Metodi Matematici - risposte aperte

Definizioni di limite per una funzione f(x):R→R

Per una funzione f(x):R→R, il limite infinito per x è definito come segue:

Per ogni k reale, esiste un M tale che se x è maggiore di |M|, allora f(x) è maggiore di |k|.

Il limite di f(x) per x che tende a infinito è rappresentato come:

lim f(x) = +∞

Dove ε > 0 è il limite di f(x) per x che tende a infinito.

Per una funzione f(x):R→R, il limite finito per x è definito come segue:

Per ogni ε > 0, esiste un M tale che se x > M (se x tende a +∞) oppure se x < -M (se x tende a -∞), allora f(x) dista da l meno di δ positivo, in generale dipendente da ε.

Il limite di f(x) per x che tende a un valore finito X0 è rappresentato come:

lim f(x) = l

Enunciato del teorema della permanenza del segno:

Se il limite per x che tende a X0 di f(x) è diverso da zero, allora in un intorno di X0 esistono solo valori di f(x) con lo stesso segno del limite.

L'interpretazione grafica del teorema della permanenza del segno è che se il limite di f(x) per x che tende a X0 è positivo, allora la funzione f(x) è positiva in un intorno di X0. Al contrario, se il limite è negativo, allora la funzione è negativa in un intorno di X0.

Intorno conveniente di x₀, f(x) ha lo stesso segno del limite

Se una funzione in un punto x₀ è dotata di limite diverso da 0, enunciare il teorema della permanenza del segno, dandone allora esiste almeno un intorno I di x₀ tale che per tutti i punti x in I i valori della funzione hanno lo stesso segno del limite.

Il teorema di unicità del limite assume forme diverse a seconda dei contesti, ma in ciascuno di questi afferma che non possono esserci due limiti. Se il limite di x che tende a x₀ di f(x) è uguale a l, allora esso è unico.

Se una funzione in un punto è dotata di limite finito, allora esso è unico.

Il teorema del confronto permette di calcolare il limite di una funzione confrontandola con una funzione di cui si conosce il limite.

Enunciare il teorema del confronto, detto anche "dei due carabinieri", che afferma che se una funzione g(x) è minore o uguale a f(x) per tutti i punti x in un intorno tranne forse x₀, e se il limite di g(x) per x che tende a x₀ esiste ed è uguale a l, allora il limite di f(x) per x che tende a x₀ esiste ed è uguale a l.

carabinieri",22 4 funzione confrontandola con altri due oggetti analoghi che sidandone l'interpretazione grafica stringono sempre di più intorno a quello datodate tre funzioni h(x), f(x), g(x):

1. se h(x) e g(x) tendono in un punto x0 allo stesso limiteenunciare il teorema del confronto detto anche "dei carabinieri", xfinito
2. se esiste un interno I del punto x0 in cui f(x) è22 4 dandone l'interpretazione grafica compresa tra h(x) e g(x) in tutti i punti dell'intorno I escluso alpiù x0 stesso, allora anche f(x) avrà in x0 limite uguale ad Iil teorema degli zeri o di Bolzano, per le funzioni continue reali,assicura l'esistenza di almeno una radice della equazione
3. enunciare il teorema degli zeri, dandone l'interpretazione grafica ottenuta eguagliando a zero la funzione, in un intervallo ai cuiestremi la funzione stessa assuma valori di segno oppostose una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato[a,b],

Il teorema degli zeri afferma che se una funzione continua e reale assume valori di segno opposto in a e b, cioè f(a)*f(b)<0, allora esiste almeno un punto interno all'intervallo ]a,b[ in cui la funzione vale zero, cioè f(z)=0. Questo teorema ha un'interpretazione grafica: significa che la curva della funzione attraversa l'asse x almeno una volta tra i punti a e b.

Il teorema dei valori intermedi afferma che se una funzione f(x) è continua su un intervallo chiuso e limitato [a,b], allora essa non può passare dalla grafica da un valore all'altro senza assumere almeno una volta tutti i valori intermedi. Questo teorema ha un'interpretazione grafica: significa che la curva della funzione attraversa tutti i punti intermedi tra il suo minimo "m" e il suo massimo "M".

Il teorema dei valori intermedi riguarda l'esistenza di massimi e minimi di funzioni di una variabile continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b]. Afferma che la funzione assume tutti i valori compresi tra il suo minimo "m" e il suo massimo "M". Questo teorema ha un'interpretazione grafica: significa che la curva della funzione si estende da un punto all'altro del grafico, attraversando tutti i valori intermedi.

variabileenunciare il teorema di Weierstrass, dandone l'interpretazione23 3 reale. Se f(x) è continua in un insieme XCR, chiuso e limitato,grafica allora ammette in X massimo e minimo.

Enunciare il teorema di Weierstrass, dandone l'interpretazione: una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b] è23 3 grafica dotata di massimo e minimo (assoluti).

24 13 calcolare l'asintoto obliquo della seguente funzione l'asintoto obliquo è y=xf(x) =come si calcolano il coefficiente angolare m ed il termine noto q di limite x che tende a infinito di f(x)/x=m (se diverso da 0)

Calcolare l'asintoto obliquo della seguente funzione: l'asintoto obliquo è y=xf(x). Come si calcolano il coefficiente angolare m ed il termine noto q del limite x che tende a infinito di f(x)/x=m (se diverso da 0).

24 14 un eventuale asintoto obliquo limite x che tende a infinito di (f(x)-mx)=q

Un eventuale asintoto obliquo: limite x che tende a infinito di (f(x)-mx)=q.

se una funzione f(x) è derivabile in un punto x0 allora è ivi

Se una funzione f(x) è derivabile in un punto x0, allora è continua.

29 1 descrivi la relazione fra derivabilità e continuità anche continua

Descrivi la relazione fra derivabilità e continuità: anche continua.

asintoto verticale x=2

Asintoto verticale: x=2.

34 6 determina gli eventuali asintoti della funzione nessun asintoto orizzontale

Determina gli eventuali asintoti della funzione: nessun asintoto orizzontale.

2 asintoto obliquo y=x+2

2 asintoto obliquo: y=x+2.

la funzioneIl testo formattato con i tag HTML corretti sarebbe il seguente:

Il testo ha il seguente grafico.

1. Individuare dal grafico eventuali estremanti, esplicitare il segno della derivata prima, dando la spiegazione teorica della relazione tra segno della derivata e andamento della curva ed esplicitare l'eventuale presenza di punti di flesso specificandone la loro natura ed il loro significato sull'andamento della curva. Non ci sono estremanti; f'(x) = (x^3+3x^2)/[2(1+x)^3].

2. Punto di flesso obliqui in (0,0), nessun asintoto verticale.

3. Determinare gli eventuali asintoti della funzione. Nessun asintoto orizzontale. Asintoti verticali x = -1 e x = 1.

4. Asintoti obliqui y = x e y = -x.

5. La funzione f(x) = (x - 1)/x ha il seguente grafico. Non avendo la funzione nessun altro estremante né flesso né asintoto oltre a quelli riportati nella porzione di grafico riprodotta, esplicitarne intuitivamente i limiti al confine del campo di esistenza.

6. La funzione f(x) = x/2 ha il seguente grafico.

Calcolarne illa funzione dominio x∈R\{-1}Dominio, i limiti e gli asintoti34 11 asintoto verticale x=-1 asintoto obliquo y=½x-12 2f(x)=x /( √ x - ha il seguente grafico. Calcolarne illa funzionedominio, i limiti al confine del campo di esistenza, individuare gliasintoti e dare la definizione di limite destro e limite sinistro altendere della funzione ad un valore finiti I. dominio x appartenente -infinito,-1]unito[1, + ininitoasintoto verticale x=-1 e x=134 12 asintoto orizzontale y=1 e y=-13la funzione f(x)= (x+1/x) ha il seguente grafico. Calcolarne ildominio, i limiti e la derivata prima. dominio x appartenente a R diverso da 03 6 334 13 lim x->+inf =1 lim x->-inf= 13la funzione f(x)= (x+1/x) ha il seguente grafico. Calcolarne laderivata prima studiandone il segno e dando la spiegazione teorica 3 6 3della relazione tra segno della derivata e andamento della curva.34 14 3f(x)= (x+1/x) ha il seguente grafico. Calcolarne lala funzionederivata prima studiandone La funzione ha il seguente grafico: Calcolarne la funzione derivata prima studiandone il segno e dando la spiegazione teorica della relazione tra segno della derivata e andamento della curva.

Il segno, individuare eventuali punti di flesso specificandone la natura ed il significato sull'andamento della curva.

La funzione f(x) = x/(x-1) ha il seguente grafico. Calcolarne il dominio, i limiti e la derivata prima.

Dominio: x appartenente a R diverso da -1 e 1

Limite per x tendente a -infinito: -infinito

Limite per x tendente a +infinito: +infinito

La funzione f(x) = x/(x-1) ha il seguente grafico. Calcolarne il dominio, i limiti e gli asintoti.

Dominio: x appartenente a R\{-1,1}

Asintoti verticali: x = -1 e x = 1

Nessun asintoto orizzontale

Asintoto obliquo: y = x

La funzione ha il seguente grafico. Individuare dal grafico eventuali estremanti, esplicitare il segno della derivata prima, dando la spiegazione teorica della relazione tra segno della derivata e andamento della curva ed esplicitare l'eventuale presenza di punti di flesso specificandone la loro natura ed il loro significato.

Non ci sono estremanti; sull'andamento della curva

Punto di flesso obliquo in (0,0)

La funzione ha il seguente grafico.

Il dominio della funzione è X appartenente a R\{0}. La derivata prima si può scrivere in questo modo: f'(x) = -e^[(1-x^2)/x] - [e^(1-x^2)/x]/x^2. La funzione f(x) = (x - 1)/x ha il seguente grafico. Non avendo la funzione nessun altro estremante né flesso né asintoto oltre a quelli riportati nella porzione di grafico riprodotta, si può intuitivamente dedurre il segno della derivata prima f'(x) = (2x^3 + 1)/x^2. La funzione f(x) = x - 1 ha il seguente grafico. Non avendo la funzione nessun altro estremante né flesso né asintoto oltre a quelli riportati nella porzione di grafico riprodotta, si può intuitivamente dedurre il segno della derivata prima f'(x) = 3.

Il grafico della funzione f(x) = √(x) è riportato nella porzione di grafico riprodotta. Non sono presenti estremanti, flessi o asintoti oltre a quelli mostrati nel grafico.

Per quanto riguarda il segno della derivata prima, intuitivamente possiamo dire che la derivata prima sarà positiva per valori di x maggiori di 0, poiché la funzione è crescente in quel tratto. Allo stesso modo, la derivata prima sarà negativa per valori di x minori di 0, poiché la funzione è decrescente in quel tratto.