Seconda parte di appunti completi per esame di Fisica 1 (corpo rigido)

Dinamica Dei Sistemi di Punti Materiali

Fino ad ora ci è concentrati nello studio della dinamica di un singolo punto materiale e di quale conseguenze potevano avere applicate più forze.Quello che vogliamo capire adesso e come studiare in maniera complessiva un sistema composto da un numero arbitrario di punti materiali.D’ora in poi faremo riferimento genericamente ad un sistema formato da tanti punti. Indico con i la posizione degli -esimo punto.i è un indice che potrà assumere valori da 1 ad N, considerando cioè il numero di punti che formano punti del sistema.

La prima cosa da affrontare quando si va a studiare un sistema di punti materiali è capire come individuare chiaramente il sistema, ovvero avere chiaro quali sono i punti materiali che formano parte del sistema che si vuole studiare in quel momento e quali no.Per fare un esempio, considerando una bottiglia, il comportamento di un paio di punti che ci interessano saranno tutta la portiera del suo recipiente, mentre quella che sta fuori del recipiente e anche fuori del sistema di interesse.

Questo è importante perché una delle cose che torneranno rilievemente sarà separare le interazioni in ognuno di essi (cioè la forze che agiscono in gruppo dei punti) in 2 sottoinsiemi:

• Forze Interne, cioè forze che si instaurano tra punti che sono entrambi appartenenti al sistema.F_ij è interna se P_i, P_j • e Sistema

• Forze Esterne, cioè forze che si instaurano tra un punto appartenente a una NON appartenente al sistema.F_id è esterna se P_i e S, P_d • S

Per fare un esempio, considerando di voler studiare un auto con dei passegeri: ‘il mio sistema sarà quindi costituito dell’auto e quindi delle cose che contiene i passeggeri compresi.

I passeggeri quindi muovendosi dedrà uno sicuramente esisteva una forza vincolare dovrà rimanentemente e fatta sistena in stati reduc rue accad, queste forze in coesa e INTENSE perchè si istituziona tra due punti methodem parte dello stesso sistema.

Tensione pero eub, in questo e auto mas punziofre della lena, origine anche la FORZA PESO e quindi e una FORZA ESTERNA perché dovuta a una intenzione ha una paga geno (punina temma fee sistema), e la Genar che ottura thravitazionamente i punti riso meni alte.

Chiaramente una FORZA É INTERNA o ESTERNA a seconda del sistema che sto studiando.

Si capisca bene che per un sistema di N punti, studiarne la dinamica è un qualcosa di estremamente complicato poiché ogni punto materiale ha 3 gradi di libertà: per N punti ho 3N gradi di libertà.

Studiare in modo completo la dinamica di un sistema di questo tipo mi costringerebbe a scrivere 3N equazioni differenziali: F=ma e risolverle tutte.

In molti casi comunque non ci interessa capire come mi muovo OGNI SINGOLO PUNTO: quello che ci interessa spesso è capire le MOTO D'INSIEME, il moto complessivo del sistema. Questo posso studiarlo a condizione anche senza conoscere il dettaglio del moto di ogni singolo punto del sistema.

CENTRO DI MASSA

Supponiamo di avere un sistema formato da tanti punti materiali: P_i, e consideriamo i suoi vettori posizioni r_i, che individuano la posizione istantanea di tali punti materiali rispetto ad un’origine fissata O. Ognuno i punti materiali saranno caratterizzati da una certa massa m_i.

Definiamo il VETTORE POSIZIONE di un particolare punto chiamato CENTRO DI MASSA come:

A parole, il CENTRO DI MASSA è la POSIZIONE MEDIA del nostro sistema, dove questa media è una MEDIA PONDERATA, i ogni punto contribuisce a definire la posizione del centro di massa tanto di più quanto maggiore è la sua massa.

Proviamo adesso a fare qualche esempio esplicativo nel caso di sistemi molto semplici:

1. Supponiamo di avere due punti materiali aventi le STESSA MASSA. Nel nostro caso siamo in una condizione per cui N=2, avendo due soli punti materiali.

Il centro di massa sta nel punto medio che congiunge i due punti P₁ e P₂.

Con questo concetto viene sottolineata l’importanza del centro di massa anche per grandezze

importanti per la dinamica. E’ dimostrato bene la QUANTITA’ DI MOTO TOTALE di un

sistema di punti la posso vedere come la quantità di moto di un singolo punto avente

massa pari alla massa totale del sistema, moltiplicata per la velocità del CENTRO

DI MASSA.

Detto in altri termini, per scrivere la quantità di moto totale del sistema, posso pensare di

considerare il sistema come fosse un singolo punto materiale con MASSA TUTTA CONCENTRA-

TA TRA MEZZO, nel CENTRO DI MASSA.

I° EQUAZIONE CARDINALE DELLA DINAMICA

Adesso che abbiamo la quantità di moto totale del sistema, cosa possiamo dire della sua va-

riazione nel tempo, cioè, cosa possiamo dire del calcolo della sua derivata?

dQ_t/dt = Σ_i=1ⁿ d/dt (m_iv_i) = Σ_i=1ⁿ m_i a_i

AR posto della seguente delle sommeno, detta il secondo principio della dinamica, posso ri-

scrivere la FORZA RESULANTE che gioca nel punto t-esimo:

dQ_t/dt = Σ_i F_i + Σ_i F_i

Yo punto nel mio sistema viene metapodo e paria

dunque dell’INTERAZIONE FRA PUNTI INTERNI al

sistema (FORZE INTERNE) e punti ESTERNI al

sistema (FORZE ESTESRE). Quindi devo conser-

varli entrambi i contributi quando nuova la scri-

tenses, delle forza che giocano nel punto t-esimo:

dQ_t/dt = Σ_i F_i^EST + Σ_i F_i^INT

Se considero i due contributi come la RISULTANTE delle forza interne, e la risultante delle FOR-

ZE ESTERNE, posso riscrivere la derivata cosme:

dQ_t/dt = Σ_i F_i^EST + Σ_i F_i^INT

Concentrincusi adesso in particolare sulla RISULTANTE DELLE FORZE INTERNE: questo non è

alche della sono di tutte la forze interne che giocano nel t-esimo punto, diverbile altre

interazioni con altri punti appormenenti as sistema.

R_INT = Σ_i=1 F_i^INT

Esendo la somme di tutta la foize di interezione fie punli interni del sistema (F_INTⁱ), la

Studio del momento in sistemi di punti

Nello studio dei sistemi di punti, si ha generalmente a che fare con tanti punti materiali (ognuno con propria massa ed eventualmente con la propria velocità) ai quali sono applicate tante forze, in tanti punti di applicazione diversi.

Per tale motivo in primo luogo può essere utile andare a considerare il momento risultante di un sistema di forze; consideriamo un sistema di N punti materiali, ai quali appaiono delle forze, e definiamo momento risultante la somma dei momenti prodotti dalle singole forze:

M̅_Ω = ∑_i=1^N (P_i - Ω) ∧ F̅_i

Data questa definizione, calcolare il momento risultante di un sistema di forze spesso non è una cosa semplice; è necessario prendere ogni forza, moltiplicarla vettorialmente per il vettore che unisce il polo a cui ci si trova e poi sommare tutti i vettori ottenuti dai vari prodotti. Metodici!

Proprio per questo motivo è importante sapere cosa succede se cambia il polo: invece di usare tre poli e limitarsi a decidere di usarne un altro "a algebra completo, ma si può dimostrare una volta per tutta quella che viene detta formula di trasposizione dei momenti.

Ampiando e considerando il nuovo momento con polo Ω', questo per definizione è dato da:

M̅_Ω' = ∑_i=1^N (P_i - Ω') ∧ F̅_i

Se il vettore (P_i - Ω) può essere visto come dato dalla somma di (P_i - Ω') e (Ω' - Ω). Perciò se misi a sostituirci ottengo:

M̅_Ω' = ∑_i=1^N [(P_i - Ω') + (Ω' - Ω)] ∧ F̅_i

A questo punto posso utilizzare le proprietà distributive del prodotto vettoriale, distribuendo il prodotto per F̅_i tra i due addendi:

M̅_Ω' = ∑_i=1^N (P_i - Ω') ∧ F̅_i + ∑_i=1^N (Ω' - Ω) ∧ F̅_i

Risultante rispetto a Ω + termine invariantario + risultante di tutte le forze