Riassunto esame Analisi matematica 1, Prof. Morsella Gerardo, libro consigliato Analisi Matematica 1, Marco Bramanti, Carlo D. Pagani, Sandro Salsa

Chapter 2 - FUNZIONI

Definiti A, B insiemi qualunque, una funzione che va da A in B (f: A → B) è una legge che associa ad ogni elemento x ∊ A uno ed un solo elemento y ∊ B, y = f(x).

• A è detto DOMINIO, mentre B è detto CODOMINIO di f.
• L'insieme F(A) = {f(x) | x ∊ A } = { y ∊ B | ∃ x ∊ A | f(x) = y } ⊆ B
• è detto INSIEME IMMAGINE di f.
• Il sottoinsieme di A × B definito da gra(f) = { (x, y) ∊ A × B | y = f(x) }
• è detto GRAFICO di f.
• Se A, B ⊆ ℝ, ℝⁿ × ℝ → ℝⁿ { (x, y) | ∀ x, y ∊ ℝ } si identifica con il PIANO CARTESIANO di f.

ESEMPI

1. f: ℝ → ℝ f(x) = x²
• dominio: A = ℝ
• codominio: B = ℝ
• immagine: f(D) = { y ∈ ℝ | ∃ x ∈ ℝ : x² = y } =
• { y ∈ ℝ | y ≥ 0 } ovvero [0, ∞)
2. f: ℝ → ℝ f(x) = ³/_x
• dominio naturale: D = ℝ \ {0}
• codominio: B = ℝ - { x ∈ ℝ : x ≠ 0 }
• f(D) = { y ∈ ℝ | ∃ x ∈ D : f(x) =
• ³/_x = y } quindi y =
• ³/_x y ∈ ℝ \ {0}.
• immagine: f(D) = ℝ \ {0} = D

2.1 NOTAZIONI E DEFINIZIONI

• f si dice INIETTIVA se ∀ x₁, x₂ ∈ A , f(x₁) = f(x₂) ⇒ x₁ = x₂;
• f si dice SURGIETTIVA se ∀ y ∈ B ∃ x ∈ A : y = f(x);
• f si dice BIIUNIVOCA se ∀ y ∈ B ∃! x ∈ A : y = f(x)
• infine se f : A → B è BIIUNIVOCA, allora si dice INVERTIBILE ed esiste una funzione
• INVERSA f^-1 : B → A { tale che ∀ x ∈ A f(x) = x, ∀ y ∈ B f^-1(y) = y };

Sia f : D ⊆ ℝ una funzione con D ⊆ ℝ:

• f è CRESCENTE in A ⊆ D se ∀ x₁, x₂ ∈ A, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂) ;
• f è STRETTAMENTE CRESCENTE in A ⊆ D se ∀ x₁, x₂ ∈ A, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂) ;
• f è DECRESCENTE in A ⊆ D se ∀ x₁, x₂ ∈ A, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂) ;
• f è STRETTAMENTE DECRESCENTE in A ⊆ D se ∀ x₁, x₂ ∈ A, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂) ;
• f è PARI se D ⊆ ℝ ⇒ x ∈ D ⇔ -x ∈ D, f(x) = f(-x) ;
• f è DISPARI se D ⊆ ℝ ⇒ x ∈ D ⇔ -x ∈ D, f(x) = -f(-x) ;
• f è PERIODICA se ℝ > 0 ∃ α ∈ ℝ percio tale che ∀ x ∈ D e ∀ k ∈ ℤ, x + kT ∈ D e f(x) = f(x + kT) ;

Chapter 2 FUNZIONI

Definiti: A, B insiemi qualunque, una funzione che va da A in B (f: A → B) è una legge che associa ad ogni elemento x ∈ A uno ed un solo elemento y ∈ B, y = f(x) ∀x ∈ B.

• A è detto DOMINIO, mentre B è detto CODOMINIO di f.
• L'insieme F(A) = {f(x) | x ∈ A} = {y ∈ B | ∃ x ∈ A | f(x) = y} ⊆ B è detto insieme IMMAGINE di f.
• Il sottoinsieme di A × B definito da f, detto GRAFICO di f.
• Se A, B ⊆ ℝ, ℝ² = ℝ × ℝ = {(x, y) | x, y ∈ ℝ} si identifica con il PIANO CARTESIANO di f.

ESEMPI

1. f: ℝ → ℝ, f(x) = x²
   • dominio: D: ℝ
   • codominio: B: ℝ
   • immagine: f(D) = {y ∈ ℝ | ∃ x ∈ ℝ, x² = y} = {y ∈ ℝ | y ≥ 0} ossia f(D) = [0, +∞)
2. f: ℝ → ℝ, f(x) = ³/_x
   • dominio naturale: D: ℝ\{0}
   • codominio: B: ℝ e f(D) = {y ∈ ℝ | ∃ x ∈ ℝ: x ≠ 0 }
   • f(D) = {y ∈ ℝ | ∃ x ∈ ℝ: ³/_x = y} quindi f(D) = ℝ\{0}
   • immagine: f(D) = ℝ\{0}

2.1 NOTAZIONI E DEFINIZIONI

• f si dice INIEZIONE se ∀x₁, x₂ ∈ A, f(x₁) = f(x₂) → x₁ = x₂;
• f si dice SURIEZIONE se ∀y ∈ B ∃ x ∈ A: y = f(x);
• f si dice BIEZIONE se f è INIETTIVA e SURIEZIONE;
• Inoltre se f: A → B è BIEZIONE, allora si dice INVERTIBILE ed esiste una funzione INVERSA f^-1: B → A tale che ∀x ∈ A f(x) = f(x), ∀y ∈ B f^-1 (y) = y;

Sia f: D → ℝ una funzione con D ⊆ ℝ:

• f è CRESCENTE in D ⊆ ℝ se ∀x₁, x₂ ∈ A, x₁ ≤ x₂ ⇒ f(x₁) ≤ f(x₂);
• f è STRETTAMENTE CRESCENTE in D ⊆ ℝ se ∀x₁, x₂ ∈ A, x₁ > x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂);
• f è DECRESCENTE in D ⊆ ℝ se ∀x₁, x₂ ∈ A, x₁ ≥ x₂ ⇒ f(x₁) ≤ f(x₂);
• f è STRETTAMENTE DECRESCENTE in D ⊆ ℝ se ∀x₁, x₂ ∈ A, x₁ > x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂);
• f è PARI se D ⊆ ℝ e x ∈ D e f(x) = f(-x);
• f è DISPARI se D ⊆ ℝ e x ∈ D e f(x) = -f(-x);
• f è PERIODICA se ∃T > 0 tale per cui ∀x ∈ D e ∀k ∈ ℤ, x + kT ∈ D e f(x + kT) = f(x + kT);

2.3 FUNZIONE VALORE ASSOLUTO

∀x,y∈ℝ, valgono le seguenti proprietà:

Proprietà fondamentali

• (i) (MOLTIPLICAZIONE) |xy| = |x|·|y|
• DIM(i) se x < 0 e y < 0 ⇔ xy > 0 ⇒ |xy| = xy = |x|·|y|
• se x < 0 e y > 0 ⇔ xy < 0 ⇔ –xy > 0 ⇒ –xy = |x|·|y|
• (ii) (DIVISIONE) |x/y| = |x|/|y| che per la (i) è proprietà |x|·1/|y| = |x²|/|y|
• (iii) (ADDIZIONE) |x+y| ≤ |x|+|y|
• DIM (iii), sicuramente allora, –|y| ≤ y ≤ |y| sommando membro e membro –(|x|+|y|) |x| ≤ x to y
• se a > 0 e –a ≤ x ≤ a, allora ⇒ |x| ≤ a, quindi: |x+y| ≤ |x|+|y|
• (iv) (SOTTRAZIONE) |x−y| ≥ |x|−|y|
• DIM (iv) |x|−|y| ≤ |x−y| allora, quindi: |x|−|y| ≤ |x−y|, facendo uguale anche per x < y: |y−x| ≤ |x−y| |x| ≤ |x|+|x| |x|
• |x−y| ≤ |x|−|y| quindi: |x|−|y| ≤ |x−y|, per cui |x−y| ≤ |x−y| e quindi possiamo affermare che |x|+|y| ≤ |x−y|

2.3 FUNZIONE POTENZA AD ESPONENTE R E Q

∀x,y∈ℝ, con x,y > 0, s ∈ ℚ (RAZIONALE)

Proprietà fondamentali

• (i) x^s·x^t = x^s+t
• (ii) x^s/t = (x^s)^t
• (iii) x^s^t = x^st
• (iv) x^1 = x
• (v) x^0 = 1, 0^1 = 0 if x ≠ 1
• (vi) se x < s ⇒ x^c ≤ x 0, a∈ℝ definiamo: (REALE)

  Proprietà fondamentali

  • (i) x^0 = x^a.p.d., a ∈ x; ... x = sup {p.d.; ... ∈ | n∈ n ≤ 1}
  • (ii) x^a.^1/p = x = x = 1 if (a < 1)
  • (iii) x^a.quindi x^1/a = o.p.a., a ∈ o... x = a = x^0
  • (iv) x^a < 0 ⇒ x ≠ 1; x^0

  VALENZA DELLE PROPRIETÀ DA ℝ A ℚ

  a ≤ ℚ ⇒ x^a derivato con la definizione precedente, le potenze ad esponente reale, godono delle stesse proprietà da (i) a (viii) di quelle dell'esponente razionale.

  3.4 Funzione Esponenziale

  Sia \( a>1, \ a>0 \), la funzione esponenziale in base a è \( f(x)=a^x \) con \( x \in \mathbb{R} \).

  Proprietà fondamentali

  • (i) \( a^x>0 \ \forall x \in \mathbb{R} \)
  • (ii) se \( a>1 \) \( f \) è strettamente crescente, mentre se \( a1 \) ; visto che \(\{x' | x \in \mathbb{R}\} \supseteq \{x' | x \in \mathbb{N}\} \Rightarrow \)\(\text{sup}\{a^x | x \in \mathbb{N}\} = +\infty\)
  • (iv) \( \lim_{x \to \infty} a^x = 0 \) vale il senso spiegazione del sup con \(\{a^x | x \in \mathbb{N} \}\)

  Invertibilità dell’esponenziale

  Sia \( a\neq 1, \ a>0 \Rightarrow f(x)=a^x \) è biettiva da \( \mathbb{R} \) su \( (0, +\infty) \) e il gruppo di \( f \) non “salta”, perché non sarebbe iniettiva.

  Dim Sia \( a>1, f \) è stettamente crescente \(\Rightarrow\) come abbiamo già dimostrato è iniettiva, cioè è biettiva con codominio \( f(\mathbb{R}) \), quindi dimostriamo che \( f(\mathbb{R})= (0, \ +\infty), \ \forall y>0 \ \exists x\ |\ a^x=y.

  Definiamo \( A := \{x \in \mathbb{R}, \ a^x0, a\neq 1, \) il logaritmo in base a di x>0 è unico \( y=x \Rightarrow a^y =x \).

  È scritto in \( y=\log_a (x) \) e la funzione \( g:(0, +\infty)\to \mathbb{R}, \ g(x)=\log_a(x) \).

  È la funzione inversa della funzione esponenziale in base a.

  Siano a,b>0, a != 1, x>0, y>0

  Proprietà fondamentali

  • (i) \( \log_a 1 = 0, \ \log_a a = 1 \)
  • (ii) \( \log_a(xy) = \log_a(x) + \log_a(y) \)
  • (iii) \( \log_a \left( \frac{x}{y} \right) = \log_a(x) - \log_a(y) \)
  • (iv) \(\log_a x = \frac{\log_a x}{\log_ab}\)

  2.6 FUNZIONI TRIGONOMETRICHE

  In matematica, le funzioni trigonometriche, chiamate anche goniometriche o circolari, sono funzioni di un angolo, sono molto importanti nello studio dei triangoli e nella modellizzazione dei fenomeni periodici. Vengono definite, a partire dai lati di un triangolo rettangolo contenuti in un angolo e, equivalentemente, possono anche definirsi come le ampiezze degli archi comprensivi dell’unitario. Originariamente le esprimono come serie infinite o come soluzioni di certe equazioni differenziali; oggigiorno la loro estensione anche ai numeri complessi.

  Proprietà fondamentali

  • (i) sin(d + 2kx) = sind VdR, VkeZ.
  • (ii) cos(d + 2kx) = cosd VdR, VkeZ.
  • (iii) tg(d + kx) = tgd VdR, VkeZ.
  • (iv) sen²d + cos²d = 1.

  (V) sin(x+y)-sin(x-y) = 2cosx•siny = cos(x|siny| = cos(x+y) - cos(x-y) = - 2sins(y - sinx

  (VI) sen2x) = (sen (x+ sin(x+y)

  (VII) sin(²) - sen(ax • cos2y) = cosx ²) + cosx ²)

  Le funzioni sin(x), cos(x) e tg(x) non sono iniettive, ma se vengano prese le partizioni [ - ^π/₂, π/2 ], [ - 1,1 ], [ 0, π ] [ - ^π/₂, ^π/₂ ], [ - 200,20 ], allora esse diventano bioniche.

  2.7 FUNZIONI TRIGONOMETRICHE INVERSE

  arcsin(x) è disparel non periodica Π è funzione inversa della funzione bionatica sen(x): [- ^π/₂, π/2] → [-1;1];

  arccos(x) f non periodica e la funzione inversa della funzione bionomica cos(x): [ 0,π ] → [-1;1];

  arctg (x) f disparel non periodica f è funzione inversa della funzione bionoma [ -^π/₂, π/2 ] → R;

  Dice che arcsin [ -^π/₂ ^π sin (x) ] → [ -1;1 ] è la f (funzione inversa ) del spo interseca del ospite

  [ -^π/₂ ] - 1,1 ]s del vool dice che accsin(sinx) = x Vxe [ -^π/₂, ^π/₂ ] e sin(arcsin(x)) = x Vxe [-1,1], ma se prendero x e [ -^π/₂] usua cosa del tipa arcsin(sin(x)) apote normalmente pe: l’occu il raggiungiamo è andago, perché negli intervalli di definizione il valore restituito dalla funzione inversa è x, altrimenti sarà un ulteriore valore.