Riassunto esame Teoria dei Segnali, prof. Banelli, libro consigliato Teoria dei Segnali Luise, Vitetta

RIASSUNTO TEORIA DEI SEGNALI

Si parla di segnali quando ci si occupa di trasmettere o acquisire informazioni.

Tutti i segnali pur provenendo da sorgenti diverse sono:

• Convertiti da analogici a digitali
• Allineati in stringhe di bit
• Protetti dai disturbi
• Trasmesi alla massima velocità
• Facilmente rimandati dalla sorgente verso l'utente

Il segnale può essere definito come il sostegno fisico attraverso cui viene trasmessa o acquisita l'informazione

Sorgente ➔ Canale di Trasmissione ➔ Destinatario

CLASSIFICAZIONE DEI SEGNALI

Segnali

• Determinati: andamento noto in ogni istante

esempio:

SL(t) = A cos(2πf T + φ₀)

• Aleatori: caratterizzabili solo in senso statistico/probabilistico

esempio:

CLASSIFICAZIONE MORFOLOGICA

Si possono classificare i segnali in base alla natura del dominio e del codominio.

In generale il tempo rappresenta le dominio (ascissa dell'asse)

Concetto di Energia e Potenza

Segnali Analogici

Potenza Dissipata Istantea

• P(t) = u(t) · i(t)
• P(t) = R · i²(t)
• = u²(t) / R

P(t) = dE(t)

Energia Totale Dissipata

E_AT = ∫ P(t) dt

E = ∫ P(t) dt

Potenza Media in un Intervallo

Ṕ = 1/T ∫ P(t) dt

Per un segnale possiamo definire energie e potenze "normalizzate" ponendo la resistenza nelle formule precedenti pari a 1 R = 1Ω, in particolare:

Potenza Istantanea

P_x(t) = x²(t)

Energia in "T"

E_T = ∫ x²(t)dt

Potenza Media in "T"

P_T = 1/T ∫ x²(t) dt

E_x = ∫ x_t(t) dt

P_x = lim T→∞

P_T = lim T→∞ 1/T ∫+T/2 -T/2 x²(t) dt

P_s = lim_{ΔT → ∞} ¹/_2ΔT ∫_-ΔT^ΔT s²(t) dt = lim_{ΔT → ∞} ¹/_2ΔT ∫_-ΔT^ΔT A² cos²(ωt) dt = *

cos²(x) - cos²(x) cos(x) = 1/2 cos(x-x) + 1/2 cos(x+x) = 1/2 + 1/2 cos(2x)

ΔT = N·T

* = lim_{(N·T) → ∞} [ ¹/_2NT ∫_-NT^NT A²/₂ dt + ¹/_2NT ∫_-NT^NT A²/₂ cos(2ωt) dt ] =

= lim_{N → ∞} [ A²/_2·N·T ∫_-NT^NT dt + A²/_2NT ∫_-NT^NT cos(2ωt) dt ] =

= lim_{N → ∞} [ A²/_4NT |t|_-NT^NT + A²/_4NT [^sin(2ωt)/_2ω]_-NT^NT ] =

= lim_{N → ∞} [ A²/_2NT 2NT / 2NT + A²/_4NT ( ^{sin(2ω·NT) - sin(-2ω·NT)}/_2ω ) ] = ^A2/₂

SEGNALI PERIODICI

Un segnale si dice periodico, di periodo T, quando

S(t) = S(t+mT)

m∈ 0, ±1, ±2, ..., ∀t

S_T(t) = S(t) , t ∈ [0, T]

S(t) = ∑_m=-∞^+∞ S_T(t - mT)

INFINITE REPLICHE DI UNO STESSO SEGNALE

GAUSSIANA

s(t) = ¹/_√2πσ e^-t2/2σ2

AREA = 1

SEGNALI DISCRETI

SEGNALE PERIODICO

s(m + kN_o) = s(m)

ESEMPIO

S(m) = e^j2πm = cos(2πm) + j sin(2πm)

S(m+1) = e^j2π(m+1) = e^j2πm e^j2π = e^j2πm = S(m)

1 = cos(2π) + j sin(2π)

SEGNALE ESPONENZIALE

s(m) = {

• e^-m , m > 0
• 0 , m < 0

s(m) = s(mT)

s(t) = e^-αt, T = ¹/_α

E_s = _m=-∞∑^∞ s(m) = ∑₀∞e^-2m = ∑₀∞ (¹/_e²)ⁿ = ¹/_1-¹/e² = ^e2/_e²-1

esempio

s(m) = Ae^j2πm/N

s(m+N_o) = Ae^{j2π(m+N_o)/N} = Ae^j2π/N m

e^j2π/N N m = 1

N_o = KN PERIODO !

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SOMMA DI SEGNALI SINUSOIDALI ARMONICI

Dato un segnale:

S(t) = A cos(2πf_ot)

Si dicono segnali armonici di S(t) i segnali sinusoidali con frequenza multipla di f_o:

S_m(t) = A_m cos(2πmf_ot + φ_m)

(o) QUALUNQUE SEGNALE OTTENUTO PER SOMMA DI UN TONO SINUSOIDALE E DI SUE ARMONICHE SUPERIORI, E' PERIODICO

• S₁(t) = A₁ cos(2πf_ot + φ_o) è periodico con periodo T_o = 1/f_o
• S_m(t) = A_m cos(2πmf_ot + φ_m) è periodico con periodo T_m = 1/mf_o

SVILUPPO IN SERIE DI FOURIER

I segnali che portano realmente informazione:

• (•) hanno un andamento complesso
• (•) è difficile eseguire i calcoli
• (•) è difficile definire le operazioni
• (•) è difficile confrontarli tra loro

Ecco che allora ci viene in aiuto lo SVILUPPO IN SERIE DI FOURIER

Quali tipo di funzioni si considerano per lo sviluppo?

cos(2π t/T) → f₁ = 1/T

cos(4π t/T) → f₂ = 2/T

…

cos(2Kπ t/T) → f_k = k/T

Si considerano funzioni sinusoidali aventi una frequenza pari ad un multiplo intero dell'inverso della durata dell'intervallo T.

COME SI CALCOLANO I COEF. DELLO SVILUPPO?

Possiamo sfruttare la proprietà di ORTOGONALITÀ dei segnali!

1. Moltiplico entrambi i membri per cos(2πkt/T)

• ∫_-T/2^+T/2x(t) cos(2πkt/T) = a₀∫_-T/2^+T/2cos(2πkt/T)
• 0 (per l'ortogonalità)
• punto culminante: x(t) = a₀ + ∑a_kcos(...) + b_ksin(...)

(def. di Fourier)

• + ∑a_kcos(2πkt/T)cos(2πkt/T)
• + b_ksin(2πkt/T) cos(2πkt/T) → 0 (per l'ortogonalità!)

poi integro nell'intervallo [‌-T/2‌ , ‌T/2‌]

Tenendo conto dell'ORTOGONALITÀ, ricaviamo:

• ∫_-T/2^+T/2 x(t) cos(2πkt/T) dt = a_kI₂ ➡ dobbiamo visto prima che vale T/2 !

• ⇒ a_k = 2/T ∫_-T/2^+T/2 x(t) cos(2πkt/T) dt

• π a norma del cos²(...)

Quindi i coef. di x(t) = a₀ + ∑_k=1^+∞ a_kcos(2πkt/T) + b_ksin(2πkt/T)

• sono pari a:

MEDIA

• a₀ = 1/T ∫_-T/2^+T/2 x(t) dt

• a_k = 2/T ∫_-T/2^+T/2x(t)cos(2πkt/T)dt k = 1, 2,...,∞
• b_k = 2/T ∫_-T/2^+T/2x(t)sin(2πkt/T)dt k = 1, 2,...,∞

Nota: x(t) ottengo b_k moltiplico per sen(...) & applico lo stesso procedimento

• [Grafico sinusoidale non incluso]