Riassunto esame Analisi matematica 1, Prof. Morsella Gerardo, libro consigliato Analisi Matematica 1, Marco Bramanti, Carlo D. Pagani, Sandro Salsa

Chapter 5 - INTEGRALI (CALCOLO INTEGRALE)

L’origine del calcolo integrale č il metodo di ESAUSTIONE-COMPRESSIONE e il calcolo dell’area del cerchio, [...] L’idea č quella di calcolare l’area usando delle figure geometriche piů facili da calcolare, ossia poligoni regolari (usando il linguaggio).

Dato un cerchio, si iscriva un esagono (ossia delle sezioni poligonali al cerchio) e si circoscrivono (compressione) dei poligoni regolari di N lati.

Sia S_n l’area del poligono circoscritto:

• S_n < A

e

• S_n = N·¹/₂ R (d_a1) = πR²

S_n = N·¹/₂ R R_a·πR²

OSSERVAZIONE:

Se R = 1 allora:

• 3 < π < S₆ = 3.142857...

π č un numero irrazionale (LAMBERT 1968): π = 4 Arc(zx(g(1)) = 4(1 – ¹/₃ + ^{1/5 -...)}

Com’č accaduto nel calcolo esaustivo dell’area del cerchio?

Sia f(x), x∈[0, 1]

• ¹/_N = S_n

Si approssimi tale intervalle ad x intervalli uguali

SN_N = ¹/_N ∑_i=1^N f(_xi)e.g

L’area A = πR²

5.1 DEFINIZIONE (SUDDIVISIONE DI UN INTERVALLO)

Una suddivisione (partizione) di un intervalle cerrado [a, b] č un sistema D: {a = x₀ < x₁ < ... < x_n = b}

Chapter 5 - INTEGRALI (CALCOLO INTEGRALE)

L'origine del calcolo integrale c'è il metodo di ESAUSTIONE-COMPRESSIONE: il calcolo dell'area del cerchio, nasce da Archimede. L'idea è quella di calcolare l'area usando delle figure geometrichepiù facili da calcolare, ossia poligoni regolari (contorni adattabili).Dato un cerchio circoscriviamo (massimizzo) e inscriviamo (comprimo) dei poligoni regolari di N lati.

Sia Sn l'area del poligono circoscritto e Sn l'area del poligono inscritto e A l'area del cerchio A=πR². Se A < = < =

• SVN B: S_n &leqp; < = < = < = in “senso moderno” C < = < = < = < = < = < = < = < = < = < = < = < = E inoltre:
• Su = 9 ₁₂
• Se r = 1 allora ₃ = π
• Raz
• 6
• Taylor
• Come accadde?
• I - Per esempio:

Sia fx; ec, xn ; =

La somme ∑.

5.1 DEFINIZIONE (SUDDIVISIONE DI UN INTERVALLO)

Una suddivisione (partizione) di un intervallo chiuso [a,b] è un sistema D := {a = x₀ < x₁ < x_n < x_n = b}.I numero che indico con |D|: = max {x_k - x_k-1}, che è la grandezza dell'intervallo più grande.

5.2 Definizione (Somme di Riemann)

f_|[a,b]→ℝ, limitata, D suddivisione: D= {a=x₀

Graficamente, si osserva

Proposizione: f∈C[I, I] ->

1. ∫f(x)dx = [...]f pari
2. 2∫f(x)dx se f pari

Dim (caso f dispari)

f: C ∫c 0 e x ∈ (0,+∞), ∫_a^b₀ ¹⁄_xαdx = ^{(b1-α + lnb)}⁄_1-α, necessariamente facendo il limite f(x)

Assumo che α sia arbitrario: caso b < 1

 ^lim⁄_{x (log b + 1) + α → 0}, quindi &sup>lim_{α → 1} = 0; per   b < 1 e   per   0 < α < α - 1

A questo punto vediamo cosa succede tra 0 e 1, &sup>lim_{α → 0}, quindi &sup>lim_{1 - …}, α ≤ 1 e anche ∞ < ∞

Sia dunque β: (a,b), ∈ℜ ∪ {0,+∞}, f(0,1), però non necessariamente limitata. È improprio per ∈ ℜ (ω,b), b ∈ {a,b}, il limite ∫_a^bf(x)dx

f ∈ ℜ quindi il suo &sup>lim → ∈ detta ∏ e finto o messo ^{e f} convenente ed è finito definito impropriamente integrabile in (a,b)

  ∧∫_b^∙ quindi &sup>lim⊂ impergente ed ≥ finito ed detenta non impegnata integrabile;

Esempio f(x) = ¹⁄_xα, ∈ (0,1], per quali valori di α fa de stesso impropriamente integrabile?

• Analogamente, f(x) = ∈ per (x ^{a,b di 1;}
• ∈ improperto integrabile per ∈ (0,1) con α ≥ 1 e per x ∈ [1,∞] con α > 1)

Esempi

• (a.) f(x)

       X ∈ (2,∞], perciò, usando la definizione: &sup>lim⊂x &to; ^ ⁄ lnx ⁄

&&lambdot;⊂ logx, per &then;, &sup>lim →&sup>cd overtime dx for ∼ final; it &spced ∼ opros;ld ^{impropriately integratable in} ⁄b].x + ω(t

• (b.) f(x)

      X ∈ (0.5], non impropriamente integratable in [0,2] = ¹⁄_x⊂.

   &subdex; /&= x&

   ∼n might for limit ^⊄logx ⁄ is f ception terms with ∠, &sup>lim ^forbid

5.19 Definizione Funzione Impropriamente Integrabile (Intervallo Aperto)

Sia f:(a,b)→ℝ, con -∞ ≤ a < b ≤ +∞, f è impropriamente integrabile in (a,b) se [/math] ∃ c ∈ (a,b), f è impropriamente integrabile in (a,c) e in (c,b), ed in tal caso si pone ∫_a^bf(x)dx := ∫_a^cf(x)dx + ∫_c^bf(x)dx, ovvero lim_x→a⁺∫_x^cf(u)du + lim_x→b⁻∫_c^xf(u)du.

5.20 Definizione Funzione Impropriamente Integrabile (Intervallo Chiuso)

Sia f:[a,b)\[b,+∞)→ℝ, f è impropriamente integrabile in [a,b) \[(c,d)\[c,+∞), ed in tal caso si definisce ∫_a^bf(x)dx := ∫_a^cf(x)dx + ∫_d^bf(x)dx = lim_x→b⁻∫_a^xf(u)du + lim_x→a⁺∫_x^df(u)du, se entrambe il limiti sono finiti, allora f è integrabile in [a,b) \[(c,d)\[c,+∞).

Esempio

a) f(x)=1/x², x∈ℝ, è impropriamente integrabile in funzione ℝ?

lim_t→0⁺∫_t^∞1/x² dx = lim_t→0⁺-1/x |_t^∞ = lim_t→0⁺(0-(-1/t)) = +∞, il limite è finito in [0,+∞) quindi impropriamente integrabile,

Allo stesso modo lim_x→∞∫₁^x1/t² dt = 1, allora anche in [0,∞) → f è impropriamente integrabile in tutto ℝ. ∫₁^∞1/x²+1/cos² dt = lim_x→∞ tan |₁^x = π

Osservazioni

• 1) Se f è impropriamente integrabile in [a,b), vogliamo dire che f è impropriamente integrabile in [a,b), ∀ D ⊆ [a,b), ∫_d^bf(u)du ≠ ±∞⟹∫_d^bf(u)du non è uno dei due al solito ⟺ è finito se e solo se è finito.
• 2) Se f:(a,b)→ℝ con f(x)>0 definibili per x→a⁺ b=^➜ T(x)y=∫_x^bdt ficdivisivamente crescente ed è vero perché f è destra di ➜∫_c^∞f(u)dt valido che f(x)≥0 ∀x∈[c,b), per cui abbiamo c φ