Geometria e Algebra lineare T

PROPOSIZIONE

v v

Dati e due vettori,

1 2

v ⋅ v = 0 ⇔ v = 0 v = 0 v ⊥ v

oppure oppure

1 2 1 2 1 2

PROPOSIZIONE ( )

v(a, b) P x , y

Le componenti di con punto di applicazione e

1 1 1

( )

P x , y (x − x ; y − y )

punto finale sono: .

2 2 2 2 1 2 1

PROPOSIZIONE P , P , . . . , P , P

Sia V un poligono piano di vertici . L’area del

1 2 n 1

poligono si trova mediante la formula: x y

x y x y

x y n−1 n−1

2 2 n n

1 1

2A = + + . . . + +

x y

x y x y x y

3 3

2 2 n n 1 1

PROPOSIZIONE

( ) ( )

P x , y v a, b r

Sia un punto, un vettore, la retta passante per

1 1 1

P ⊥ v S S r

ed

, i semipiani individuati da come in figura.

1 1 2 ( )

P x, y

Allora se è un punto arbitrario del piano:

P ∈ r ⇔ v ⋅ (P P) = 0

• 1

P ∈ S ⇔ v ⋅ (P P) > 0

• 1 1

P ∈ S ⇔ v ⋅ (P P) < 0

• 2 1

EQUAZIONE RETTA NELLO SPAZIO

Una retta nello spazio si può rappresentare come intersezione di due

piani. 3

R

Ogni equazione rappresenta un piano nello spazio (in ).

FASCI DI RETTE

( )

P x , y

Dato l’insieme di tutte le rette passanti per P, si dice

0 0

FASCIO PROPRIO di rette di centro P.

r e r

Se sono due rette distinte del fascio di equazioni

1 2 { r : a x + b y + c = 0

1 1 1 1

rispettivamente r : a x + b y + c = 0

2 2 2 2

Allora le rette del fascio sono tutte e sole le rette che ammettono

un’equazione della forma:

( ) ( )

λ a x + b y + c + u a x + b y + c = 0 λ u

con NON

e

1 1 1 2 2 2

ENTRAMBE NULLE.

MATRICE

a. Una matrice è una tabella rettangolare di numeri.

b. Una matrice con una sola riga si dice anche VETTORE RIGA.

c. Una matrice con una sola colonna si dice anche VETTORE

COLONNA.

d. Le operazioni di base sulle equazioni, sono: somma, differenza,

moltiplicazione per numeri.

e. Queste operazioni si chiamano COMBINAZIONI LINEARI.

f. Somma su vettore riga:

[ ] [ ] [ ]

a , . . . , a + b , . . . , b = a + b , . . . , a + b

1 n 1 n 1 1 n n

g. Prodotto per un numero su vettore riga:

[ ] [ ]

c a , . . . , a = c ⋅ a , . . . , c ⋅ a

1 n 1 n

h. Pivot del vettore riga: è il primo elemento non nullo da sinistra

del vettore riga. Indice di pivot: indice di colonna corrispondente

SISTEMI EQUIVALENTI

Due sistemi si dicono equivalenti se hanno lo stesse soluzioni.

MATRICE A SCALA i , i , . . . , i

Sia A una matrice con m righe. Siano gli indici di pivot

1 2 m

delle righe della matrice A. i < i < i < . . . < i

La matrice A si dice a scala se .

1 2 3 m

PROPOSIZIONE ELIMINAZIONE DI GAUSS

Mediante operazioni elementari sulle righe si può trasformare un

qualsiasi sistema lineare in un sistema lineare ad esso equivalente la

cui matrice completa è a scala.

DEFINIZIONE DI RANGO DI UNA MATRICE

- 1° CASO: Sia A una matrice a scala. Si definisce il RANGO di A il

numero di pivot di A, ossia il numero di righe non nulle di A.

- A’

2° CASO: Sia A una matrice a scala. Sia una matrice ottenuta

da A mediante operazioni elementari sulle righe. Per definizione il

rango di A è il rango di A’, ossia il numero di pivot (righe non nulle

di A’)

PROPOSIZIONE SULLE MATRICI OTTENUTE DA A

A e A

Sia A una matrice e siano matrici a scala ottenute da A

1 2 A e A

mediante operazioni elementari sulle righe. Allora hanno lo

1 2

stesso numero di pivot.

TEOREMA DI ROUCHÈ - CAPELLI (parte 1)

Un sistema lineare è risolubile se ,e solo se, la matrice dei

coefficienti e la matrice completa hanno lo stesso rango.

TEOREMA DI ROUCHÈ - CAPELLI (parte 2)

A x = b

Sia un sistema lineare. Sia A una matrice con m righe e n

colonne. Supponiamo che sia risolubile e sia K il rango di A.

⇔ K = n

Allora il sistema ammette un’unica soluzione

K ⩽ n , K ⩽ m

(Osserviamo che ).

Ossia in ogni colonna di A c’è esattamente un pivot.

TEOREMA DI ROUCHÈ - CAPELLI (parte 3)

A x = b

Sia un sistema risolubile, con A matrice, con m righe, n

K < n

colonne e rango K. Se , allora ci sono infinite soluzioni che

n − K

dipendono da parametri.

FUNZIONE INIETTIVA

Una funzione iniettiva è una funzione che associa, a elementi distinti

del dominio, elementi distinti del codominio. NB: Ad ogni y è

associata una sola x.

FUNZIONE SURIETTIVA

Una funzione si dice suriettiva quando ogni elemento del codominio

è immagine di almeno un elemento del dominio.

FUNZIONE BIUNIVOCA

La funzione f si dice BIUNIVOCA o BIIETTIVA se è sia iniettiva che

suriettiva.

ASSIOMI DELLO SPAZIO VETTORIALE

- SOMMA (cassetto 1-2-3-4)

v + w = w + v

1. commutativa

( ) ( )

v + v + v = v + v + v

2. associativa

1 2 3 1 2 3

∃ 0 ∈ V : v + 0 = 0 + v = v ∀ v ∈ V

3. un elemento

elemento neutro (0) dell'addizione

∀ v ∈ V ∃ w : v + w = 0 w −v

4. ( si indica con e si dice

opposto di v) l’opposto

- PRODOTTO (cassetto 5-6-7-8)

( ) ( )

a bv = a b v

5. associativa

(a + b)v = av + bv

6. distributiva

a(v + w) = av + aw

7. distributiva

1v = v

8. elemento neutro della moltiplicazione

VETTORE

Un vettore è caratterizzato da: un punto di applicazione (o), un punto

finale, una lunghezza, una direzione e un verso. Si rappresenta con

OP

un segmento orientato e la sua lunghezza si indica con .

OPERAZIONI TRA VETTORI

v w

SOMMA: Siano e due vettori, valgono due regole: metodo punta

coda e metodo del parallelogramma. Per la somma valgono le

proprietà commutativa e associativa.

v a

PRODOTTO PER SCALARE: Sia un vettore e uno scalare, si

w = a ⋅ v w

definisce e avrà: v

- direzione e punto di applicazione uguale a

w = a ⋅ v

- lunghezza pari a:

{ a > 0 v

verso uguale a

- verso: a < 0 v

verso opposto a

COMBINAZIONI LINEARI

Sia V uno spazio vettoriale.

v , . . . , v ∈ V vettori

Siano .

1 n

t , . . . , t ∈ numeri

Siano .

ℝ

1 n n

∑

v = t v + . . . + t v = t v

L’espressione si dice

1 1 n n i i

i=1

v , . . . , v t , . . . , t

COMBINAZIONE LINEARE di vettori ; mentre si

1 n 1 n

dicono coefficienti delle combinazioni lineari.

SISTEMA DI RIFERIMENTO

Nel caso piano è costituito da:

- un punto (o) detto origine

- due vettori geometrici applicati ad o aventi direzioni distinte

TEOREMA

Per definire le coordinate di un punto P rispetto a un sistema

(o, OP = x v + y w

v, w) x y

esistono unici numeri e tali che: .

(o,

x y v, w)

e si dicono coordinate di P rispetto al sistema .

SISTEMA DI RIFERIMENTO CARTESIANO

(o, v, w)

Un sistema di riferimento si dice cartesiano se

v = w = 1 v ⊥ w

(detti versori) e .

TEOREMA

(o, v, w)

Sia un piano cartesiano. Per ogni punto P, le coordinate di

(o, v, w) a = < OP ; v > b = < OP ; w >

P rispetto a sono: e .

OP = < OP ; v > v + < OP ; w > w

Quindi dove

a = OP ⋅ cos α .

LINEARITÀ DELLE COORDINATE

Si parla di linearità quando sia nel dominio che nel codominio si può

parlare di somma e di prodotti per numeri reali.

( ) ( )

OP = x OP v + y OP w x

. “ significa lineare ”

FUNZIONE LINEARE { f (x + x ) = f (x ) + f (x )

1 2 1 2

f : → è lineare se

ℝ ℝ (a (x)

f x) = a f 2

y = 2x y = x

Esempio: Controesempio:

TEOREMA

< v + v ; w > = < v ; w > + < v ; w >

1 2 1 1 1 2 2

< a ⋅ v ; w > = a ⋅ < v ; w >

1 1 1 1 a x + b y = 0

RETTA PASSANTE PER L’ORIGINE ( )

( )

v a, b x ; y

vettore di coordinate 1 1

( )

w x, y x ; y

vettore di coordinate 2 2

In generale il prodotto scalare è:

< v ; w > = x x + y y , mentre in questo caso particolare è

1 2 1 2

< v ; w > = a x + b y per il teorema visto prima.

< v ; w > = 0 a x + b y = 0

L’equazione della retta è perciò .

SIGNIFICATO GEOMETRICO della RETTA PASSANTE per L’ORIGINE

a x + b y = 0

La retta di equazione è la retta passante per l’origine

a b

perpendicolare al vettore di componenti e .

RETTA NON PASSANTE PER L’ORIGINE

v , v , w < v ; w > = < v ; w >

Dati tre vettori si suppone per

1 2 1 2

< v − v ; w > = 0

la bilinearità: .

1 2

< v ; w > = < v ; w > v − v ⊥ w

equivale a dire .

1 2 1 2

v w c = < v ; w > P v

Fissati e : . Sia la punta di ; la retta

1 1 1 1

P ⊥ w P

passante per è costituita dai punti che verificano:

1

< OP ; w > = c a x + b y = c

—>

w = (a, b) OP = (x, y) < OP ; w > = a x + b y

FORMULA RETTA PASSANTE PER DUE PUNTI

P (x ; y ) P (x ; y )

Siano e

1 1 1 2 2 2 x − x y − y

1 1

P P =

La formula della retta passante per e è:

1 2 x − x y − y

2 1 2 1

MATRICE HESSIANA n

La matrice Hessiana di una funzione di variabili (a valori in un

n × n

campo di scalari) è la matrice quadrata delle derivate parziali

seconde della funzione.

LEMMA

v = (a ; b ) v = (a ; b )

Siano e due vettori.

1 1 1 2 2 2

a b

1 1

v ∥ v ⇔ = a ≠ 0 ; b ≠ 0

con .

1 2 2 2

a b

2 2

DISTANZA TRA DUE RETTE PARALLELE

r : a x + b y = c

1 1 c − c

1 2

r : a x + b y = c d(r ; r ) =

2 2 1 2 a + b

2 2

PRODOTTO TRA MATRICI (prodotto righe per colonne)

Sia A una matrice con m righe e n colonne.

Sia B una matrice con n righe e p colonne.

A × B = C

Il prodotto è se il numero di colonne di A è uguale al

numero di righe di B.

La matrice C che si è formata ha m righe e p colonne.

Esempio:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

1 × 3+2 × 4 1 × 5+2 × 6

3 5 3 5 11 17

1 2 1 2

A = B = A × B = × = =

3 1 3 1 13 21

4 6 4 6 3 × 3 + 1 × 4 3 × 5 + 1 × 6

Ax=b

A x = b rappresenta un sistema.

A rappresenta i coefficienti delle incognite.

x rappresenta il vettore colonna delle incognite.

b rappresenta il vettore colonna dei termini noti.

SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI

È un insieme di di due o più equazioni per le quali cerchiamo

soluzioni comuni.