Riassunto esame Teoria ed elaborazione dei segnali, Prof. Grieco Luigi Alfredo, libro consigliato Teoria dei segnali , Luise, Vitetta

LPF

2 cos (2πf t)

0

In questo modo si ricava la componente in fase del segnale.

k(t)

x(t) Q(t)

LPF

2 sin (2πf t)

0

In questo modo si ricava la componente in quadratura del segnale.

La presenza dei filtri passa basso è necessaria poiché il segnale k(t) contiene oltre alla componente in fase o

quadratura due contributi passa-banda centrati sulla frequenza 2f che vengono eliminati in questo modo.

0

Il segnale originario può essere ricostruito applicando il processo inverso.

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Campionamento non ideale

Il teorema del campionamento è basato sull’ipotesi di segnali a banda limitata, ma tale condizione non è

mai verificata dai segnali reali. Quando si ha a che fare con questi ultimi sorge anche l’impossibilità di

applicare l’ideale ricostruzione del segnale attraverso l’impulso di Dirac poiché anch’esso a sua volta non è

una condizione realmente realizzabile.

Nella pratica prima di un campionatore introduciamo un filtro antialiasing che però non essendo ideale

ha un guadagno non nullo in banda attenuata perciò anche dopo il filtraggio il segnale non ha banda

completamente limitata. Questa condizione porta comunque alla creazione di aliasing più precisamente,

f f

−

nell’intervallo d’interesse si ha un effetto di ripiegamento dello spettro del segnale al di fuori di

,

c c

2 2

tale intervallo. In condizioni ideali, con banda limitata il ripiegamento è nullo.

Quantizzazione con approccio deterministico

Idealmente il processo di campionamento genera una sequenza discreta, relativa ad un segnale analogico,

composta da valori rappresentabili in un numero infinito di cifre. Nella pratica, però i sistemi utilizzati per

l’elaborazione numerica hanno la capacità di elaborare e memorizzare un numero limitato di cifre pertanto

è necessario applicare la quantizzazione che è un’operazione in cui si associa il valore del campione al valore

di ampiezza più prossimo al valor medio che esso assume nell’intervallo interessato. I valori d’ampiezza del

segnale possono essere associati a valori discreti che vengono detti livelli di quantizzazione.

L’operazione di quantizzazione, che è irreversibile, genera il valore quantizzato:

x̂(nT ) = Q[x(nT )]

commettendo un errore: −

e(nT ) = x̂(nT ) x(nT )

I livelli di quantizzazione sono i valori che siamo in grado di memorizzare dopo il processo di quantiz-

zazione. Le soglie di quantizzazione delimitano gli intervalli di quantizzazione, ovvero le regioni in cui

il segnale viene associato a un determinato livello. Il passo di quantizzazione è la distanza tra due livelli

di quantizzazione consecutivi. Se la quantizzazione è uniforme (o lineare), allora il passo è costante e i livelli

di quantizzazione sono equidistanti. In questo caso, le soglie si trovano a metà tra due livelli consecutivi,

separandoli in modo simmetrico.

La rappresentazione è riferita alla quantizzazione uniforme.

Nel caso della quantizzazione non uniforme si vanno a creare intervalli più piccoli dove la concentrazione di

valori dei campioni è più alta ed intervalli più grandi dove la concentrazione di valori di campioni è più bassa;

facendo cosı̀ si presta quindi più attenzione nella quantizzazione di valori che si presentano con maggiore

probabilità diminuendo di conseguenza l’errore. La dinamica del quantizzatore è l’ampiezza dell’intervallo

che i livelli di quantizzazione riescono a coprire, per avere una buona rappresentazione del segnale la dinamica

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−

deve essere almeno della dimensione dell’intervallo di variazione dei valori del segnale D > v v . Se

max min

D è molto minore di tale valore gli errori di overflow/underflow sono rilevanti.

Esempio

Errore di quantizzazione

L’errore di quantizzazione, che è stato definito precedentemente, viene modellato come rumore di quantiz-

zazione. n

Il numero di livelli in un sistema che lavora con n bit per campione sarà L = 2 . 2a

Supponiamo di considerare un intervallo [−a, a] la ”distanza” tra due livelli di quantizzazione sarà ∆ = .

L

Considerando una quantizzazione uniforme possiamo dire: ∆

∆ ≤ ≤

− e(nT )

2 2

che possiamo considerare come un segnale indesiderato.

L’errore di quantizzazione dipende anche dal metodo di quantizzazione scelto. Se si usa l’arrotondamento

il valore campionato verrà posto nel livello di quantizzazione più vicino minimizzando l’errore massimo di

∆

±

quantizzazione che sarà compreso tra . Se si usa il troncamento il valore campionato viene sempre

2

associato al livello di quantizzazione inferiore più vicino, in questo caso l’errore massimo di quantizzazione è

∆.

SQNR (Signal-to-Quantization Noise Ratio)

Il SQNR è un parametro utilizzato per misurare la qualità di un sistema di quantizzazione.

Consideriamo un quantizzatore per arrotondamento ed una quantizzazione uniforme allora avremmo un

parametro: S ≤ ∞

, 0 SQN R <

SQN R = 2

∆

12

dove S è la potenza del segnale ed il denominatore è la potenza del rumore di quantizzazione introdotto du-

rante il processo di discretizzazione del segnale. Solitamente si misura questo parametro in scala logaritmica

12S

ed è approssimabile a 6.02n + 10 log dB.

10 2

L

P

signal

Il rapporto incrementa di un fattore 6dB, dato dalla quadruplicazione del rapporto, per ogni bit

P

noise

aggiunto al quantitizzatore. 23

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Ricostruzione di un segnale analogico

Quando si vuole ricostruire il segnale originario elaborando il campionamento di esso si ha bisogno di utilizzare

un interpolatore. Il dispositivo che svolge questa mansione si chiama DAC.

Filtro di ricostruzione

Dopo che un segnale digitale è stato convertito in analogico dal DAC, quest’ultimo presenterà repliche

spettrali indesiderate intorno ai multipli della frequenza di campionamento. Il filtro di ricostruzione elimina

queste componenti ad alta frequenza, lasciando solo la banda di frequenza originale del segnale, restituendo

cosı̀ un segnale analogico continuo e privo di aliasing.

Viene detto anche filtro anti-immagine e viene posto dopo l’interpolatore.

In genere questo è un filtro passa-basso con frequenza di taglio f leggermente superiore alla f del segnale,

t max

f

ma abbastanza distante da per garantire una buona attenuazione delle frequenze indesiderate.

c

2

Se si ha un un segnale passa-banda si usa come filtro di ricostruzione un filtro passa-banda. Supponiamo

−

che tale segnale abbia banda B = f f e venga campionato ad una frequenza f che rispetti la condizione:

2 1 c

f f

≤ ≤ ∈

k f < f (k + 1) , k

c c Z

1 2

2 2 ≤

il filtro di passa-banda dovrà avere come caratteristiche una frequenza di taglio inferiore f f ed una

low 1

≥

frequenza di taglio superiore f f .

high 2

Interpolazione di ordine zero

Un modo di interpolare, che è la funzione del convertitore D/A, è quello di prendere il valore corrispondente

all’indice n della sequenza e mantenerlo nel tempo sino al prossimo valore disponibile cioè quello all’indice

(n + 1) questo metodo è chiamato interpolazione a mantenimento.

′ +∞

P −

x[n]p(t nT ) dove x[n] è la

il segnale ricostruito sarà determinato in questo modo: x (t) = n=−∞ T

t−

sequenza derivante dal campionamento e p(t) è l’impulso rettangolare causale p(t) = rect( ).

2

T

L’operazione che dal segnale campionato ricava il segnale analogico costante a tratti si chiama Sample &

Hold o interpolazione di ordine zero.

Come ben si nota dalla figura, questo metodo di interpolazione distorce corposamente il segnale, inoltre il

segnale interpolato non è limitato in banda ossia contiene componenti, dette immagini, ai multipli interi

della f queste sono le repliche che derivano dal processo di campionamento, infine anche in banda base si

c

ha una differenza tra il segnale originario e quello ricostruito data da una distorsione d’ampiezza.

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Simone Randino Teoria ed elaborazione dei segnali Sistemi

Compito del filtro di ricostruzione è contrastare una parte di questi effetti eliminando tutte le frequenze

esterne a quelle della banda base e smussando il segnale costante a tratti attutendo la sua caratteristica di

discontinuità.

In condizioni reali si introducono altri errori uno dovuto al tempo di apertura dell’interruttore che ha come

compito l’acquisizione del campione ed uno dovuto al decadimento del valore d’uscita durante il processo di

mantenimento.

Interpolazione cardinale

La formula di interpolazione cardinale è: +∞ t−nT

P

x(t) = x[n] sinc( )

n=−∞ T

è importante notare che la funzione seno cardinale ha una proprietà: è pari a 1 al suo centro (t = 0) e 0 in

corrispondenza dei multipli interi di T. Questo garantisce che ogni campione contribuisca solo al suo punto

di campionamento, senza interferire con gli altri.

Tuttavia questa formula ha due problemi: richiede la conoscenza di tutta la sequenza dei campioni del segnale

antecedenti e successivi all’istante considerato inoltre richiederebbe una somma di infiniti termini che sono

entrambe due situazioni irrealizzabili nella realtà dove si usa invece una forma approssimata del metodo.

Interpolazione di primo ordine

L’interpolazione di primo ordine, o interpolazione lineare, è un metodo utilizzato per stimare i valori intermedi

di un segnale discreto. L’idea è che ogni valore interpolato sia una media ponderata tra i due campioni più

vicini, dove il peso di ciascun campione dipende dalla distanza relativa tra i punti.

Se un segnale è noto agli istanti t con valori x[n], il valore interpolato in un istante intermedio t è dato da:

n −

x[n + 1] x[n] −

x(t) = x[n] + (t t )

n

−

t t

n+1 n

Sistemi

Un sistema, nell’ingegneria dell’informazione, è come un qualcosa che riceve segnali (informazioni in in-

gresso), li trasforma secondo certe regole e produce nuovi segnali in uscita. Studiare i sistemi ci permette di

capire come elaborare, modificare o trattare dei segnali, che possono rappresentare suoni, immagini, dati o

qualunque informazione utile.

I sistemi si possono classificare in:

- Sistemi lineari: sono sistemi che soddisfano i principi di additività ed omogeneità. La risposta di un

sistema lineare ad una somma di ingressi è la somma delle risposte ai singoli ingressi, e la risposta ad

un ingresso scalato è il risultato della risposta scalata.