Riassunto esame Analisi matematica 1, Prof. Morsella Gerardo, libro consigliato Analisi Matematica 1, Marco Bramanti, Carlo D. Pagani, Sandro Salsa

Integrali (Calcolo Integrale)

Il trionfo del calcolo integrale è il metodo di ESAUSTIONE-COMPRESSIONE, cioè il calcolo dell'area del cerchio usato da Archimede. L'idea è quella di calcolare l'area con un numero di figure geometriche più facili da calcolare, ossia poligoni regolari (unione di triangoli).

Sia un lato dei poligoni circoscritti e un lato dei poligoni inscritti di Numero lati, stabilito la relazione , censura il che

Osservazione:

Se , allora e .

e se un numero razionale, questo è .

In analisi matematica, il integrale è un'operazione lineare che nel caso di una funzione di una sola variabile a valori reali con negativi, associa alla funzione l'area sottoat del suo grafico. I calcoli sono fatti nell'intervallo nel dominio Se i integrale assumere anche valori negativi, l'altruismo calcolare entrambe le integrate.

Come calcolare l'area del quadrato ipoteso come lu allora solo da una qualche area regolare

Sia f continuo x e .

Se f , con il calcoli

L'area della somma dei sossidi iscritti e la somma

Per il calcolo

5.1 Definizione (Suddivisione di un Intervallo)

Una suddivisione (puntuazione) di un intervallo chiuso è un insieme

5.2 Definizione (somme di Riemann)

f: [a,b] → ℝ, limitata.

Suddivisione: D: {a = x₀ < x₁ < x₂ < ... < x_n-1 < x_n = b} → suddivisione di [a,b]

sup{f, x_i ∈ ]x_i-1, x_i[}

a(D) = Σ_i=1ⁿ M_i(x_i - x_i-1) → è detta somma di Riemann superiore di f relativa a D suddivisione;

inf{f, x_i ∈ ]x_i-1, x_i[}

L(D) = Σ_i=1ⁿ m_i(x_i - x_i-1) → è detta somma di Riemann inferiore di f relativa a D suddivisione;

Proprietà fondamentali

• (i)  a &le L(D) &le a(D) ∀ partizione di [a,b]
• (ii)  D₁ &sub D₂ partizioni di [a,b], allora S(D₁, f) &le S(D₂, f)
• (iii)  sup{S(D,f)|D} partizione in [a,b] &le inf{S(D,f)|D} partizione in [a,b]

DIM(ii) Basta dimostrare per D₂ = D₁ ∪ {" x "

D₂ = {a = x₀ < x₁ < ... < x_i < "x" < x_i+1 < ... < x_n = b} x_i, x_i+1 ∈ D₁

somme di spazi successivi; poniamo m_p = inf{f|x ∈ ]x_i,x_i+1[} m_p+1 = inf{f|x ∈ ]x_i+1,x_i+2[}

Poi abbiamo m_p + m_p+1 = m_p ⇒ L(D₁) &le L(D₂,f); analogo per ossia:

DIM(iii) D₁, D₂, D₃ | L &le S(D₁) &le S(D₂) &le S(D₃)| teniamo D₂ fissa e D₁ e D₃ vanno … quindi facendo variare D₁ ottengo L(m_pD₁) &le inf

5.3 Definizione (funzione integrabile secondo Riemann)

f: [a,b] → ℝ, limitata, è integrabile secondo Riemann se sup{S(D,P)} = inf{S(D,P)} = ∫_a^b f(x) dx

5.4 Teorema (criterio di integrabilità)

f ∈ ℝ (a,b) ⇒ ∀ ε > 0 ∃D partizione de [a,b] tale che S(D,f) - S(D,P) < ε

DIM CASO ( "δ" ) ⇒ D₃

5.14 Formule di integrazione per parti e per sostituzione

Parti: ∫f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) - ∫f'(x)g(x)dx

Sostituzione: ∫f(x)dx = ∫f(g(t))g'(t)dt

Sia f: I → R, f continua in x₀ ∈ I e g: J → I, J intervallo con g ∈ C¹ (J).Allora f è di classe C¹ e per la formula integrale si ha:

• ∫ F'(x) dx = F(x)_x=a^x=b
• F(g(t))g'(t) dt

Per il teorema fondamentale del calcolo integrale,∫f(x)dx pezzi uguali ∫f(g(t))g'(t)dt pezzi aggiuntivi base:∫F(g(t))dg = F(g(b)) - F(g(a))

Esempi:

1. ∫x³cosxdx (ponendo g(x)=sinx – ∫g'(x)g(x)dx ), svolgendo per sostituzione.
2. ∫x³cosxdx = (ponendo t = sinx) x dx • t = cost(x) dx ➝ ↺ cos(x) cot(x)
3. cosxdx = dx ⇒ - dt • cosxt

Proposizione: f ∈ C([a, b]), ∫_a²f(x) dx = ^a2b ∫_{a¹bf(x) dx}

Dim (Caso Dispari):

F integrabile → f'(x) = f(x), ∫_a⁰f(x)dx ↔_a⁰ → ∫_a⁰f(t)dt_a&t

ma per la disparità f(x) = -f(t) = -f(+t)dt=F(t)+a

Dim (Caso Pari):

F integrabile (odd parity integrals) → f(x) = f(x),

∫_a⁰f(x)dx = ∫_a⁰f(x)dx + ∫_x^bf(x)dx = 2∫₀^bf(x)dx

5.15 Teorema (Decomposizione in Frazioni Semplici)

In algebra, la decomposizione in fratti semplici di una funzione razionale consiste anche oltre decomposizione in frazioni semplici. Essa è sfruttata nella risoluzione tramite un polinomio (che può venire nulli) e giunzione a uno o più frazioniQ(x) = ai + ai•bbinomi radicali con gi • gi

• P_i con fattorizzazioni dei pi x₀ se f(x) ∼ g(x) per x → b.

  Allora ∫ f è impropriamente integrabile in (a,b) ⟺ g è impropriamente integrabile in (a, b).

  Tale versione del teorema costituisce una versione più forte del criterio precedente:

  DIM f(x) ∼ g(x)

  ∃x₀ : f(x) ≥ g(x) per x ammeno da destra (a, b]} ∫_a^b f(x) dx < ∞ ➔ g è definibile analiticamente per x > x₀

  ⇔ g è impropriamente integrabile in (a, b)

  1. g è impropriamente integrabile

  ∫_x₀^x f(x) dx → 0 Come dominante v. calcoli

  DIM Tale versione

  ∫_x₀^x f(x) dx + O(∫_x₀^x g(x) dx)

  ∫_x₀^x f(x) dx → 0 → g(x) x→b x→∞ x→0

  5.23 Definizione (Funzione assolutamente impropriamente integrabile)

  Sia I ⊆ ℝ un invaso, f: I → ℝ si dice assolutamente impropriamente integrabile, se |f|: I → ℝ è impropriamente integrabile nell'intervallo I, inoltre per dimostrazione la seguente: se f₁: I → ℝ è assolutamente impropriamente integrabile in I, e g è impropriamente integrabile in I, allora per il valore del confronto, f(x) è impropriamente integrabile in I.

  DIM Definiamo f(x) f(x) = 1/2 (|f(x) + |f(x)| |

  ∫_a^b |f(x)|

  f(x) = |f(x)| - |f(x)|

  0 ≤ f(x) |f(x)| ≤ |f(x)| ∀x ∈ Σ

  |f(x)| = |f(x)|▐f(x) - |f(x)|▌

  f̲ ∈ è assolutamente impropriamente integrabile in I ⇔ |f(x)|

  ∫_a^b |f(x)|dx

  impropriamente integrabile in I ⇔ f̲ ∈ f̲ impropriamente integrabile in I

  ∫_a^b |f(x)|dx = |∫_a^b|f(x)|dx| ≤ |∫_a^b |f(x)|dx| + |∫_b^a |f(x)|dx| = |∫_c^c |f(x) + |f(x)|dx| = |∫_a^b |f(x)|dx|