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Rappresentazione implicita ed esplicita di un sistema dinamico
Rq∈y è il vettore delle uscite (degli effetti).RSe D = 0 il sistema è detto strettamente causale.L’equazione dinamica è data da x(k+1) = Ax(k) + Bu(k), mentre la componentestatica da y(k) = Cx(k) + Du(k). Anche questa rappresentazion si presta aduna implementazione in real time, e siamo in grado di farlo con l’uso di unoschema di simualazione.A questa rappresentazione implicita possiamo associare una rappresentazioneesplicita, che è in funzione di x = x(0) con k=0 e di u(0), u(1), ..., u(k−1), u(k)0( k−1P −x(k) = Φ(k)x + H(k j + 1)u(j)0 i=0kP −y(k) = Ψ(k)x + W (k j + 1)u(j)0 j=0Guardando la rappresentazione implicita ci accorgiamo che è a tutti gli ef-fetti un’equazione alle ricorrenze. Come passare da una rappresentazione adun’altra? Dobbiamo ”sbrogliare” la ricorsione, in questo modo:− − − − −x(k) = Ax(k 1) + Bu(k 1) = A(Ax(k 2) + Bu(k 2)) + Bu(k 1) =2 − −
−= A x(k 2) + ABu(k 2) + Bu(k 1)(questo perchè x(k-1) = Ax(k-2) + Bu(k-2) )3 − − − −= A (Ax(k 3) + Bu(k 3)) + ABu(k 2) + Bu(k 1)e vado avanti cosı̀ fino a che non arrivo a k=1, in cui ottengo:x(1) = Ax(0) + Bu(0)34Generalizzando, Xk k−1 k−j+1·A(k) = A x + j = 0 A Bu(j)0Ora chiaramente per trovare y(k) sostituisco x(k) dentro y(k), ottenendo:k−1Xk k−j+1y(k) = CA x + A Bu(j) + Du(k)0 j=04.1 Le matrici Φ(k), H(k), Ψ(k) e W(k)k- Φ(k) = A matrice di transizione nello statok−1- H(k) = A B matrice delle risposte impulsive nello statok- Ψ(k) = CA matrice di transizione in uscita(D se k=0- W(k) = k−1CA B altrimentiQuest’ultima viende detta matrice delle risposte impulsive in uscita.Ancora una volta, la rappresentazione esplicita non si presta ad implementazioniin real time. Questo perchè col passare del tempo dovrei tenere traccia di tuttoil passato, il che equivale a dire avere un buffer infinito,cosa impensabile. k k T kn TA = λ u v + ... + λ u v1 n1 1 nviene detta forma spettrale della potenza k-esima della matrice ATChiamando c = v x , l'evoluzione libera sarà data da:i 0i k knx (t) = c λ u + ... + c λ ul 1 1 n n1kλ u rappresenta il modo naturale aperiodico. Caratterizziamo questi modi:– 1° caso: λ > 0. Distinguiamo 3 ulteriori casi:- Quando 0 < λ < 1 l'evoluzione libera converge saltellando.Abbiamo un modo naturale aperiodico convergente.∈- Quando λ (1, +∞) abbiamo un modo naturale aperiodicodivergente- Quando λ = 1 il sistema non evolve ⇒ modo naturaleaperiodico costante.– 2° caso: λ = 0 ⇒ modo naturale alternante (vedi di seguito)k k k|λ|– 3° caso: λ < 0, -|λ| = (-1)35A seconda di k pari o dispari esso sarà positivo o negativo. Introduciamo una nuova classe di modi naturali (valida solo per i
sistemi a tempo discreto): il modo naturale alternante (in cui rientra anche il caso λ = 0, anche se impropriamente. -1 – se < λ < 0 l’evoluzione converge a 0 ma alternandosi (da non confondere con le oscillazioni). ∈ -1) – se λ (-∞, l’evoluzione diverge (sempre alternandosi). -1 -x – se λ = ho solo 2 valori (x e ).0 0 Cosi come per i sistemi a tempo continuo, il modo naturale alternato si dirà T ≠ ≠ eccitabile se e solo se V B = 0, mentre si dirà osservabile se e solo se Cu = 0 ii ±jθ ≈ ± Ora, nel caso di autovalori complessi coniugati, e cioè A λ, α jω = mek k T k T T T T -A = uv + σ [cosθk(u v + u v ) + sinθk(u v u v )] a b a B a b b ak k kx (k) = A x = cλ u + mσ [sin(θk + φ)u + cos(θk + φ)u ] l 0 a b dove T T T c = v x c = v x c = v x0 a 0 b 0 a b q 22c + cm = a bφ tale che: ( ccosφ =
amcsinφ = bm4.2 Periodo di campionamento e dicretizzazione
Riassumendo un po’ il tutto, possiamo dire che:
- Sistemi a tempo continuo: leggi esponenziali o pseudoperiodiche con oscillazioni contenute dentro il termine esponenziale.
- Sistemi a tempo discreto: leggi di tipo potenza o pseudoperiodiche con oscillazioni contenute dentro il termine potenza.
Generalmente un processo è un sistema a tempo continuo. Ad ogni istante di campionamento l’oggetto sensore (il campionatore) misura le uscite del sistema. Solitamente tra due istanti di campionamento passa lo stesso tempo, detto periodo di campionamento. −T = t(k + 1) t(k)36T non può mai essere nullo, poichè in natura non c’è niente che misura a tempo continuo. Per semplicità assumiamo che il periodo di campionamento per gli ingressi e per le uscite sia lo stesso (i due dispositivi sono sincroni). Se T è sincrono ai dispositivi di campionamento il sistema è di tipo sincrono, e prende anche il nome di
x(k + 1) = A x(k) + B u(k)
y(k) = C x(k) + D u(k)
La risposta è sì, e si trova che:
TZAξ · x(k + 1) = eξ · y(k) + eBξ · u(k)
dove TZAξ = A, e Bξ = B, C = C e D = D.
- Prendiamo il caso di modi naturali aperiodici.
Atλt
x(t) = eλt x = c1eλ1t u1 + ... + cn eλnt un
ATk
x(kT) = eλkT x0
Ma AkT = (eλT) = A.
Se un sistema a tempo continuo ha un modo naturale aperiodico, il sistema a tempo discreto associato avrà un modo del tipo eλT.Che succede invece per autovalori complessi? Nel caso di sistemi a tempo continuo avevamo un modo del tipo: 37αte [sin(ωt + φ)u + cos(ωt + φ)u]ab.
Nel caso di sistemi a tempo discreto diventa dunque: αtkei(ωT)k + φu + cos((ωT) + φ)u]ab.
Nei prossimi paragrafi c'è un'estensione dei concetti visti con la trasformata di Laplace per sistemi a tempo continuo. Ricordiamoci le principali caratteristiche di un sistema a tempo discreto:
x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k)
y(k) = Cx(k) + Du(k)
dove
x(k - 1) = Φ(k)x + H(k j + 1)u(j)
y(k) = Ψ(k)x + W(k j + 1)u(j)
0 ≤ i ≤ k
0 ≤ j ≤ k
E in cui le 4 matrici sono date da:
Φ(k) = A
H(k) = A B (D se k = 0)
Ψ(k) = CA
W(k) = k - 1CA B altrimenti
Per caratterizzare le evoluzioni forzate non possiamo rimanere nel dominio temporale, ma dobbiamo andare in un dominio della variabile complessa. Per i sistemi a tempo continuo avevamo usato l'operatoredella trasformata di Laplace. Qui invece, ovvero nei sistemi a tempo discreto, usiamo la Trasformata Zeta.
4.3 Trasformata Z e sue proprietà
Mentre per sistemi a tempo continuo avevamo definito
L ∈ → ∈: t sR C
Qui definiamo ∈ → ∈Z : k zN C→f (k) : N R
1⁄8 +∞ 1X f (k)F (z) = Z[f (k)](z) = kzk=0
Valida per funzioni sommabili in un certo dominio.
1) Se →−f (k) = a f (k) + a f (k) F (z) = a F (z) + a F (z)
Questa proprietà è nota come linearità
2) · −Z[f (k + 1)](z) = z F (z) z(0)
questa seconda proprietà prende il nome di Teorema dello shift in avanti
3) F (z)−Z[f (k T )](z) = Tz
4) z kZ[σ f (k)](z) = F σ
5) d· −z ·Z[k f (k)](z) = F (z)dz
Sulla base di queste proprietà riusciamo a fare tutto quello che ci serve.
39La nuova rappresentazione esplicita nel dominio della variabile complessa z saràdata da: ( −1 −1− −x(z) = zC(zI A) x + [C(zI A) B +
D]u(z)0-1 -1- -y(z) = zC(zI A) x + [C(zI A) B + D]u(z)0
Se, in un sistema a tempo discreto, abbiamo tutti autovalori reali possiamo scrivere nel seguente modo la matrice Φ(z):
zE(z)Φ(z) = - · · · -(z λ ) .... (z λ )1 r
Come antitrasformo Φ(z)? Con il metodo dei residui:
zz ··· + ... + RΦ(z) = R r1 --z λ z λ1 r
dove -z λ i·R = lim Φ(z)i zz→λi k kr=⇒ Φ(k) = R λ + ... + R λ1 r1 T
Se r = n (tutti autovalori reali e distinti), R = u v . Inoltre, in tal caso il rango(R ) = û , vale a dire che il rango dell'i-esimo residuo coincide con la molteplicità geometrica dell'i-esimo autovalore.
Vediamo il caso in cui l'ordine sia maggiore di uno. In tal caso,
zE(z)Φ(z) = m m- · · · -(z λ ) ... (z λ ) r11 r
E consideriamo per semplciità il caso di autovalori reali.
Avremmo m termini per z−, m termini per zλ e così via. 12 2 zE(z)Φ(z) = =m m− · · −(z λ) ... (z λ)1 r1 rz z z z zz +R +...+R +...+R +R= R 1,2 1,m r,1 r,2 r,m1,1 1 i2 m 2 m− − − − − −z λ (z λ) (z λ) z λ (z λ) (z λ)1 r1 2 1 r r rdove −jm m−d (z λ)i ii· ]R = lim [Φ(z)i,j −jmdz ziz→λ i mr i zzE(z) X X= R=⇒ Φ(z) = i,jm m j− · · − −(z λ) ... (z λ) (z λ)1 r
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