Riassunto esame Analisi matematica 1, Prof. Morsella Gerardo, libro consigliato Analisi Matematica 1, Marco Bramanti, Carlo D. Pagani, Sandro Salsa

Chapter 1 - Insiemi numerici

Un insieme è un contesto in cui vengono raggruppati degli elementi aventi una o più caratteristiche in comune, non necessariamente ordinati secondo una determinata modalità. Gli insiemi generalmente vengono indicati con le lettere maiuscole, mentre gli elementi che ne fanno parte con le lettere minuscole. Insiemi di notevole importanza nello studio dell’analisi matematica sono gli insiemi numerici N, Z, Q, R e C. Questi insiemi descrivono la totalità dei numeri.

Un particolare insieme è quello vuoto, il quale viene indicato con il simbolo Ø. Esso, infatti, non indica propriamente un insieme privo di alcun elemento, ma è considerato tale e sottomesso a tutti gli assiomi relativi agli insiemi. Un altro particolare insieme è l’insieme universo, il quale viene indicato col simbolo U, e comprende tutti gli oggetti della classe di insiemi di cui si parla.

• N = { 0; 1; 2; … | … ∀ n ∊ N }
• Z = { …; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; … | … 0 ∊ Z}
• Q = { m/n, con m, n ∊ Z, n ≠ 0 | 0 ∊ Q }
• IR = {m.C₁C₂C₃… | … con m ∊ Z e 0 ∊ { 0; 1; 2 … } √2 ∊ { 0 }}

La rappresentazione decimale in C₁ C₂ C₃… ℵ ⊂ N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C ⊂ U. I numeri reali sono la corrispondenza biunivoca con i punti de una retta orientata.

1.1 Proprietà di IR

IR è un campo che ammette due operazioni quali somma e prodotto tali che:

• ∀ a, b, c ∊ IR → (a + b) + c = a + (b + c) / (ab)c = a(bc); Proprietà associativa
• ∀ a, b ∊ IR → a + b = b + a; ab = ba; Proprietà commutativa
• ∀ e ∊ IR, ∃ 0 ∊ IR → a + 0 = a; ∃ 1 ∊ IR → ax = a; Esistenza dell’elemento neutro
• ∀ e ∊ IR, ∃ -a ∊ IR → a + (-a) = 0 > b = a;
• ∀ e ∊ IR \{0} > a - 1 ∊ IR → a x 1/a = 1; Esistenza dell’elemento reciproco
• ∀ a, b, c → ∊ IR → a(b + c) = ab + ac; Proprietà distributiva

In IR c’è una relazione d’ordine tale che:

• ∀ a, b, c ∊ IR → a ≤ a;
• ∀ a, b ∊ IR → a ≤ b → b ≤ a; implica
• ∀ a, b, c ∊ IR → a ≤ b b ≤ c;
• ∀ a, b ∊ → ∊ IR → a ≤ b, b ≤ a; se solo se a ≤ c;
• ∀ a, b, c ∊ IR → a ≤ b ↔ c ≤ a ≤ c b; →
• ∀ a, b, c ∊ IR → a ≤ b c; a ≤ c; b; a ≤ cb;

In IR, inoltre, vale l’assioma di completezza, per cui IR si dice COMPLETO. Tale assioma assicura la corrispondenza biunivoca tra gli elementi di IR e i punti della retta orientata.

Chapter 1 - Insiemi numerici (Ripetuto)

Un insieme è un contesto in cui vengono raggruppati degli elementi aventi una o più caratteristiche in comune, ovvero similari. Vengono indicati con le lettere maiuscole, mentre gli elementi che ne fanno parte con le lettere minuscole. Diversi e di notevole importanza nello studio dell'analisi matematica sono gli insiemi numerici: ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, ℂ. Questi insiemi descrivono la totalità dei numeri.

Un particolare insieme è quello vuoto, il quale viene indicato con il simbolo ∅. Questo indica appunto un insieme privo di alcun elemento, e come tale è considerato sottoinsieme di tutti gli altri insiemi. Un altro particolare insieme è l'insieme universale, il quale viene indicato con il simbolo ℵ, il quale comprende tutti gli oggetti della classe di insiemi di cui si parla.

• ℕ = { 0,1,2, ... V ∊ ℕ }
• ℤ = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... } ⊂ ℂ ⊃
• ℚ = { m/n, m ∊ ℤ, n ∊ ℕ } ⊂ ℂ ⊃
• ℝ = { m1.C1C2C3... = a, ⊂ ℂ ⊃ ℤ ∊ ℚ V { 0, 1, 2, ... 9 } √x ∋ rappresentazione decimale n . C1 C2 C3 ...

1.1 Proprietà di ℝ

ℝ è un campo che ammette due operazioni quali somma e prodotto tali che:

• ∀ a, b, c ∊ ℝ → (a + b) + c = a + (b + c) / (a b) c = a (b c); Proprietà associativa
• ∀ a, b ∊ ℝ → a + b = b + a; a b = b a; Proprietà commutativa
• ∀ a ∊ ℝ → 0 + a = a + 0 = a; 1 a = a 1 = a; Esistenza dell’elemento neutro
• ∀ a ∊ ℝ ∃ b ∊ ℝ → a + b = b + a = 0; b = -a; Esistenza dell’elemento opposto
• ∀ a ∊ ℝ \{0} ∃ b ∊ ℝ → a b = b a = 1; Esistenza dell’elemento reciproco
• ∀ a, b, c ∊ ℝ → a (b + c) = a b + a c; Proprietà distributiva

In ℝ c'è una relazione di ordine tale che:

• ∀ a, b ∊ ℝ → a ≤ a;
• ∀ a, b ∊ ℝ → a ≤ b e b ≤ a → a = b;
• ∀ a, b, c ∊ ℝ → a ≤ b 0 Archimede ci dice che ∃n∈ℕ: n⋅1/n > x-y quindi 1/n < y-x.

Definiamo il primo fra i numeri k/n, k∈ℕ tale che x < k/n e k/n < y che x-y < 1/n, quindi z si ha con n=[ (x-y)/n] +1 Supponendo x < 0 n > -m, z = m/n , x < y, quindi 1/3 , ∃m∈ℕ:

Sia α∈ℝ\ℚ, α>0 ⟹ x/α ∈ ℚ ⊂ ℝ, quindi x/α∈ℚ, x<z∉ℚ

1.7 Intervalli

Notazioni: ∀a,b∈ℝ

• (a,b) = {x∈ℝ: a < x < b}
• [a,b) = {x∈ℝ: a≤x < b}
• (a,b] = {x∈ℝ: a < x≤b}
• [a,b] = {x∈ℝ: a≤x≤b}
• (−∞,a) = {x∈ℝ: x < a}
• [−∞,a] = {x∈ℝ: x≤a}
• (b,+∞) = {x∈ℝ: x > b}
• [b,+∞) = {x∈ℝ: x≥b}

Osservazione: I ⊆ ℝ è un intervallo se e solo se ∀a,b,c∈I ni ha che (a,b) ⊆ I.

1.8 Maggioranti, minoranti ed estremi superiori ed inferiori

Sia A ⊆ ℝ A ≠ ∅.

• M ∈ ℝ si dice maggiorante di A se ∀a∈A, a≤M;
• m ∈ ℝ si dice minorante di A se ∀a∈A, m≤a;
• M ∈ ℝ si dice massimo di A e si scrive M=max(A) se ∀a∈A, a≤M e M∈A;
• m ∈ ℝ si dice minimo di A e si scrive m=min(A) se ∀a∈A, m≤a e m∈A;
• A è detto limitato superiormente se ∃M∈ℝ: ∀a∈A a≤M;
• A è detto limitato inferiormente se ∃m∈ℝ: ∀a∈A, m≤a;
• A si dice limitato se ∃M,m∈ℝ: ∀a∈A m≤a≤M;

1.9 Teorema (Completezza di ℝ₊)

Sia A ⊆ℝ₊ con A≠∅

Se A è limitato superiormente allora l'insieme dei maggioranti di A ha un elemento minimo, tale elemento minimo si dice estremo superiore di A e si scrive sup(A). Se A è limitato inferiormente allora l'insieme dei minoranti di A ha un elemento massimo, tale elemento massimo si dice estremo inferiore di A e si scrive inf(A).

Osservazione: Se A ha un elemento massimo allora max(A) = sup(A). Se A ha un elemento minimo allora min(A) = inf(A).

Proprietà fondamentali

Proprietà del Sup

• sup(A) = +∞ se e solo se ∀R ∃a∈A: μ0 ∃a∈A: a>sup(A)−ε. Ogni numero più piccolo di ℓ non è un maggiorante di A, cioè ℓ è il più piccolo dei maggioranti di A.

Proprietà dell'Inf

• inf(A) = −∞ se e solo se ∀R ∃a∈A: μ>a. Dato un qualunque numero M esiste un elemento di A più piccolo di M inf(A)∈ℝ se e solo se ∀a∈A inf(A)≤a e: 1) ∀ε>0 ∃a∈A: a 1 e siccome ε è distanza tra due interi consecutivi, ti alzo una I: ha m n² + n + 10

1) per n=4 2⁴ = 16 > 4*16 + 4 + 10 Vero 2) per n=4 2ⁿ⁺¹ = 2*2ⁿ = (n+1)(n+1) + abbiamo che 2ⁿ⁺¹ = 2*2ⁿ = 2(n+1)(n+1) = 2(n+1) + 2*(n+1) + 11 OK

1.12 Teorema (Disuguaglianza di Bernoulli)

∀n∈N⁺, ∀x∈R : (1+x)ⁿ ≥ 1+nx

Dim 1) per n=1: (1+x)¹ = 1+x Vero 2) per 2) per n≥1: (1+x)ⁿ⁺¹ = (1+x)x(1+x)ⁿ ≥ (1+x)(1+nx) ≥ (1+(n+1)x)² ≥ 4*(1+nx)(1+x) ≥ (1+n+1)x OK

Interpretazione Grafica

Pari Dispari y=x3x / 2x / 1+x Rappresentazione as a riga di colonna: ₍₁₀₎ = (0)⁽⁰⁾ Se = N allora 1: x se 0 = 0 ed Per 10C10 : 1/0!=0 Coefficiente binomiale N su k:

1.13 Somma Progressione Geometrica

Σ_i=0ⁿ xⁿ⁺¹∀x≠1 ∀n∈N¹ c = 1+x+x²+...+xⁿ Dim (1-x) Σ_i=0ⁿ = x⁰ - x^m+1 / (1-x)Σ_i=0ⁿ = x^k - xⁿ⁺¹ = ((1+x,x,x²,x^*))