Schemi Topografia e trattamento delle osservazioni

TOPOGRAFIA

Jakaj Meri

Anno scolastico 2024/2025

Prima slide – Sistemi di riferimento

La topografia è una scienza che ha come scopo la determinazione e la rappresentazione

metrica con il disegno in una mappa della superficie terrestre. Ha carattere applicativo, cioè è

finalizzata ad attribuire valori numerici a coordinate di punti sottoposti ad osservazione.

Distanza tra2 punti(p e q) in 2D: Dpq = rad((q1-p1)^2+(q2-p2)^2)

XY

Le tecniche fondamentali utilizzate per il rilievo geometrico sono:

- Topografia

- GPS (GNSS) Global Navigation Satellite System

- Fotogrammetria

- Laser-scanning

- SAR ( interferometria differenziale da satellite)

Queste tecniche permettono di determinare punti nello spazio, di conoscerne la precisione,

di utilizzare lo stesso sistema di riferimento per fasi differenti di un rilievo ed utilizzano più

equazioni di quelle strettamente necessarie.

TOPOGRAFIA

È necessario conoscere in che posizione(punto= ente che non possiede estensione) si

trovano gli oggetti da analizzare e monitorare la variazione delle posizioni nel tempo. Inoltre si

deve controllare la precisione del risultato.

Prima di analizzare un oggetto, va impostato un sistema di riferimento, cioè un insieme di

regole che servono a definire, appunto, la posizione di un punto sulla superficie della Terra.

Nello spazio ed in particolare per la Terra è più complicato impostarne uno, perciò per prima

cosa si deve definire una superficie di riferimento. Questa deve approssimare bene la

superficie terrestre, avere un’espressione matematica “semplice”, permettere di stabilire una

corrispondenza biunivoca tra i punti della superficie terrestre e i punti della superficie di

riferimento ed infine deve permettere di istituire una geometria sulla superficie di

riferimento(calcoli geodetici=distanze più corte per raggiungere 2 punti).

La superficie di riferimento deve essere:

1) Simile alla forma reale della superficie fisica terrestre

2) Individuabile al momento del rilievo topografico

3) esprimibile analiticamente

Superfici di riferimento:

Esistono di fatto 3 superfici di riferimento: Geoide, Ellissoide e Sfera (o il piano).

In ogni punto della superficie terrestre è possibile individuare una direzione di riferimento: la

direzione del campo di gravità. (ottenuta tramite l’utilizzo del Filo a piombo)

Il Geoide è in ogni punto perpendicolare alla direzione della forza di gravità ed è la migliore

approssimazione della superficie terrestre. Viene utilizzato come “origine” per le quote e la LIVEL

-

>

sua rappresentazione matematica è così complessa da essere definita in funzione di infiniti

parametri. È fisicamente individuabile(sup media dei mari in condizioni ideali).

La Geodesia è lo studio della forma geometrica e fisica della Terra(e il suo orientamento nello

spazio). La Geomatica sono invece le discipline che riguardano l’acquisizione, la restituzione,

l’analisi e la gestione di dati di natura metrica o tematica relativi alla superficie terrestre,

compreso l’ambiente urbano, le infrastrutture e il patrimonio architettonico. Essendo la

gravità l’unico campo continuo, le altre discipline della geomatica si occupano di quantità

discrete, come punti, pixel, reti ecc…

Schema rilievo tradizionale:

L’Ellissoide approssima la superficie terrestre meno correttamente rispetto al geoide. Non è

fisicamente individuabile ed ha una rappresentazione matematica semplice. È la superficie di

riferimento più utilizzata in cartografia.

L’ellissoide terrestre è una

superficie regolare ed è definito da

2 parametri: f = schiacciamento

/

e = eccentricità.

.. x

D

I semiassi definiscono la forma dell’ellissoide e per fissarne la posizione nello spazio servono

6 parametri(gradi di libertà).

POLI: intersezione tra asse di rotazione e superficie dell’ellissoide.

MERIDIANI: intersezione tra piani contenenti asse di rotazione e superficie dell’ellissoide.

PARALLELI: intersezione tra piano perpendicolari all’asse di rotazione e superficie

dell’ellissoide

EQUATORE: parallelo massimo che divide la terra in emisfero boreale e australe

Su un ellissoide i punti sono uniti da linee curve che hanno raggi di curvatura diversi.

Riassumendo: geoide=sup fisica, ellissoide=sup geometrica, ma la superficie reale è quella

TOPOGRAFICA.

L’ellissoide geocentrico risulta il miglior riferimento per l’intero pianeta, ma quello orientato

localmente lo è solo per la porzione di superficie terrestre presa in considerazione. Nel punto

di tangenza la verticale geoidica e la normale ellissoidica coincidono.

Orientamento locale dell’ellissoide:

I 6 parametri(gdl) provengono da: punto in comune tra ellissoide e terreno(3gdl), tangenza tra

le due superfici(2gdl), si fissa una direzione(1gdl).

Da un punto P0 di coordinate note sull’ellissoide, nota la geodetica(distanza più corta tra 2

punti) da P0 a P, posso determinare le coordinate di P sull’ellissoide.

Reticolato geografico:

LATITUDINE: angolo tra piano equatoriale e la perpendicolare all’ellissoide passante per P.

LONGITUDINE: angolo nel piano equatoriale tra il piano meridiano per P e il meridiano di

riferimento(meridiano di Greenwich). La lunghezza dell’arco del meridiano è quasi costante,

mentre la lunghezza dell’arco di un parallelo dipende fortemente dalla latitudine.

PIANO MERIDIANO: piano contenente l’asse di rotazione

SEZIONE NORMALE PER UN PUNTO P: intersezione tra superficie ellissoide e un piano

contenente la normale per P

Raggi di curvatura sull’ellissoide: (considero tutti i piani passanti per la normale n’, che

intersecando l’ellissoide formano infinite tracce sulla superficie)

RAGGIO DI CURVATURA DEL MERIDIANO(p):

sezione che coincide con il meridiano(raggio

minimo)

RAGGIO DI CURVATURA GRAN-NORMALE(N):

sezione ortogonale al meridiano(raggio max)

RAGGIO DI CURVATURA MEDIO(R): rad(p*N), ed è il raggio della sfera locale, tangente

all’ellissoide nel punto P(quindi ha la stessa normale). In un intorno di raggio massimo 150km,

la sfera LOCALE approssima “bene” l’ellissoide.

Sistema di riferimento:

Un sistema di riferimento(datum) è un insieme di misure e regole per la determinazione della

posizione spazio-temporale di punti indipendentemente dal sistema di coordinate

adottato. Un datum è un modello semplificato della Terra, adeguato alle esigenze

cartografiche, che deve inoltre permettere di vincolare tutti i gradi di libertà del quesito.

Esempio: per la misura di

un dislivello, esistono

infinite coppie che

I soddisfano la relazione.

Perciò devo fissare un

piano π.

Reference frame: insieme di punti di coordinate note sulla Terra, è una “realizzazione” di un

sistema di riferimento.

I sistemi di riferimento sono materializzati mediante reti di punti fondamentali le cui posizioni

sono note e rispetto ai quali vengono stimate sotto-reti di punti: CAPOSALDI E STAZIONI

PERMANENTI.

Per realizzare un SR si deve fornire un catalogo di punti fondamentali, grazie ai quali sarà

possibile determinare la posizione di nuovi punti. Realizzazioni diverse dello stesso SR

possono differire tra loro.

RETE GEODETICA NAZIONALE(IGM): insieme di punti di coordinate note sul suolo italiano.

DATUM GEODETICO: SR che permette di esprimere matematicamente la posizione di punti

sulla superficie della Terra

GEOREFERENZIAZIONE: operazione di esprimere la posizione di un punto mediante

opportune coordinate in un datum assegnato.

Ad ogni DATUM è associata una RETA di INQUADRAMENTO

SR utilizzati nel mondo: 1) per l’Italia, in sistema catastale si utilizza Roma ante 40(ante-

guerra, si basava su ellissoide di Bessel), nazionale ROMA 40. 2) per l’Europa si utilizza ED50

oppure ETRF2000. 3) globalmente si utilizza WGS84

Il sistema WGS84 è un SR globale, basato su un ellissoide geocentrico, periodicamente

aggiornato ed è il SR utilizzato dal GPS.

Il sistema ROMA40 si basa su un ellissoide di Hayford con orientamento a Roma Monte Mario,

che ha come proiezione associata Gauss-Boaga. Esistono 4 ordini di punti per questo SR:

vertici del 1 ordine(30-40km) e raffittimenti successivi per ottenere vertici fino al 4 ordine.

Questo sistema venne realizzato partendo da una rete di triangolazione, infittita fino a

compensarla in un unico blocco nel 1940.

Il SR ED50(European Datum 1950) è stato realizzato per rendere omogenea la cartografia su

piccola e media scala a livello europeo. Viene utilizzato l’ellissoide di Hayford, orientamento

Grande medio europeo e origine delle longitudini nel meridiano di Greenwich.

REGIONA Il SR ITRS(International Terrestrial Reference System) ha origine nel centro di massa

convenzionale della Terra, ha l’asse Z passante per il Polo Convenzionale Terrestre(BIH1984),

l’asse X definito dall’intersezione tra un piano meridiano di riferimento e piano equatoriale,

mentre l’asse Y è tale da completarne la terna.

L’SR ETRF2000(European Terrestrial Reference Frame t0=2000) è una rete basata su stazioni

permanenti GPS. In Italia questa rete è stata densificata con: 1)RDN2000(Rete Dinamica

Nazionale) è una rete dinamica con un punto ogni 3000km^2, 2) IGM95 è una rete statica, un

punto ogni 250km^2. Viene utilizzato l’ellissoide GRS80, ha orientamento locale.

Trasformazioni tra SR:

Le differenze tra SR sono date dalle dimensioni e dall’orientamento degli ellissoidi, perciò le

trasformazioni tra SR sono descrivibili da una roto-traslazione più un eventuale fattore di

scala(T~150m, R~3 gradi). I calcoli per tali trasformazioni sono fatti da programmi che

gestiscono la cartografia(GIS), ma nonostante ciò è sempre necessario sapere come

impostare la trasformazione, interpretare i risultati e che una una trasformazione implicherà

sempre una precisione minore del dato. Per effettuare le trasformazioni saranno necessari 7

parametri(gdl): 3 traslazionali, 3 angoli di rotazione e 1 fattore di scala.

Nel caso in 2D si fissano l’origine,

l’orientamento e la scala, perciò la

trasformazione generale è quindi una

roto-traslazione con variazione di scala. È

determinata quando si conoscono i 4

parametri x0,y0,alfa,lambda.

Nel caso 3D troviamo ancora una

roto-traslazione con variazione di

scala, determinata quando si

conoscono i 7 parametri x0,y0,z0,i

3 angoli della matrice R e lambda.

Esistono 2 superfici che approssimano l’ellissoide: teleStr

Sup

la

= .

↑

1- SFERA LOCALE, ovvero una sfera di raggio R = (N*rho)^1/2, approssima l’ellissoide su

distane fino a 150km su operazioni planimetriche, e di circa 10km per quelle

altimetriche (CAMPO GEODETICO)

2- PIANO LOCALE, approssima l’ellissoide su distanze fino a 10-15km(CAMPO

TOPOGRAFICO)

LINEA GEODETICA: è la linea sulla superficie che ha normale coincidente alla normale della

superficie stessa, ed è il percorso di minor lunghezza. Sul piano sono rette, sulla sfera archi e

sull’ellissoide linee complesse.

, dove a = azimut della geodetica= angolo tra la tangente alla

curva e la tangente al meridiano( direzione del nord geografico)

La lunghezza della geodetica non la misuro ma la ricavo da misure di angoli e distanze.

DISTANZA INCLINATA: linea retta, distanza tra 2 punti nello spazio

DISTANZA TOPOGRAFICA: lunghezza dell’arco della geodetica tra le proiezioni dei due punti

sulla superficie di riferimento. slide 84.

Le coordinate geografiche invece possono essere misurate per via astronomica, con

precisioni massime di 0.2’’, ovvero 6m.

(ricorda che , con l=arco di crf)

Seconda slide – Rilievo planimetrico

Schemi operativi del rilievo topografico piano:

RETE TOPOGRAFICA PLANIMETRICA: è una rete costituita da un insieme di punti(vertici della

rete) connessi tra loro da un insieme di misure di distanze e di angoli azimutali e zenitali. Le

misure devono essere in numero sufficiente da garantire rigidità alla rete, quindi in generale si

SOVRABBONDANZA

=

richiede la ridondanza delle misure non soltanto per la rete nel complesso, ma per ciascuno

dei suoi vertici. Deve essere, ovviamente, fissato il sistema di riferimento. Di distinguono 2

tipologie di reti: di inquadramento e di dettaglio.

ANGOLO AZIMUTALE(a),

ANGOLO ZENITALE(z):

RETE DI INQUADRAMENTO: vengono materializzati pochi punti ma rilevati con alta precisione,

e può essere raffittita. Questa tipologia di rete fissa il sistema di riferimento locale. Poligonali

o triangolazioni(?).

Slide 13

Schemi operativi:

- Triangolazione

- Trilaterazione

- Poligonale

- Poligonale chiusa

- Vertici collegati da misure angolari e misure di distanza

TRIANGOLAZIONE: operazione in cui si suddivide l’area di rilievo in triangoli. Le misure

necessarie sono gli angoli interni del triangolo e almeno una distanza. È uno schema solido

poiché permette controlli multipli(angoli interni triangoli) e si possono ottenere le coordinate

di un punto della rete seguendo diversi percorsi(angoli e distanze). Richiede inter-visibilità,

perciò non può essere sempre utilizzata. Viene utilizzata l’operazione dei

Minimi quadrati per poter

individuare errori grossolani e

ripartirli su tutte le quantità

stimate

Esistono 2 tipologie di triangolazione: 1) triangolazione a catena(1 lato in comune)

2) triangolazione a maglia (2 lati in comune)

TRILATERAZIONE: si misurano tutte le distanze con un distanziometro, collegando anche

punti lontani(>1km). Richiede inter-visibilità e non ha molta ridondanza. Serve a fissare un

SR.

POLIGONALE: si misurano angoli e distanze tra un punto di stazione e i punti precedente e

successivo, seguendo il percorso di una spezzata. Richiede inter-visibilità solo tra punti

adiacenti. Occorre fissare un verso di percorrenza. Ad ogni passo misuro un angolo azimutale

e una distanza orizzontale per determinare 2 coordinate piane.

POLIGONALE CHIUSA:

Le misure devono essere sufficienti per determinare le coordinate incognite. Abbiamo 2 tipi di

compensazioni per le poligonali: 1) speditiva, per valutare valori approssimati, 2) rigorosa, MQ

non lineari,

Progettazione della rete:

- Scelta SR

- Scelta tipo e schema delle misure

- Scelta precisione

- Ottimizzazione schemi

- Calcolo matrice varianza covarianza dei parametri incogniti

Ellisse di errore: rappresenta graficamente l’incertezza nella posizione del punto. Il semiasse

maggiore è l’errore massimo, quello minore l’errore minimo.

Lo schema basato sulla triangolazione deve avere triangoli prossimi ad una forma equilatera

per avere un errore minimo.

Nelle poligonali, ? secondo me 90 gradi

Inquadramento reti planimetriche locali:

Coordinate geografiche <-> Coordinate cartografiche

E

Coordinate cartografiche <-> Coordinate locali

(φ,λ) <-> (E,N) <-> (x,y)

Roto-traslazione nel piano

DA SLIDE 44 A 46 FALLO

Strumenti topografici per rilievo planimetrico:

- Teodoliti

- Livelli

- Distanziometri

Questi strumenti si differenziano per il principio di funzionamento, tecnologia di costruzione,

grado di precisione e campo di applicazione. Ogni strumento topografico deve poter

realizzare la direzione della verticale.

TEODOLITE: è lo strumento specifico per la misura delle direzioni e degli angoli verticali.

Esiste il teodolite elettronico/integrato(se munito di distanziometro) e l’ottico

meccanico/tradizionale. In rapporto all’inesattezza di misura degli angoli, il teodolite

decimillesimo viene utilizzato per schemi da triangolazione, millesimo e centesimo da

ingegneria ed infine quello ai cinque centesimi per il cantiere.

Il teodolite è formato da 3 parti: il basamento, l’alidada e il cannocchiale, che materializzano

3 assi: l’asse principale, perpendicolare al basamento, l’asse secondario, perpendicolare

all’asse principale, l’asse terziario/di collimazione è materializzato dal centro della lente

dell’obiettivo. I 3 assi sono ortogonali e si incontrano nel centro dello strumento. Il

cannocchiale del teodolite è chiuso e di lunghezza fissa, garantisce perfetta ermeticità alla

polvere e all’umidità.

Regola di Bessel: (CS = cerchio sinistro, CD = cerchio destro)

L’asse di collimazione viene chiamato così poiché collimare significa puntare il cannocchiale

in modo che il punto si trovi sull’asse ottico. Nel cannocchiale, asse ottico e di collimazione

coincidono.

Modello per stimare la rifrazione atmosferica:

La traiettoria della luce si suppone prossima ad un arco di circonferenza di raggio r, con r =

R/k, dove R = raggio sfera locale k = coefficiente rifrazione atmosferica (sperimentalmente).

Si dimostra che la correzione all’angolo zenitale è data da:

(D è la distanza tra punto di stazione e punto collimato): Δz = k D 2R

L’incertezza sul valore di k comporta che la misura degli angoli zenitali sia sempre meno

precisa della misura degli angoli azimutali. Precisione massima ottenibile 10cc anche con

strumenti di precisione. Regola Bessel :

di

Azimut Prima SX

Cercha Vertiche

:

X a

Pol DX .

coll'e

Ho coniugate

2 etture

X roglee calblo lette

emom la ele

mebra Contrare

ULTIMA SLIDE NON HO CAPITO. Estensione RILIEVO

del

Planimetrico linserimento

con

Dell ALTIMETRICHE

Que

↑

Terza slide – Rilievo altimetrico pt

DEL RIEVATI

VARI .

Il geoide è una superficie fisica, equipotenziale del campo di gravità coincidente con la

superficie media dei mari e materializza globalmente per la Terra l’idea di “orizzontale”.

Gravità terrestre = 1000 Gal = 9.81 m/s^2

Il potenziale gravitazionale è l’energia potenziale relativa alla forza di attrazione

gravitazionale tra masse. Con G = costante gravitazionale universale = 6.67*10^-11 m^3*s^-

2*kg^-1 :

Il geoide:

Il potenziale della gravità terrestre è dato da: W(P) = V(P)+1/2*w^2*(x^2+y^2), ed il vettore di

gravità è g(P) = grad W = [dW/dx; dW/dy; dW/dz]. La direzione di questo vettore definisce la

direzione della verticale.

Come già detto, il geoide è una superficie fisica equipotenziale(livello medio dei mari), ed è

una delle superfici che descrive geometricamente il campo di gravità, assieme alle linee di

forza(= linee perpendicolari alla sup equipotenziale).

Il geoide viene stimato tramite dati di gravità, in particolare viene calcolata l’ondulazione del

geoide, ovvero l’altezza del geoide ad un ellissoide di riferimento:

Quota ortometrica:

la quota ortometrica H è un arco(NON UNA RETTA) che va dal punto P al geoide. In pratica

=>

rappresenta l’elevazione del punto P rispetto alla superficie del livello medio del mare. La

quota ortometrica è una coordinata.

=>

Per misurare un dislivello:1) distanza max 100m, per punti più distanti si eseguono più battute

di livellazione. 2) si deve fissare la posizione del piano π che attraversa la quota di un punto

scelto e definirla come quota NOTA. Da ciò si deduce che le misure di dislivello sono misure

7

RELATIVE. Ex. mareografo.

Rete di livellazione nazionale:

è una rete altimetrica 1D realizzata dall’IGM che si sviluppa lungo le arterie stradali(circa

18000km). Caposaldi di linea(1km), principali(3km), fondamentali(25km).

Rilievo GPS:

Misura di dislivelli:

la quota di un punto è riferita a una superficie FISICA(geoide) e non geometrica(ellissoide).

Battuta di livellazione = misura mediante le letture fatte su due stadie graduate verticali. La

livellazione è indipendente dalla distanza geometrica, idrostatica(quindi è indipendente dal

fluido) e barometrica(indipendente dal peso dell’aria), ma dipendente dalla distanza del

teodolite, del distanziometro e della distanza trigonometrica(teodolite + distanziometro di

grande portata).

Questo oggetto permette di materializzare un asse di collimazione orizzontale(quello che

prima abbiamo chiamato π). Le stadie del livello sono poste in verticale(mediante bolla

sferica) sui punti di cui si vuole valutare la quota. La messa in stazione ha come obiettivo

quello di rendere verticale l’asse a1 dello strumento, mediante centramento della livella

sferica(basamento) e centramento della livella torica(se esiste, è sul cannocchiale). Queste

livelle sono utilizzate per valutare la verticalità di un asse(o l’orizzontalità del piano a esso

perpendicolare). Sono fiale di vetro, riempite parzialmente di liquido volatile(alcol), in cui

nella parte alta si forma una bolla di vapori saturi. La superficie interna superiore della fiala

sferica è a forma di calotta sferica, mentre per la fiala torica è a forma di toro.

Errore max= 10’’ per livelli di buona qualità. La livella torica è 50 volte più precisa di una livella

sferica.

Tipologie di livelli:

Autolivello: l’asse di collimazione è mantenuto in posizione orizzontale, indipendentemente

dalla posizione del cannocchiale, mediante un sistema pendolare(compensatore). Raggiunge

l’orizzontalità con un s.q.m di 0.5 mm su 1000m circa(s.q.m chilometrico < 1mm -> alta

precisione(*)).

Le stadie:

Sono aste centimetrate( o mezze-centimetrate) lunghe 2-4 metri. Per livelli di precisione le

stadi esono custodie di legno/acciaio contenente un nastro di acciaio di invar(coefficiente di

dilatazione termica estremamente piccolo -> dilatazione 0.1 mm ogni escursione termica di

20 gradi) centimetrato. Hanno una livella sferica per renderle verticali. Possono essere munite

di treppiede. Nella parte inferiore hanno una testa emisferica. Per avere una lettura delle

stadie più precisa e limitare gli errori sistematici, i punti tra cui si calcola il dislivello