Riassunto esame Teoria dei sistemi, prof. Monaco

Rappresentazioni Lineari

Lo studio di fenomeni fisici conduce alla formulazione di descrizioni matematiche: sistemi di equazioni differenziali che permettono di esprimere le legame tra ingressi e uscite tramite variabili interne dette "lo stato".

Ci occupiamo di rappresentazioni lineari e stazionarie, ovvero che ammettono funzione generatrice f(x,u) e trasformazioni in uscita h(x,u) lineari nelle variabili (x,u).

La rappresentazione con lo stato diventa quindi

x(t) = f(x(t), u(t)) = A x(t) + B u(t)

y(t) = h(x(t), u(t)) = C x(t) + D u(t)

x(t₀) = x₀ ∈ Rⁿ

Quindi se

• n = dimensione del vettore x
• p = numero di ingressi, dimensione del vettore u
• q = numero di uscite, dimensione del vettore y

A ∈ mat (n x n) - Matrice Dinamica

B ∈ mat (n x p) - Matrice degli Ingressi

C ∈ mat (q x n) - Matrice di trasformazione dello stato in uscita

D ∈ mat (q x p) - Matrice del legame diretto ingresso-uscita

ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t)

y(t) = Cx(t) + Du(t)

Rappresentazioni Lineari

Lo studio di fenomeni fisici conduce alla formulazione di descrizione matematiche - sistemi di equazioni differenziali che permettono di esprimere le legami tra ingressi e uscite tramite variabili interne dette "di stato".

Ci occupiamo di rappresentazione lineari e stazionarie, ovvero che ammettono funzione generatrici f(x,u) e trasformazione in uscita h(x,u) lineari nelle variabili (x,u).

La rappresentazione calibrata si dilata quindi

ẋ(t) = f(x(t), u(t)) = A x(t) + B u(t) y(t) = h(x(t), u(t)) = C x(t) + D u(t) x(t₀) = x₀ ∈ Rⁿ

Quindi se

• n - dimensione del vettore x
• p - numero di ingressi, dimensione del vettore u
• q - numero di uscita, dimensione del vettore y

A ∈ mat (n x n) MATRICE DINAMICA B ∈ mat (n x p) MATRICE DEGLI INGRESSI C ∈ mat (q x n) MATRICE DI TRASFORMAZIONE DELLO STATO IN USCITA D ∈ mat (q x p) MATRICE DEL LEGAME DIRETTO INGRESSO - USCITA

{ẋ(t) = A x(t) + B u(t)} {y(t) = C x(t) + D u(t)}

RAPPRESENTAZIONI LINEARI STAZIONARIE NEL DOMINIO DEL TEMPO

Il modulo

{ x(t) = A x(t) + B u(t)

y(t) = C x(t) + D u(t)

x(t_o) = x_o ∈ Rⁿ

è detto MODELLO IMPLICITO. Suggerisce uno schema fisso mediante il quale realizzare il sistema:

Il MODELLO ESPLICITO, invece, descrive la evoluzione nel tempo di x(t) ed y(t) associati ad un fissato stato iniziale x_o al tempo t_o e ad un ingresso u definito da t_o in poi. Tale modello ha la struttura seguente:

x(t) = Φ(t - t_o) x(t_o) + ∫_to^t H(t - τ)u(τ) dτ

y(t) = Ψ(t - t_o) x(t_o) + ∫_to^t W(t - τ)u(τ) dτ

Definiamo la funzione di matrice

I + At + A²t²₂ + ... + A^kt^k_k! = e^At

derivando la serie termine a termine ottengo

d^dt (I + At + A²t²₂ + A³t³_3! + ...) = A (I + At + A²t²₂ + ...) = A e^At

x(t) = e^Atx_o è soluzione unica e globalmente definita di

x(t) = Ax(t) x(0) = x_o

A questo punto è chiaro che, posti

Φ(t) = e^At

H(t) = e^AtB         matrice delle risposte impulsive nello stato

Ψ(t) = Ce^At

W(t) = Ce^AtB + Dδ(t)         matrice delle risposte impulsive in uscita

Il modulo esplicito è soluzione di quello implicito

y(t) = Ce^A(t-t₀)x(t₀) + ∫_t0^t(Ce^A(t-τ)B + Dδ(t-τ))u(τ)dτ

x(t) = e^A(t-t₀)x(t₀) + ∫_t0^te^A(t-τ)Bu(τ)dτ

• EVOLUZIONE LIBERA dipende dallo stato iniziale, ma non dall'ingresso (u=0)
• EVOLUZIONE FORZATA dipende solo dall'ingresso non dallo stato iniziale (x₀ =0)

• H e W hanno colonne che possono essere interpretate come risposta forzata ad ingressi impulsivi
• Per le risposte forzate vale il PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI
• Il comportamento forzato ingresso-uscita è descritto da W; per questo si dice che W è un modello del comportamento forzato ingresso-uscita
• Passare dal modello implicito a quello esplicito corrisponde ai calcoli delle evoluzioni nello stato e in uscita
• Passare dal modello esplicito (nella pratica da W) al modello implicito è detto PROBLEMA DELLA REALIZZAZIONE (praticamente dato W trovare A,B,C e D, ovvero una volta passato al modello implicito posso realizzare fisicamente il sistema, o simularlo al calcolatore)

RICHIMI DI GEOMETRIA

• Data una matrice A un numero λ ed un vettore v sono detti autovalore e corrispondente autovettore se

(A - λI)v = 0

• Gli autovalori λ_i si trovano risolvendo

d(λ) = det (λI - A) = 0

d(λ) = POLINOMIO CARATTERISTICO

d(λ) = (5 - 2λ )⁴ (5 - λ )^hr

• La molteplicità di λ_i come zero di d(λ) è detta MOLTEPLICITÀ ALGEBRICA (M)

m(λ)_i = POLINOMIO MINIMO

È il minimo comune multiplo dei polinomi a denominatore dell’inverso di (λI - A). Ha le stesse radici del polinomio caratteristico, ma ognuna con molteplicità m_i ≤ M_i.

m_i è la MOLTEPLICITÀ GEOMETRICA

• La forma QUASI DIAGONALE A COEFFICIENTI REALI, indicata con D, esiste se A è regolare, ovvero se tutti gli autovalori hanno molteplicità geometrica unitaria. Allora, dati gli autovalori

λ₁, ..., λ_m1 ∈ ℝ

d₁ + jω₁, ..., d_m2 + jω_m2 ∈ ℂ

con M₁ + 2M₂ = N^th sima

D = TAT^-1 = (V₁V₂...V_m1 = 0V_m2^b̄)

A (u₁ m₁ u₂ m₂ m₃ m_m20 u_m20 u_m2b̄)

=

( | λ₂ λ_m1 α₂ ω₂ | | -ω₂ α₂ ... | | α_m2 ω_m2 | )