Risposte aperte Geometria analitica

 MOLTIPLICARE UNA RIGA DELLA MATRICE PER UN NUMERO REALE NON NULLO DETTO

SCALARE

 SOSTITUIRE UNA RIGA DELLA MATRICE CON QUELLA OTTENUTA SOMMANDO A ESSA

UN MULTIPLO DI U’ALTRA RIGA

Descrivere alcune proprietà del determinante.

Se il Det e’ diverso da zero la matrice e’ invertibile

 Se il Det e’ diverso da zero il rango e’ massimo



 Il determiante di una matrice coincide con il determinante della sua trasposta

 Se tutti gli elementi di una rigs o di una colonna sono nulli allora determinante uguale a

zero

 Il valore del det non cambia se sommo o sottraggo ad una riga o una colonna una

qualunque riga o colonna parallela moltiplicata per un numero reale C

 scambiando tra di loro due righe o due colonne il determinante cambia segno, restando

uguale in valore assoluto.

Descrivere brevemente la relazione tra il determinante di una matrice e la

dipendenza/indipendenza lineare delle colonne e delle righe della matrice

Sia A matrice quadrata nxn, La relazione tra il Det di una matrice nxn e la dipendenza o

indipendemza lineare tra le righe e le colonne e’:

Se il det = 0 le righe e le colonne sono linearmente dipendenti, diversamente sono linearmente

indipendenti. Possiamo anche dire che le righe di A sono linearmente indipendenti se e solo se

le colonne sono linearmente indipendenti.

Parlare del rango di una matrice, in particolare enunciando un risultato (teorema,

proposizione o corollario).

di colonne linearmente indipendenti di una matrice nxm e’ detto rango di A

Il massimo numero

e si indica con rank(A). Il rank di una matrice e’ il numero di righe o di colonne non nulle in

una matrice ridotta per righe o colonne. Possiamo anche dare questa definizione : Il rango di

A e’ uguale alla dimensione del sottospazio vettoriale di Kn,1 generato dalle colonne di A.

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Descrivere brevemente come utilizzare il metodo di eliminazione di Gauss-Jordan per

il calcolo dell’inversa di una matrice

Per calcolare la matrice inversa della matrice quadrata A di ordine n occorre:

di uguale ordine ottenendo in questo modo

 Affiancare alla matrice A la matrice identita’

una matrice di ordine nx2n

 applicare sulla matrice ottenuta le equazioni elementari necessarie a ridurre la matrice

A a forma canonica.

la matrice unita’ affiancata sara’ stata trasformata nella matrice A elevato a

 -1.

∈

Data la matrice quadrata di ordine n A, si considera la matrice A In Kn,2n, che ha A

come sottomatrice corrispondente alle prime n colonne e In come sottomatrice

corrispondente alle ultime n colonne. Si applica il metodo di eliminazione di Gauss-

’

Jordan. Il risultato dell algoritmo è una matrice a scalini (B C)

− 1 = C. Altrimenti, A non è invertibile.

Se si ha B = In, allora A è invertibile e si ha A

Descrivere la formula esplicita dell’inversa di una matrice.

Una matrice A Kn,n è invertibile se e solo se detn(A) è diverso da 0. La matrice inversa ha

−1

determinante det A elevato a = 1 /detn (A) ed è la trasporta della matrice dei complementi

algebrici moltiplicata per 1 /detn (A)

Si costruisce la matrice dei complementi algebrici di A, cioe’ la matrice che ha per elemento di

posto (i,j) il complemento algebrico Aij ricavato a partire da A.Si scrive la matrice aggiunta A

di A che per definizione e’ la trasposta della matrice dei

trasposta (A con pedice t)

complementi algebrici individuati nel passaggio precedente. S i moltiplica la matrice aggiunta A

trasposta per l’inverso del valore del det(A) o equivalentemente si divide per il valore del

Det(A). La matrice ottenuta e’la matrice inversa A elevato a -1

Parlare delle applicazioni lineari, in particolare dando la definizione ed enunciando

un risultato (teorema, proposizione o corollario).

Le applicazioni lineari sono le mappe tra spazi vettoriali che preservano la struttura di spazio

vettoriale. Dati due spazi vettoriali V e W sullo stesso campo K, un’applicazione f : V W è

detta lineare, o K-lineare, se valgono le seguenti proprietà:

V si ha f(v +v )=f(v )+f(v );

per la prima applicazione lineare - per ogni v1,v2

V e λ K si ha f(λ · v) = λ · f(v).

per la seconda appl. lineare - per ogni v

L’insieme delle applicazioni lineari da V a W è indicato con Lin(V ,W).

Parlare delle applicazioni lineari associate alle matrici.

L’applicazione lineare associata ad una matrice A è effettivamente lineare. Le proprietà della

◮

definizione di applicazione lineare sono una conseguenza della proprietà distributiva a destra

Kn,m data. L’applicazione fA : Km Kn definita da

del prodotto righe per colonne. Sia A

fA(X) := A · X è detta applicazione lineare associata alla matrice A

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Enunciare il Teorema fondamentale dell’algebra lineare

W un’applicazione lineare, e sia V finitamente generato. Allora, si ha l’uguaglianza

: Sia f : V

dim (Ker(f )) + dim (Im(f )) = dim(V ).

sommata a quella dell’immagine di f mi da la dimensione

La Dimensione del nucleo di f

dell’intero sazio vettoriale.

esempio di conseguenze e’ : sia F: V un’applicazione lineare, e siano V e W

Un --->W

finitamente generati della stessa dimensione. Allora i seguenti fatti sono equivalenti, quindi F

sara’ iniettiva, surgettiva e Bigettiva.

02. Parlare del nucleo delle applicazioni lineari, in particolare dando la definizione, e

parlare dell’immagine e del rango delle applicazioni lineari.

Si dice nucleo di un’applicazione lineare f e si indica con Ker(f) l’insieme dei vettori del

 dominio di f tali che l’immagine e’ il vettore nullo dei vettori del codominio. Ovvero quei

vettori tali che la f(v)=0. La base dell’immagine si ottiene riducendo la matrice

associata all’applicazione lineare per colonna. I vettori rimanenti ( quelli non nulli) sono

la base dell’immagine.

L’immagine di una generica applicazione lineare f:V- W e’ Im(f)=( w appartenente a W

 

esiste v appartenente a V conf(v)=W). L’immagine di una applicazione lineare e’ un

\

sottospazio vettoriale del codominio W

W una applicazione lineare, se V e’ finitamente generato la dimensione del

 

Sia f:V -

sottospazio vettoriale Im(f) e’ detta rango di f ed e’ indicata con rank(f)=dim(Im(f))

Parlare degli isomorfismi, ed enunciare il Teorema di isomorfismo.

Un’applicazione lineare invertibile L’isomorfismo e’ un’applicazione

è detta isomorfismo.

biettiva tra due spazi vettoriali, ovvero un’applicazione lineare sia iniettiva che suriettiva.

Siano V e W due spazi vettoriali finitamente generati sullo stesso campo K, allora V e’ un

isomorfismo e W pure se e solo se dim(V) = dim (W)

Teorema di isomorfismo

Due spazi vettoriali sullo stesso campo sono isomorfi se e solo se hanno la stessa

dimensione. Il fatto che due spazi vettoriali sullo stesso campo hanno la stessa

dimensione non ci assicura che i due spazi sono uguali, ma ci assicura che sono

isomorfi

Siano V e W due spazi vettoriali finitamente generati sullo stesso campo K. Allora, si ha

V = W se e solo se dim (V) = dim (W) .

Parlare delle matrici associate alle applicazioni lineari.

Dati due spazi vettoriali V e W e data un’applicazione lineare V 

- W ( DA V IN W) la matrice

associata ad f e’ unica nel momento in cui si sono fissate una base di V e una base di W. Per

determinare tale matrice si scrive l’immagine tramite f dei vettori delle basi di V, rispetto alla

base di W. I vettori così ottenuti si inseriscono nelle colonne delle matrici.

Parlare dei cambiamenti di base.

vettoriale e date due basi B e B1 di V l’obiettivo e’ scrivere i vettori V, scritti

Dato uno spazio Il procedimento e’: Si prendono i vettori

rispetto alla base di B, rispetto alla nuova base B1.

della prima base B e si scrivono rispetto alla seconda B1, si risolve il sistema, si procede con lo

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stesso procedimento ma con B1, i risultati saranno vettori che formano la matrice del

cambiamento di base.

Parlare brevemente della relazione tra le soluzioni di un sistema di equazioni lineari

e le soluzioni del sistema di equazioni lineari omogeneo associato

Un sistema di m equazioni lineari e n incognite in un campo K, o semplicemente un sistema

lineare, è un sistema in cui i membri delle equazioni sono polinomi in K di grado al più. Dato il

sistema di equazioni lineari A · X = B, il sistema di equazioni lineari A · X = 0 è detto il sistema

di equazioni lineari omogeneo associato al sistema A · X = B. Le soluzioni di un sistema di

equazioni lineari e le soluzioni di quello omogeneo associato sono legate tra loro.

di ouch

Enunciare il Teorema -Capelli, e descrivere alcune delle sue conseguenze.

Il teorema di Rouchè-Capelli afferma che: un sistema di equazioni lineari A · X = B è

compatibile, se e solo se la matrice incompleta e la matrice completa hanno lo stesso rango,

ossia: rank(A)=rank(A/B).

Consideriamo un sistema lineare di equazioni lineari compatibile A · X = B, con m equazioni ed

n incognite. Per il Teorema di Rouché-Capelli, la matrice incompleta e la matrice completa

hanno lo stesso rango, diciamo r. Allora, le soluzioni del sistema possono essere

parametrizzate in n-r parametri.

Descrivere la regola di Cramer.

L’algoritmo di Cramer è usato per calcolare la soluzione di un sistema compatibile con un

numero uguale di equazioni lineari e incognite. Questo algoritmo è usato anche per calcolare le

soluzioni di un qualsiasi sistema di equazioni lineari compatibile. Sia A*X=B un sistema di

equazioni lineari ed incognite con Det(A)diverso da 0. e il sistema abbia A1, A2,…An colonne.

sara’ data da

La i-esima colonna del sistema /Det(A)

xi= Det (A1,A2,Ai-1,Ai,Ai+2….An) –esima

Il Determinante della matrice ottenuta da A sostituendo la colonna con la colonna dei

e’ il Determinante di A. Se A*X=B e’ un sistema di n equazioni lineari ed n

termini noti

con det(A)diverso da 0 allora la soluzione trovata con il metodo di Cramer e’ l’unica

incognite

soluzione del sistema.

Descrivere l’applicazione di uno dei metodi di eliminazione di Gauss, di Gauss con

normalizzazione o di Gauss-Jordan, per la soluzione dei sistemi di equazioni lineari.

Un altro algoritmo, oltre a quello di Cramer, capace di calcolare le soluzioni di un sistema di

equazioni lineari compatibile, è l’algoritmo di Gauss. E’ più veloce del prece