Riassunto esame Analisi Matematica I, Prof. Palumbo Biagio, libro consigliato Funzioni algebriche e trascendenti, Biagio Palumbo, Maria Cristina Signorino

1.1 Il sistema dei numeri reali: cenni ad una dei costitutiva

N: numeri naturali { 1, 2, 3, ... }

Z: numeri interi

Q: numeri razionali

IR: numeri reali

1.2 Definizione assiomatica dei numeri reali

Partiamo direttamente dall’insieme IR :

ASSIOMI DI CAMPO

L’insieme IR dei numeri reali è chiuso rispetto a due op. fondamentali: addizione e moltiplicazione.

1. Commutatività. Add. e molt. sono commutative.

a + b = b + a ed a . b = b . a

2. Associatività. Add. e molt. sono associative.

( a + b ) + c = a + ( b + c ) ed ( a . b ) . c = a . ( b . c )

3. Distributività.

a . ( b + c ) = a . b + a . c

4. Esistenza elementi neutri.

0 + x = x

1 . x = x

5. Esistenza dell’opposto.

x + ( - x ) = 0

6. Esistenza dell’inverso.

x . x^^-1 = 1

TEOREMI

Th 1.d.: LEGGE DI CANCELLAZIONE PER L’ADDIZIONE

Dim. oss. x + y

( - t ) + t

Th 2.E: LEGGE DI CANCELLAZIONE PER LA MOLTIPLICAZIONE

Partendo dalla stessa oss

Partendo dall'ip: a c ≤ b c e, moltiplico per l'inverso di c _₁: a c c⁻¹ ≤ b c c⁻¹ , da cui: a ≤ b essendo c c⁻¹ = 1 ◻

Tn 1.3.1: Unicità degli elementi neutri. Gli elementi neutri 0 ed 1 sono unici.

Dim per assurdo (suppongo che la tesi sia falsa)

Supponiamo x assurdo che esista un altro elemento neutro per l'add., distinto da 0, che indiciamo con 0'.

Possiamo scrivere x + 0 = x = x + 0'. Otteniamo l'inguguaglianza x • 0 = x • 0' , per il Tn 1.3. si ha 0 = 0' assurdo!

Stesso procedimento per l'elemento neutro della moltiplicazione. ◻

Conseguenza: ogni num reale ammette due numeri reali: il proprio opposto e l'elemento neutro.

Tn 1.4: Se ogni num reale risulta _{a • 0=0}

Dim Sappiamo che a è un numero reale e si può scrivere come il risultato 0 e l'elemento neutro dell'add.

Si ha: a • 0 = a • (1+0) = a • 0 + a • 0 che per il Tn 1.1 segue a • 0 = 0 ◻

Conseguenza: i due elementi neutri sono distinti.

N.B. Dato assiomi S e G definiamo:

• differenza (b-a): b - x a x somm./sot. a = a si ha x = b - a
• rapporto (¹_b): b • a = x esendo a≠0, esiste a⁻¹. moltiplicando per a⁻¹ si ha b•a⁻¹•x dove a⁻¹ coincide con ¹_a

Tn1.5: legge di annullamento del prodotto

Se per due num reali x ed y vale x • y = 0, allora risulta x = 0 o y = 0.

Dim Supponiamo che uno dei due valga (x), sia x≠0. Posso scrivere:

y • 1 • y ed 1 • x⇒ x • y • 1 = x • y • 1 = x • (x • y). Per ip x • y = 0, dunque y = 0. ◻

Conseguenza: il prodotto tra due num reali non nulli è necessariamente non nullo.

Assiomi dell’ordine: lo scopo è definire una relazione d’ordine che sia compatibile con le op. Appena definite.

Supponiamo l’esistenza di un rapporto sostitutivo_R⁺ detto insieme dei numeri positivi

7 Chiusura di R⁺ rispetto ad addiz. e moltiplicaz: Comunque si considerino x ed y appartenenti ad R⁺, i numeri: x•y e x•y appartengono ad R⁺.

8 Per ogni num reale x≠0, vale esamunitariamente una delle seg. alternative: 0 0 ↔ II e IV quadr.

Funzione omografica g(x) = (ax + b)/(cx + d)

razionali intere fratte

irrazionali intere fratte

lim_x→c^- g(x)=L significa che cmq si fiss: ε>0, ∃δ₁ | ∀x⇒0< x-a < δ ⇒ |g(x)-L|<ε.

Funzione continua a dx di un punto

Sia β una funzione definita almeno in un intorno dx chiuso di a; si dice che β è continua a dx in a se esiste il limite per x→a⁺ ed è uguale a f(a). lim_x→a⁺ β(x)=β(a).

Funzione continua a sx di un punto

Sia β una funzione definita almeno in un intorno sx chiuso di a; si dice che β è continua a sx in a se esiste il limite per x→a^- ed è uguale a f(a). lim_x→a^- β(x)=β(a).

Limite +∞ per x → a finito

Sia β una funzione definita almeno in un intorno bucato di a. Il simbolo lim_x→a β(x)=+∞ significa che:

∀H>0 ∃δ>0 | 0<|x-a|<δ ⇒ g(x)>H

Limite -∞ per x → a finito

Sia β una funzione definita almeno in un intorno bucato di a. Il simbolo lim_x→a β(x)=-∞ significa che:

∀H>0 ∃δ>0 | 0<|x-a|<δ ⇒ g(x)<-H

Teorema 3.24: Limite della reciproca di una funzione infinitesima

Sia β una funzione definita in I=(a,b) e sia lim_x→a^- β(x)=0. Se β(x)>0 ∀x∈I, allora:

lim_x→a^- 1/β(x)=+∞. Se invece β(x)<0 ∀x∈I, allora il limite suddetto è -∞.

Dimostrazione

CASO f(x)>0:

Fissato h>0 ∀ε>0 ∃δ>0 | 0<x-a<δ ⇒ |β(x)|⟨ 1/h, se β(x)⟨1/|h

⟨ 1/h ma xnpββ(x)>0 ⇒ 0&⟨ β(x)< 1|h

CASO f(x)<0:

Fissato h>0 ∀ε>0 ∃δ>0 | 0<x-a<δ ⇒ |β(x)|⟨ 1/h, se β(x)⟨1/|h

⟨ 1/h ma xnpββ(x)>0 ⇒ 0⟨ β(x)< 1/|h

Limiti infiniti per x → ±∞

lim_x→±∞ g(x)=L ⇔: ∀ε>0 ∃ʞε I x > ʞε |g(x)-L|<ε

Limite finito per x →±∞

lim_x→-∞ g(x)=L ⇔: ∀ε>0 ∃ʞε I x < ʞε |g(x)-L|<ε