Riassunto esame Analisi 1, Prof. Zanelli Lorenzo, libro consigliato Analisi matematica 1, Paolo Marcellini, Carlo Sbordone

TEOREMI SULLE

FUNZIONI CONTINUE

DEFINIZIONE

Una funzione è continua nel suo DOMINIO se:

→

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TEOREMA SULLA PERMANENZA DEL SEGNO

ENUNCIATO + DIMOSTRAZIONE:

Sia f una funzione continua nel punto e sia

∈ ()

Allora: esiste un intorno A di x tale che:

0

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TEOREMA DI ESISTENZA DEGLI ZERI

ENUNCIATO:

Sia continua, e inoltre per ipotesi:

[

∶ , ] ⟶ ℝ

ALLORA:

DIMOSTRAZIONE: (per assurdo)

Supponiamo (ipotesi) che e definiamo ora un

[,

( ) ≠ 0 ∀ ∈ ];

insieme ovvero:

[,

∶= 0)

Supponiamo inoltre che ∃ . . = ≤

REMIND:

L’estremo superiore è caratterizzato da due proprietà:

1. x è maggiorante di A

0

2. se allora y NON è maggiorante di A

∃ < 0

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Abbiamo supposto che quindi è o positiva o negativa!!!

( ) ≠ 0 ( )

Analizziamo i due casi:

CASO 1: (negativa)

( ) <

Per ipotesi: e si ricorda f essere continua, per il teorema

<

della permanenza del segno per la quale:

Ma ciò è ASSURDO perché ci dice che è ancora un maggiorante

+

dell’insieme A il quale comprendeva tutti i valori di x tali che () < ,

togliendo di fatto il ruolo di maggiorante a andando in contrasto con la

prima proprietà dell’estremo superiore.

CASO 2: (positiva)

( ) >

Per ipotesi: e per la permanenza del segno:

>

Anche qua trovo un assurdo dato che è maggiorante di A

− (ricordando che

, e ciò va in contrasto

A contiene le f(x)<0 e che il Sup può non appartenere ad un insieme)

con la seconda proprietà dell’estremo superiore!

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TEOREMA DI WEIERSTRASS

sui valori di massimo e minimo

ENUNCIATO:

Sia una funzione CONTINUA, allora l’insieme:

[

∶ , ] ⟶ ℝ

ammette MASSIMO e MINIMO, ovvero:

{(), [,

∈ ]}

DIMOSTRAZIONE: (punto di massimo)

Definiamo: {()}

∶= < +∞

]

∈[ ,

Ricordo che per definizione di estremo superiore:

[,

∀ > 0 ∃ ∈ ] . . − < () <

ALLORA:

[, ) )

∀ ∈ ℕ ∃ ∈ ] . . − < ( ≤ ∀, ( >

Ne deduco per confronto che:

→

Ora bisogno fare uso del teorema di BOLZANO-WEIERSTRASS che ci dice

“ogni successione reale limitata ammette almeno una sottosuccessione

convergente”. ( ) ∈ℕ

Sappiamo ora che:

→

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Ricordo ora che f è CONTINUA perciò

→ → →

Con questo posso concludere dimostrando che

∈[,]

Dato che esiste un punto in cui la funzione assume il

valore M esso non è solo l’estremo superiore ma anche il

punto di MASSIMO ASSOLUTO.

NOTA: Nelle dimostrazioni di funzioni continue è sempre bene ricordare la

continuità della funzione per rinforzare le ipotesi

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TEOREMA SUI VALORI INTERMEDI

(teorema di esistenza)

ENUNCIATO:

Sia una funzione CONTINUA, e per ipotesi

∶ (, ) ⟶ ℝ () < (),

allora f assume TUTTI i valori compresi tra e

() ().

DIMOSTRAZIONE:

Definiamo una nuova funzione: CONTINUA in [a,b]

() = () −

E sia ∀ ⇒ () < < ()

() = () − < 0

RISULTA QUINDI: () = () − > 0

Ora, per il teorema degli zeri dove:

Posso affermare che:

QUINDI SI CONCLUDE:

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TEOREMI SULLE

FUNZIONI

DERIVABILI

OSSERVAZIONE

L’ipotesi che una funzione sia DERIVABILE è molto più

“forte” del fatto di essere CONTINUA poiché per essere

derivabile, una funzione DEV’ESSERE necessariamente

anche CONTINUA. DEFINIZIONE

una funzione f definita in un intorno di x si dice derivabile

0

nel punto x se esiste ed è finito il limite:

0

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TEOREMA DI FERMAT sui punti stazionari.

ENUNCIATO:

Sia una funzione, e si supponga un punto di

(, (,

: ) → ℝ ∈ )

estremo locale di f.

Se f è DERIVABILE nel punto allora: ( )

=

DIMOSTRAZIONE:

Ipotesi: supponiamo che è punto di MASSIMO LOCALE.

ALLORA:

ORA: sia vale:

(0,

ℎ > 0 ∈ )

OVVERO, per la permanenza del segno: ( )

≤

POI: sia vale:

(−,

ℎ < 0 ∈ 0)

DI NUOVO, per la permanenza del segno: ( )

≥

E PER CONFRONTO POSSIAMO CONCLUDERE CHE

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TEOREMA DI ROLLE

ENUNCIATO:

Sia CONTINUA e DERIVABILE nel suo DOMINIO,

[

∶ , ] ⟶ ℝ

se () = ()

ALLORA:

DIMOSTRAZIONE:

La dimostrazione verrà generalizzata nel seguente TEOREMA DI LAGRANGE.

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TEOREMA DI LAGRANGE

ENUNCIATO:

Sia CONTINUA E DERIVABILE,

[

∶ , ] ⟶ ℝ

ALLORA:

DIMOSTRAZIONE:

Definiamo una nuova funzione:

(Da notare che abbiamo scritto l’equazione di una retta passante per due

punti di una funzione.)

Definiamo ora un’altra funzione:

OSSERVAZIONI:

1. h(x) è continua perché somma di funzioni continue

a. una per ipotesi: f(x)

b. una è eq. di una retta, polinomio di I grado: g(x)

2. h(x) è derivabile perché somma di funzioni derivabili (stesse ipotesi)

() () ()

= − =

Si verifica subito che: () () ()

= − =

E quindi:

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Ora va applicato il teorema di Rolle dove:

Ne segue che:

Osservo che:

Dall’uguaglianza trovo che

() () () ()

− = =

QUINDI POSSIAMO CONCLUDERE

COME VOLEVASI DIMOSTRARE.

Il teorema è raffigurato nella figura 1.

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TEOREMA DI L’HOPITAL

ENUNCIATO:

Siano due funzioni REALI, CONTINUE e DERIVABILI su [a,b]

[,

, : ] → ℝ

Con e sia per

()

−∞ ≤ < ≤ +∞, ≠ 0 ≠

Siano inoltre i loro limiti infiniti o infinitesimi:

() = () = /±∞

→ →

Ed esista →

Allora: →

Esempio classico:

→ → →

DIMOSTRAZIONE:

Date le ipotesi in cui f e g sono DERIVABILI in x allora sono CONTINUE perciò:

0

() ( ) () ( )

= = = =

→ →

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Dunque:

() () ( ) () ( )

− − −

= = ∙

() () ( ) () ( )

− − −

→ → →

Ora seguendo qualche passaggio algebrico:

) )

() − ( () − (

⋅ = ∙

) )

() − ( () − (

− −

→ → →

− −

Dove il primo pezzo esiste poiché f è DERIVABILE in x per ipotesi.

0

E anche il secondo pezzo esiste poiché g è DERIVABILE in x e inoltre per

0

ipotesi ( )

≠ 0.

Da qui vedo che: () ( )

=

() ( )

→

Noto che f’ e g’ sono funzioni CONTINUE in x perciò:

0

() ( ) () ( )

= =

→ →

Dunque in forza della continuità: ()

() →

=

() ()

→

→

( )

Ricordo che PER IPOTESI esiste finito: da cui deduco che il

= ,

( )

→

rapporto dei limiti è il limite del rapporto, quindi:

→ →

COME VOLEVASI DIMOSTRARE!!!

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FORMULA DI TAYLOR

ENUNCIATO:

Sia DERIVABILE in e sia un certo dove f è

[ (, (,

∶ , ] ⟶ ℝ ), ∈ )

derivabile n-volte in tale punto con CONTINUA, allora:

( )

() ( )

!

( )

Dove il termine di RESTO: verifica il seguente

()

=0

( )

→

DIMOSTRAZIONE: ( ) ( )

Il resto () ( )

= () − ⋅ − =

!

() ()

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

() − ( − ⋅ − − ⋅ − − − …

! !

Osservo che posso applicare il teorema di l’Hopital, infatti:

e verifica che

( ) () ( )

− = 0 ≔ −

→ ( )

inoltre e

() () ()

≠ 0, ∀ ≠ ≠ 0, ∀ ≠

questo mi permetterà poi di applicare Hopital n-volte.