di V tale per cui ogni BASE SPAZI Il nucleo ha sempre dimensione

vettore si scrive unicamente come combinazione VETTORIALI def positiva (al max = 0)

lineare dei vettori della base

calcolo della base di un RELAZIONE

PERCHÈ TUTTE LE BASI HANNO LO

matrice associata sistema a 4 equazioni STESSO NUMERO DI ELEMENTI?

riduco a scala Dim immagine è K

colonne della matrice dimensione 4 Due basi di uno spazio vettoriale hanno

spazio vettoriale

iniziale che Dim Ker è (n-k) per Rouchè-Capelli

lo stesso numero di elementi e tale

corrispondono ai pivot numero si dice dimensione

dimensione 3

formano una base Se li sommi n

è R^4 è R^3

dell'immagine + n - k = n

n è la dimensione

del dominio