Statistica - esercizi e soluzione (parte 2)

P(Z

Assumendo che i consumi di diverse famiglie siano indipendenti, la proba-

2

1285.71−1238.2

≤ =

√

bilità che due famiglie spendano più di 900$ è P Y 1132.5

0.00628. 9

Esercizio 1  

2

Data una popolazione con media e varianza . Dire se il seguente



stimatore di è distorto e confrontarlo in termini di efficienza con

quello della media campionaria.

T = (1/8)X + (1/2)X + (3/8)X

1 2 3

E(T) = (1/8) +(1/2) + (3/8)

  

2 2 2 2 2 2

Var(T)= (1/8) + (1/2) + (3/8) =

   

2 2 2 2

= 0.02 + 0.25 + 0.14 = 0.41 

2

La variabilità dello stimatore media campionaria è pari a /n ovvero

 

2 2.

pari a /3 = 0.33

Entrambi gli stimatori (T e la media campionaria) risultano corretti. T

risulta meno efficiente dello stimatore media campionaria in quanto ha

varianza più piccola.

Esercizio 2 

Dato il seguente stimatore della proporzione di individui che

possiedono un certo attributo in una determinata popolazione:

T = (2/8)X + (3/4)X

1 2 

Verificare che lo stimatore è corretto e calcolare la sua varianza per

= 0.5.

E(T)= E[(2/8)X + (3/4)X ]= (2/8)E(X )+ (3/4)E(X )= (2/8)+(3/4)= .

1 2 1 2

Pertanto lo stimatore T è corretto. 2 2

Var(T)= Var[(2/8)X + (3/4)X ]= (2/8) Var(X )+ (3/4) Var(X )=

1 2 1 2

= 0.063 Var(X ) + 0.563 Var(X )= (0.063+0.563)

1 2

=0.5

Per si ha che la varianza di T è pari a

Var(T)=0.625 x 0.5 x 0.5 = 0.156.

Esercizio 3  ,

Data una popolazione con media e scarto quadratico medio si consideri

il seguente stimatore della media

1 2

   .

T X X aX

1 2 3

4 4

Dire per quali valori di a lo stimatore risulta corretto.

a = 1/4.

Esercizio 4

Sia X una popolazione distribuita secondo la legge Bernoulliana di



parametro e sia

 

X 2 X X

 1 2 3

T 5 .

uno stimatore di

Determinare la distorsione di T e l’errore quadratico medio.

 

E ( X ) 2 E ( X ) E ( X ) 4 4 

  

1 2 3

E (

T ) E ( X )

5 5 5

 

Var ( X ) 4

Var ( X ) Var ( X )  

6 6  

   

1 2 3

Var (

T ) Var ( X ) 1

25 25 25

La distorsione è pari a B(T)=E(T)-=-/5.  2

 

6 6 1

   

      

2 2

MSE (

T ) Var (

T ) B (

T ) 1

25 25 25 5

Esercizio 5  

2

Data una popolazione con media e dire se lo stimatore

varianza  2

T = (1/4)X X +(3/4)X X è uno stimatore corretto di .

1 2 3 4

Per l’indipendenza delle X i=1,2,…,4, si ha che E(X X )= E(X )E(X ) e

i 1 2 1 2

E(X X )= E(X )E(X ) per cui

3 4 3 4

E(T) = E((1/4)X X +(3/4)X X )= (1/4)E(X X )+ (3/4)E(X X )=

1 2 3 4 1 2 3 4

  

2 2 2

= (1/4) E(X )E(X ) + (3/4) E(X )E(X ) = (1/4) = Pertanto T è

+(3/4) .

1 2 3 4



2

uno stimatore corretto di .

Esercizio 6

Sia X , X ,…, X un campione casuale i.i.d. estratto da una popolazione

1 2 n  

2

normale con media e Si considerino gli stimatori

varianza =3.

T =X T = X + X

1 1 2 1 2

Quale stimatore risulta essere corretto?



E(T )=E(X )= B(T ) = 0

1 1 1

  

E(T )=E(X + X )=2 B(T ) = 2 - =

≠

2 1 2 2

  .

B(T )= [n/(n-1)] - = [1/(n-1)]

3

Solo T è corretto.

1

Quale stimatore è consistente in media quadratica?



2 2

MSE(T )= Var(T )+B(T ) = + 0 = 3

1 1 1   

2 2 2

2

MSE(T )= Var(T )+B(T ) = 2 + = 6 +

2 2 2 

2 2 2 2

2

MSE(T )= Var(T )+B(T ) = [1/(n-1) ]n + [1/(n-1) ] =

3 3 3

2 2 2

= ( n+ )/ (n-1)

L’unico MSE che si annulla per n che tende a infinito è MSE(T ).

3

Esercizio 7 .

Bisogna verificare che allora

Dato che .

 

 

E(T)≠

Per cui e T è uno stimatore distorto di

Esercizio 1 =

Supponiamo di estrarre un campione casuale di numerosità 100 da una popo-

n

lazione normale con deviazione standard pari a 5.1.

Sapendo che la media campionaria è pari a 21.6, costruire un intervallo di con-

x̄

fidenza al 95% per la media della popolazione.

µ Soluzione 5.1

5.1 ≤ ≤

− +

√ √

21.6 1.96

21.6 1.96 µ

100 100

⇓

IC=[20.6,22.6]

Esercizio 2

Sia X la variabile casuale che descrive il peso dei pacchetti di caffè di un lotto.

2 =

X si distribuisce secondo una normale di parametri non nota e 25. Si

µ σ

100 =

consideri un campione di 100 pacchetti per cui si ottiene 24800.

x

∑ i

i=1 − =

1. Si determini l’intervallo di confidenza per al livello 1 0.97.

µ α

Soluzione

24800 =

= 248

1. x̄ 100 5 5

−

= [248 + ] = [246.915,

97%IC 2.17 ; 248 2.17 249.085]

10 10

Esercizio 3

Dato un campione casuale di 500 elementi su cui la media campionaria è risultata

pari a 20 e la varianza corretta a 160, costruire costruire un intervallo di confidenza

al 95% per la media della popolazione.

Soluzione

Data l’elevata numerosità campionaria, la variabile

X̄−µ

√

s/ n

si distribuisce come una normale standardizzata. Quindi l’intervallo di confidenza

della media della popolazione al livello di confidenza 0.95 è sarà dato da

q 160

± ±

= = [18.88,

1.96 20 1.12 21.12].

x̄ 500 1

Esercizio 4

Dato il seguente campione di 35 voli di solo andata tra Atlanta e Chicago,

99 102 105 105 104 95 100 114 108 103 94 105 101 109 103 98 96 98 104 87 101

106 103 90 107 98 101 107 105 94 111 104 87 117 101

1. fornire un intervallo di confidenza del 95% per il prezzo medio del volo,

35 2 =

= 364032.

sapendo che 101.77 e x

x̄ ∑ i

i=1

Soluzione

1 2

2 − ·

(364032 ) =

= 35 101.77 45.0691

1. s 34

q q

45.0691 45.0691

−

= , + = [99.5459,

95%IC 101.77 1.96 101.77 1.96 103.9941]

35 35

Esercizio 5

In un campione casuale composto da 400 individui, 136 hanno riscontrato l’influenza

dopo aver ricevuto il vaccino. Costruire un interevallo di confidenza per la pro-

−

(1 =

porzione di individui che hanno avuto l’influenza al livello 0.95.

π α)

Soluzione

= =

Possiamo stimare 136/400 0.34, mentre una stima della varianza è data

x̄

− =

da 0.224. Utilizzando il TLC, possiamo determinare l’intervallo di

x̄(1 x̄)

confidenza r 0.224

q x̄(1−

x̄)

± ± · ±

= = = [0.294,

0.34 1.96 0.34 0.0464 0.386]

x̄ z α/2

n 400

Esercizio 6

Viene effettuato un sondaggio per prevedere quale fra due candidati alla carica di

sindaco di una città vincerà il ballottaggio. Indichiamo con A e B i due candidati.

Vengono fatte 200 interviste, nelle quali all’intervistato viene chiesto di esprimere

la propria preferenza; il candidato B riceve 105 preferenze.

1. Stimare la probabilità che il candidato B diventi sindaco, giustificando la

scelta dello stimatore usato. 2

2. Calcolare l’intervallo di confidenza al 90% per la probabilità che il can-

didato B diventi sindaco. Soluzione

Definiamo X=“Preferenza per uno dei due candidati”.

1. La probabilità che il candidato B diventi sindaco può essere stimata at-

traverso la frequenza campionaria

105 =

= 0.525.

x̄ 200

2. n è sufficientemente grande da poter utilizzare il TLC; avremo quindi 0.525±

q 0.525·0.475 ± ·

= = [0.467,

1.645 0.525 1.645 0.035 0.583].

200

Esercizio 7

Una ricerca di mercato è interessata a sapere quando, e quanto spesso gli abitanti

di una piccola città guardano la televisione.

Un campione di 60 abitanti è selezionato e ad ognuno è stato chiesto se e quando

ha guardato la televisione in una data settimana. È risultato che:

• 25 guardano il telegiornale serale almeno due sere la settimana;

• sia il tempo (in ore) passato davanti alla televisione alla settimana dell’i-

X

i

esimo intervistato

60 60 2

= =

840 e 12300.

x x

∑ ∑

i i

i=1 i=1

1. Proporre un intervallo di confidenza al 99% per µ.

2. Proporre un intervallo di confidenza al 95% per la proporzione di abitanti

π,

che guardano il tg serale almeno due sere la settimana.

Soluzione

2

12300−60·14

2 =

= 9.15

1. s 59 q

h i 9.15

s

s ± ± ·

− √ √

, + = =

= 14 2.5758 14 2.5758

99%IC x̄ z

x̄ z

α/2 α/2 60

n n

±

= = [13.00,

0.39 14 1.00 15.00] 3

q q

x̄(1−

x̄) x̄(1−

x̄)

−

= , + =

2. 95%IC x̄ z x̄ z

α/2 α/2

n n

" #

r r

· ·

0.4167 0.5833 0.4167 0.5833

− , + = [0.2919,

0.4167 1.96 0.4167 1.96 0.5414]

60 60

Esercizio 8

Il peso medio di un campione di 200 adulti è risultato pari a 75 Kg mentre la stima

corretta della varianza della popolazione è risultata pari a 16.

1. Costruire l’intervallo di confidenza al 95% per la media della popolazione.

2. Cosa succede se la la stima corretta della varianza della popolazione è risul-

tata pari a 25?

3. Cosa succede se la la stima corretta della varianza della popolazione è risul-

tata pari a 25 e n=100?

4. Cosa succede se la la stima corretta della varianza della popolazione è risul-

−

tata pari a 25, n=100 e 1 α=0.9?

Soluzione

1. Sfruttando il TLC, avremo che

= 1.96

z α/2 4

s

√ √

= = 0.283

n 200 ⇓

s

· ·

√ = =

1.96 0.283 0.555

z

α/2 n ± = [74.44;

Pertanto l’intervallo di confidenza è pari a 75 0.555 75.56].

5

2 √

= =

2. Nel caso in cui 25, avremo che 0.354

s 200

⇓

s

· ·

√ = =

1.96 0.354 0.694

z

α/2 n ± = [74.31;

Pertanto l’intervallo di confidenza è pari a 75 0.694 75.69]. 4

5

2 = = =

√

3. Nel caso in cui 25 e 100,