Riassunto esame Analisi matematica 1, Prof. Morsella Gerardo, libro consigliato Analisi Matematica 1, Marco Bramanti, Carlo D. Pagani, Sandro Salsa

Chapter 7 - Eq. DIFFERENZIALI

In analisi matematica, un'equazione differenziale è un'equazione che lega una funzione incognita g(x) alle me derivate, dove l'ordine massimo di derivazione di g(x) è l'ordine dell'equazione differenziale, la funzione è di una sola variabile e l'equazione prende il nome di equazione differenziale ordinaria, viceversa viene detta equazione differenziale alle derivate parziali.

Se invece cade in un contesto parametrici allora una soluzione della funzione è il fatto di dover equazioni dell'equazione derivata posiziale.

Risolvere un'equazione differenziale significa trovare le le funzione g(x) integrabili con semplicità esempi comprensibili del calcolo delle funzioni. Si cerca di trovare tutte le funzioni cui derivata è uguale a xⁿ, ossia la primitiva di x^n-1 per un integrando elemento infinito: derivato soluzioni g(x) = ∫g(x)dx = ∫f dxⁿ = arctg(x) + c, con c ∈ ℝ

7.1 Definizione (Equazione differenziale di ordine n)

Un'equazione differenziale di ordine n è un'equazione della forma F(x; y; y'; ...; y⁽ⁿ⁾) = 0 con F funzione di n+2 variabili e y: I ⊂ ℝ → ℝ una funzione incognita.

Esempi e integrale generale di F(x; y; y'; ...; y⁽ⁿ⁾) = 0 e ci esistono di tutte le sue soluzioni.

ESEMPI

• a) Caduta di un grave in assenza di ostacoli:

F = -mg

La posizione

v(t) = y'(t)

a(t) = y''(t)

y(t) coordinata del punto al tempo t, l'lim m = [t₁, t₂], y = V(t₂) + 1/2 a(t₁)

1/2(t² - t₁)^m = v(t) + 1/12 F

• b) Osso scorrevole in presenza del calcolo:

F = -mg - β(y(t)) = -mg - βy(t)

7.2 Definizione (Equazione differenziale in forma normale)

Un'equazione differenziale di ordine n e data in forma normale ed è del tipo y⁽²⁾ = ϕ(x, y; y')

ESEMPIO y' = 2cos(x)(y)e^-x (e.g. differenziale di II ordine normali)

7.3 Definizione (Equazione differenziale lineare)

Un'equazione differenziale di ordine n e data in forma lineare ed è del tipo y⁽ⁿ⁾ + a₁(x)y^(n-1) + ... + a₀(x)y = g(x)

ESEMPIO y^''x²y + xy = e^x (e.g. differenziale del II ordine, lineare, ma non omogenea)

Chapter 7 - Eq. DIFFERENZIALI

In analisi matematica, un'equazione differenziale è un'equazione che lega una funzione incognita g(x) alle sue derivate, dove l'ordine massimo di derivazione di g(x) è l'ordine dell'equazione differenziale, la funzione è di una sola variabile e l'equazione contiene soltanto derivate ordinarie, viene detta equazione differenziale ordinaria, se invece dipende da più variabili e l'equazione contiene derivate parziali della funzione è detto equazione delle derivate parziali. Risolvere un'equazione differenziale significa trovare le sue soluzioni, che sono funzioni con semplici esempi come g(x)=xⁿ (eq. differenziale del I ordine, dove si chiede di trovare tutte le funzioni cui derivata è uguale a xⁿ ... pezzi all'integrando elimmino infinite soluzioni: g(x) = ∫g(x)dx = ∫f dx = arctg(x) + c, con c∈R

7.1 Definizione (Equazione differenziale di ordine n)

Un'equazione differenziale di ordine n è un'equazione della forma F(x,y,y',...,y⁽ⁿ⁾)=0 con F funzione di n+2 variabili e y: I⊂R→R funzione incognita y(x),y'...,y⁽ⁿ⁾ ovvero una funzione y∈C⁽ⁿ⁾Intervallo tale che (x,y(x),y'(x),...,y⁽ⁿ⁾(x))...

∀x∈I, è l'integrale generale di F(x,y,y',...,y⁽ⁿ⁾)=0 e l'insieme di tutte le sue soluzioni.

ESEMPI

1. Caduta di un grave in assenza di attriti:

   F:mg=g9.81m/s²

2. Cosa succede in presenza di attrito:

   F=mg=3βv(t)-mg=3βv(t)...

7.2 Definizione (Equazione differenziale in forma normale)

Un'equazione differenziale di ordine n è detta in forma normale se è del tipo y⁽ⁿ⁾=f(x,y,y',...,y^(n-1))

ESEMPIO

y'²=xcos(y) (eq. differenziale del II ordine normale)...

7.3 Definizione (Equazione differenziale lineare)

Un'equazione differenziale di ordine n è detta lineare se è del tipo y⁽ⁿ⁾(x)+a_n-1(x)y^(n-1)(x)...

ESEMPIO

y"_xxxy^-12xy^-2ex (eq. differenziale del II ordine lineare, non omogenea)

7.4 Teorema (Integrale Generale)

L'integrale generale dell'equazione yⁿ + a_n-1(x)y^n-1 + ... + a₁(x)y' + a₀(x)y = g(x),

con x₀ ∈ ℂ e I l'integrale generale dell'equazione yⁿ + a_n-1(x)y^n-1 + ... + a₁(x)y' + a₀(x)y = 0 con x₀ ∈ ℂ e I, una

soluzione particolare dell'equazione yⁿ + a_n-1(x)y^n-1 + ... + a₁(x)y' + a₀(x)y = g(x).

DIM. Sia y₀ la soluzione dell'equazione yⁿ + a_n-1(x)y^n-1 + ... + a₁(x)y' + a₀(x)y = g(x), e d'altra parte y₀, x ∀x_1,...,n ∈ ℂ,

y = y₀ + ∑_k=1ⁿ( x ) ∀x ∈ I soluzione della stessa equazione. Esso che:

yⁿ + a_n-1(x)y^n-1 + ... + a₁(x)y' + a₀(x)y = 0

7.5 Equazioni Differenziali Lineari Omogenee del I Ordine

Sia y' = a(x)y, con a ∈ ℂ(I)) con I ⊂ ℝ → I intervallo.

Sia A(x) = ∫a(x)dx abbiatomo che:

7.6 Teorema (Integrale Generale dell'Equazione Differenziale Lineare Omogenea del I Ordine)

L'integrale generale dell'equazione differenziale lineare omogenea del I ordine, y' = a(x)y, con a ∈ ℂ(I), I ⊂ ℝ → I,

è: y(x) = ce^A(x), con x ∈ I, con A un primitva di A e c costante arbitraria.

ESEMPIO y' = 2xlog(x), a(x) = log(x), I = 0,+∞

7.7 Equazioni Differenziali Lineari Non Omogenee del I Ordine

Sia y' = a(x)y + g(x), con a,g ∈ ℂ(I), f continuo in I.

7.8 Teorema (Integrale generale dell’equazione differenziale lineare non omogenea del I ordine)

L’integrale generale dell’equazione differenziale lineare non omogenea del I ordine, y’ = a(x)y + g(x), con a, g ∈ C_I, I ⊆ ℝ → ℝ, è y(x) = e^{∫a(x) dx} ( c + ∫e^{-∫a(x) dx}g(x) dx), con A(x) = ∫a(x)dx e c ∈ ℝ costante arbitraria.

Esempi,

1. y’ = 2y + 3 x (lineare, non omogenea, I ⊆ ℝ) | a(x) = 2 | g(x) = 3

Avremo che l’integrale generale dell’equazione: y(x) = e^{∫2 dx} ( c + ∫e^-2x3 dx) = e^2x ( c - 3/2 e^-2x) = c e^2x - 3/2.

2. y’ = 2x y + x³ (lineare, non omogenea, I ⊆ ℝ) | a(x) = 2x | g(x) = x³

Avremo che l’integrale generale dell’equazione: y(x) = e^(-x2)(c + 1/2 e^x2(1 + x²)).

3. y’ = log(x) - log(x) (lineare, non omogenea, I ⊆ ℝ)

Avremo che l’integrale generale dell’equazione: y(x) = -e^x log(x) + c e^x

7.9 Equazioni differenziali lineari del II ordine a coefficienti costanti

Sia g_x y’’ + b y’ = 0, con g ∈ C_I, b, c ∈ ℝ;

Sia β: D ⊆ ℝ → ϕ, poniamo : Re[] | ∀: Im[], | ∀ ∈ ∈ ∪ : → ℝ.

7.10 Definizione (Limite di funzione complessa)

Sia : D ⊆ ℝ → ϕ, ₀ ∈ , se scrive lim_→ = .

7.11 Definizione (Derivata di una funzione complessa)

Sia : D ⊆ ℝ → ϕ, ₀ ∈ , se scrive derivabile in ₀ è ()

7.12 Equazioni differenziali lineari omogenee del II ordine a coefficienti costanti

Sia gxy'' + bxy' + ay = 0, con g ∈ ℂ \ {0}, b, a ∈ ℝ;

Siano λ₁, λ₂ ∈ ℂ le radici del polinomio P(λ) = λ² + bλ + a = 0 detto il polinomio caratteristico dell'equazione

gxy'' + bxy' + ay = 0, quindi l’integrale generale di tale equazione è:

1. se Δ = b² - 4ac > 0 (cioè λ₁, λ₂ ∈ ℝ, con λ₁ ≠ λ₂), y(x) = c₁e^λ₁x + c₂e^λ₂x
2. se Δ = b² - 4ac = 0 (cioè λ₁ = λ₂ = λ), y(x) = e^λx(c₁ + c₂x)
3. se Δ = b² - 4ac < 0 (cioè λ₁ = \(\frac{-b}{2}\) ± iω, con λ = \(\frac{-b}{2}\), ω = \(\frac{\sqrt{|Δ|}}{2g}\)) y(x) = e^λx (c₁cos(ωx) + c₂sin(ωx))

con c₁, c₂ costanti ∈ ℝ arbitrari, per cui non finite soluzioni.

Dim: λ₁, λ₂ ∈ ℝ di P(λ) = λ² + bλ + c, sono fattorizzabili come (λ - λ₁)(λ - λ₂): λ₁ + λ₂ = b; λ₁λ₂ = a

Definiamo una nuova funzione ogni y: ℑ → ℝ soluzione dell'equazione gxy'' + bxy' + ay, e definiamo

y(x) = x e^λx i suoi integrali, vogliamo trovare un'equazione differenziale di cui Σ sia soluzione.

y = e^λx;

y'' - λ₁ y' λ₂ x^y, ossia [eq. differenziale lineare del I ordine, omogenea]

q = λ e^λx, ancora un'equazione differenziale del I ordine, non omogenea

Ancora da distinguere i casi:

1. λ₁ ≠ λ₂ reali/coniugate, e \(\frac{c₁ e^iλ₁x}{λ₁ - λ₂}\), \(\frac{c₁ e^iλ₂x}{λ₁ - λ₂}\) = e^-λx (c₁ + e₁), c₁ ∈ ℝ

2. λ₁ ≠ λ₂, ;
3. λ₁, λ₂ complessi, λ₁ = λ + iω\(\frac{c₁ e^-λ₁x}{λ₁ - λ₂} \right| e^{2iωx}\), y(x) = c₁ e^-λ₁x,

y(x) = e^-λx \(\frac{c₁ e^iλ₁x}{λ₁ - λ₂} + i c₁e^λ₂x\) c₁(cos(ωx) + c₂sin(ωx))

c₁ ∈ ℝ, \(\frac{c₁ e^(cosωx)}{λ₁ - λ₂}