Riassunto esame Analisi matematica 1, Prof. Morsella Gerardo, libro consigliato Analisi Matematica 1, Marco Bramanti, Carlo D. Pagani, Sandro Salsa

Chapter 4 - Derivate (Calcolo Differenziale)

Il calcolo differenziale studia le variazioni infinitesimali di una funzione rispetto ad una variabile indipendente. Una delle principali operazioni del calcolo differenziale è l'operazione di derivazione. Per una funzione y=f(x) dove x è una sua variabile, il differenziale dy ed è definito come dy=f'(x)dx, dove f'(x) denota la derivata della funzione f rispetto alla variabile x, ovvero il limite del rapporto incrementale Δy/Δx per Δx infinitamente piccolo, e dx è l’incremento della variabile indipendente.

Definizione: f: I → R, x₀ ∈ I (I è un intorno di x₀). Se esiste finito il limite del rapporto incrementale della f nel punto (x₀, f(x₀)), calore delta funzione y= f(x)= mx in (oltre a f(x₁)) - in (x₁) - x₀ per x → x₀.

4.1 Derivata di una funzione

Sia f: D ⊆ R → R, x₀ ∈ D (c'è un punto di accumulazione di D). f si dice derivabile in x₀ se esiste

(lim_x→x0 (f(x) - f(x₀))/(x-x₀)) = f'(x₀)

(Limite del Rapporto Incrementale)

Il valore del limite f'(x₀) si dice derivata (prima) di f in x₀.

Osservazione: se f è derivabile in un punto è anche continua in quel punto.

Continuo in x₀: per x → x₀, f(x) - f(x₀)/(x-x₀)→f(x₀):= f'(x₀)

4.2 Teorema (Derivabilità => retta tangente non verticale)

Se f ⊆ R → R, x₀ ∈ X punto di accumulazione, se f è derivabile in x₀ il sema tetto tangente risulta verticale al grafico di f in (x₀, f(x₀)).

4.3 Teorema (Derivabilità => Continuità)

f è derivabile in x₀ ⇒ f è continua in x₀

Dim. f'(x₀) = lim x→x₀ |(f(x₁)-f(x₀))/(x-x₀)| per x → x₀, quindi lim x→x₀ f(x) = f(x₀)

Una funzione derivabile è continua in quel punto ma non è detto il contrario, quindi se una funzione è continua in un punto, non è detto che tale funzione sia per forza derivabile. ∄ continua ≠ derivabile in x₀.

ESempio f(x)=|x| continua in x₀ = 0, non è derivabile in x₀ = 0, poiché lim x|x| = 0, quindi tale funzione è continua ma non derivabile in x₀.

Chapter 4 - Derivate (Calcolo Differenziale)

Il calcolo differenziale...

Una delle principali operazioni del calcolo differenziale...

4.1 Derivata di una funzione

Sia f: D → R...

Si dice derivabile in...

e si scrive

   lim _{h → 0} ^{f(x₀ + h) - f(x₀)}/_h (limite del rapporto incrementale)

e va inoltre detto limite finito si dice derivata (f'(x₀)) di f in x₀.

Osservazione: f'(x₀) è il coefficiente angolare della retta tangente.

  continuità in x₀: per x → x₀ f(x) = lim _{x → x0} f(x₀)

4.2 Teorema (Derivabilità ⇒ retta tangente non verticale)

Se f deriva in x₀, f è continua x₀

Il seno (retta tangente) è verticale...

4.3 Teorema (Derivabilità ⇒ continuità)

Se derivabile in x₀ ⇒ f è continua in x₀

Dim: f(x) = f(x₀) + [f(x₀)] * (x - x₀)...

Una funzione derivabile ⇒ continua in quel punto...

Esempio: f(x) = |x| continua in x₀...

  lim _{x → 0} |x| = 0...

Quindi f continua in x₀...

4.4 Teorema (Derivate Notevoli)

Proprietà fondamentali

• (i) D (xⁿ) = n xⁿ⁻¹ ∀ x ∈ ℝ
• (ii) D (|x|) = |x|⁄x se d di l bu senso solo per x ≠ 0 = 0 se d di l bu senso solo per x = 0
• (iii) D (aˣ) = aˣ ln a per a > 0, x ∈ ℝ
• (iv) D (eˣ) = eˣ ∀ x ∈ ℝ
• (v) D (logₐ x) = 1⁄x logₐ e, x > 0, a > 0, a ≠ 1
• (vi) D (eˣ) = 1⁄x ∀ x > 0
• (vii) D (sin x) = cos x ∀ x ∈ ℝ
• (viii) D (cos x) = -sin x ∀ x ∈ ℝ

• DIM (i) lim [x → x₀] (xⁿ-x₀ⁿ)⁄(x-x₀) = ...
• DIM (ii) lim [x → 0] ...
• DIM (iii) è un caso particolare ...
• DIM (iv) lim [x → 0] ...
• DIM (v) è un caso particolare ...
• DIM (vi) lim [h → 0] ...
• DI