Riassunto esame Analisi matematica 1, Prof. Morsella Gerardo, libro consigliato Analisi Matematica 1, Marco Bramanti, Carlo D. Pagani, Sandro Salsa

Chapter 4 - Derivate (Calcolo Differenziale)

Il calcolo differenziale studia le variazioni infinitesimali di una funzione rispetto ad una variabile indipendente.

Una delle principali operazioni del calcolo differenziale è l'operazione di derivazione. Per una funzione y=f(x) e una sua variabile x, derivare f rispetto ad x definendo come dy/dx si indica l'operazione di derivata della funzione f rispetto alla variabile x, ovvero:

(definizione di derivata)

Definiamo f'(x) il valore del limite f(x+h)-f(x)/h al valore di x₀:

4.1 Derivata di una Funzione

Sia f: D → R, x₀ ∈ D tale che x₀ è un punto di accumulazione di D. f si dice derivabile in x₀ se esiste il limite:

lim_h→0 (f(x₀+h) - f(x₀))/h [Limite del Rapporto Incrementale] e si scrive:

Osservazione: se f è derivabile in x₀, allora:

per x → x₀ dalla sinistra: f(x)-f(x₀)/(x-x₀) = f'(x₀)

4.2 Teorema (Derivabilità ⇒ ∃ Retta Tangente non Verticale)

Sia f: [α,β] ⊆ R → R, x₀ ∈ (α,β), si dice derivabile in x₀ se il limite viene codificato al grafico di f in (x₀, p(x₀)).

4.3 Teorema (Derivabilità ⇒ Continuità)

f è derivabile in x₀ ⇒ f è continua in x₀

Dim: f(x) - f'(x₀).

Una funzione derivabile ⇒ continua in quel punto ma non è detto il contrario...

Esempio: f di f.

lim_x→0 lxl = 0

lim_x→0 x/lxl = 0

4.4 Teorema (Derivate notevoli)

Proprietà fondamentali

1. D(xⁿ) = n x^n-1 ∀n∈ℕ; per il caso solo per x≠0 ƒ(x) = xⁿ con il caso solo per x≠0
2. D(a^x) = a^x ln a, con a>0, x∈ℝ
3. D(log_ax) = 1/(x ln a) ∀x∈ℝ
4. D(ln x) = 1/x x∈ℝ
5. D(e^x) = e^x
6. D(sin x) = cos x ∀x∈ℝ
7. D(cos x) = -sin x ∀x∈ℝ

DIM (i)

• a caso particolare della [...] dove a... e si dimostra in modo analogo al precedente;

DIM (iv)

• lim _Δx→0 log_a(x+Δx)/x - log_ax/x

DIM (vi)

• lim _Δx→0 sin(x+Δx) - sinx/Δx = cos x

DIM (vii)

• lim _Δx→0 cos(x+Δx) - cosx/Δx

ESEMPI

1. a) D(x³) → 3x² - 3 x^-4 ⇒ 3/x⁴ + 1/x
2. b) D(x⁵) → 5x⁴ + x^-2 ⇒ 5/x

A.14 Teorema di Rolle

f: [a,b] → R, continua in [a,b] e derivabile in (a,b) (tale che f(a) = f(b)) ⇒ ∃c