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B
:
U
nicità della soluzione
Definisco Y e V tali che
=
; =
→ matrice di Vandermonde
H è definita positiva (quindi regolare) I
l sistemaammette un'unica soluz.
⇒
La matrice Hessiana 2H è def. positiva La soluz.corrisponde a un minimo
⇒
La matrice H è malcondizionata Si preferiscepolinomi di grado basso
⇒
Se interpolaz. minimi quadrati
= ⇒ ≡
M
etodi 11: Integrazione Numerica
Se una funzione non ha una primitiva in forma chiusa allora posso approssimare con
il polinomio interpolatore
Formula di interpolazione di Lagrange con
dove
G
rado di precisione
Si dice che una formula di quadratura ha grado di precisione se:
ν
(
) = ( ) − ( ) = 0 ≤ ν
I
n particolare, la formula di quadratura è esatta per tutti i monomi con
= 0,.., ν
Se la funzione è costante, in particolare( ) = 1
Allora ∑ = −
=0
I
l grado di precisione varia in base alla distribuzione dei nodi.
In particolare per le formule interpolatorie vale
con
≤ ν ≤ 2 + 1 ≥ 0
dove nel caso di nodi equidistanti
ν ≤ nel caso di nodi non equidistanti
ν ≤ 2 + 1
S
celta dei nodi nelle formule interpolatorie
Differenti distribuzioni di nodi danno origine a differenti formule di quadratura con
diverso grado di precisione
Formule di Newton-Cotes
Formule gaussiane
Formula del trapezio 2
S
i ha: + 1 = 2, ν = 1, ∈
[, ]
Si approssima con una retta passante per ipunti
( ) ( , ), ( , )
0
0 1 1
Formula di Cavalieri-Simpson 4
S
i ha: + 1 = 3, ν = 3, ∈
[, ]
Si approssima con una parabola passante peri punti
( ) ( , ), ( , ), (
, )
0
0 1 1
2
2
Formula dei ⅜ 4
S
i ha: + 1 = 4, ν = 3, ∈
[, ]
Si approssima con un polinomio di terzo gradopassante per i punti
( )
( , ), ( , ), (
, ), ( , )
0
0 1 1
2
2
3
3
L
e formule di quadratura costruite su nodi simmetrici rispetto allo zero e
coefficienti simmetricirispettoalvalorecentralesonoesattepertuttiipolinomidi
grado dispari 2
k
Si verifica poi per i monomi grado pari
⇒
C
onvergenza delle formule di quadratura
Per convergenza si intende:
L
eformulediquadraturainterpolatorieconvergonointuttiqueicasiincuiconverge
il polinomio interpolatore .
(
)
n
T
eorema
Sia con limitato, sia una successione di formule di quadratura
∈[, ] [, ] { ()}
interpolatorie
Allora
OSS: p
er Newton-Coates: i coeff.c sono tutti positivise mentre possono
≤ 7
i
essere sia positivi che negativi per > 7
per le formule Gaussiane i coeff.c
sono tutti positiviper ogni
i
OSS: ogni successione di formule di quadratura concoeff. positivi è convergente
F
ormule di quadratura generalizzate
Per i coefficienti ci delle formule di quadratura hanno segni sia positivi che
> 7
negativi si può avere quindi un’instabilità numerica
P
er evitare l’uso di formule di Newton-Cotes di grado elevato,quandosidisponedi
un numero elevatodidati,sidividel’intervallodiintegrazionein sottointervalliesi
utilizza in ciascun sottointervallo una formula di NewtonCotes di grado basso (in
genere di grado 1 o 2).
F
ormula dei trapezi generalizzata
L'integrale viene approssimato con la somma delle aree dei trapezi
2
S
i ha: + 1 = 2, ν = 1, ∈
[, ]
Si approssima localmente con una retta passanteper i punti
( ) ( , ), ( , )
+1
+1
dove = +
F
ormula di Cavalieri-Simpson generalizzata
L'integrale viene approssimato con la somma delle aree sotto la parabola
4
S
i ha:
= 2, ν = 3, ∈ [, ]
deve essere dispariper poter essere usatala formula
+ 1
Convergenza delle formule dei trapezi e delle parabole generalizzate
Trapezi:
Parabole:
C
riterio di Runge
Nel caso delle formule generalizzate è possibile stimare il resto senza ricorrereal
calcolo della derivata
Se varia poco in
’’( ) [, ]
Allora
Se varia poco in
( ) [, ]
Allora
E
strapolazione di Richardson
Approssimazione più accurata
M
etodi 12: Equazioni Differenziali Ordinarie
F
unzioni Lipschitziane
Problema di Cauchy
p
rob. di Cauchy non ha sempre soluzione facilmente calcolabile
uso metodo per approssimare
⇒ ( )
THM 1 esistenza e unicità soluz. a problema di Cauchy (in piccolo)
THM 2 esistenza e unicità soluz. a problema di Cauchy (in grande)
P
roblema di Cauchy ben posto
Il prob. di Cauchy è ben posto se perturbando di poco la condizione iniziale
( , ) → ( , + δ)
0
0
misuro una differenza di soluzione piccola tra quella iniziale e quella perturbata
|( ; ) − ( ; + δ)| < ϵ
0
0
dove è una prefissata tolleranza e è moltopiccola
ϵ > 0 δ
M
ETODI ESPLICITI
I metodi diEulero
,HeuneRunge-Kuttaclassico sonotutti metodione-step espliciti
,
cioè metodi in cui per il calcolo di siutilizza solo il valore approssimato
+1
M
etodo di Eulero (primo ordine Taylor)
Algoritmo
= + ℎ( ,
)
= 0, 1 ,
...,
+1
M
etodi al secondo ordine
Basati sull’uso dello sviluppo in serie di Taylor di al secondo ordine
( )
M
etodi di Heun (secondo ordine)
Si scelgono i parametri
L’algoritmo è
Metodi di Runge-Kutta (secondo ordine)
M
etodo ammette infinite soluzione
Metodi di Runge-Kutta (quarto ordine)
La sommatoria di tutti i coeff. deve essere paria 1
Metodo di Runge-Kutta (r stadi)
Metodo di Eulero modificato
= 0 ; = 1 ; λ = 1/2
1 2
E
rrori metodi espliciti
Errore globale di troncamento
= ( ) −
questo errore è dato da due contributi:
1. Errore locale di troncamento dovuto al fatto che la soluzione esatta viene
( )
approssimata
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